Вычисление значений функций по формуле
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться вычислять значения линейной функции по заданной формуле при различных значениях аргумента, оформляя запись по алгоритму и проверяя результат.
- Закрепить понятия функции, аргумента, значения функции и формулы, задающей зависимость между переменными.
- Отработать алгоритм подстановки значения аргумента в формулу функции и выполнения вычислений с положительными и отрицательными числами.
- Развивать умение выбирать способ проверки результата, обнаруживать и исправлять ошибки в вычислениях.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и показывать применение функций в естественно-научных и бытовых ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точных вычислений при описании реальных процессов и принятии решений.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая уровень дополнительного задания.
- Понимают ценность проверки результата и корректного обоснования ответа.
- Связывают математические способы описания зависимостей с задачами будущей профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Планируют последовательность вычислений и контролируют соответствие результата условию.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и краткого текстового описания ситуации.
- Сравнивают решения, находят ошибку в подстановке или знаках и предлагают способ исправления.
- Работают в паре, формулируют математическое объяснение и аргументируют выбор ответа.
Предметные
- Знать смысл аргумента и значения функции, заданной формулой.
- Уметь вычислять значение функции вида $y=kx+b$ и других простых формул при заданном значении аргумента.
- Уметь заменять переменную в формуле числовым выражением, заключая отрицательное число в скобки.
- Уметь составлять таблицу значений функции и проверять вычисления обратной подстановкой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок: уверенно применять формулу и избегать ошибок в знаках.
- Оценивают собственную готовность к самостоятельному решению.
- Проявляют уважение к иному способу рассуждения при парной проверке.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют последовательность действий.
- Используют самопроверку по образцу и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по заранее объявленным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют переменную, коэффициент и свободный член в формуле.
- Моделируют зависимость таблицей значений.
- Анализируют, как изменение аргумента влияет на значение функции.
- Применяют логические операции сравнения и проверки вычислительного результата.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг подстановки числа в формулу.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и порядке действий.
- Согласовывают общий ответ и корректно указывают на ошибку.
- Представляют решение классу кратко и математически точно.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $y=kx+b$, $y=2x-3$, алгоритмом вычисления и примером оформления.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной работы с двумя вариантами формул и таблицами значений — по одной на пару.
- Вывести на экран проблемную ситуацию о стоимости поездки: фиксированная плата и стоимость каждого километра.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной на ученика.
- Подготовить лист самопроверки с критериями: правильная подстановка, порядок вычислений, ответ и проверка.
- Оставить на доске место для темы, алгоритма и эталона самостоятельной работы.
- Подготовить калькуляторы только для итоговой проверки отдельных вычислений, а не для выполнения алгоритма.
- Организовать рассадку по парам и подготовить таймер на экране.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практический смысл вычисления значения функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня мы будем не просто подставлять числа в формулы, а проверим, как функция помогает быстро описывать реальные зависимости." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Стоимость поездки на такси задаётся формулой $C=120+35x$, где $x$ — число километров. Сколько стоит поездка на 4 километра? А на 10? Какой математический навык нам потребуется?" | Предполагают: "Нужно заменить $x$ числом и вычислить значение формулы"; устно находят $C(4)=260$ и $C(10)=470$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна формула позволяет получать разные ответы для разных значений аргумента. Сейчас восстановим точный алгоритм, чтобы наши вычисления были быстрыми и безошибочными."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции и правила действий с положительными и отрицательными числами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Индивидуально ответьте, что называют аргументом и значением функции. Через тридцать секунд сравните формулировки с соседом, затем мы соберём точный ответ." | Формулируют: "Аргумент — независимая переменная, значение функции — результат, полученный при выбранном аргументе"; обсуждают в парах. |
2 мин | Учитель записывает на доске: $f(x)=3x-5$, $g(x)=-2x+7$. Спрашивает: "Назовите коэффициенты и свободные члены. Какой порядок действий применим?" | Выделяют коэффициенты $3$ и $-2$, свободные члены $-5$ и $7$; называют умножение, затем сложение или вычитание. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить $3\cdot(-2)-5$ и $-2\cdot(-3)+7$: "Следите за знаками и объясняйте их партнёру." | Вычисляют: $-6-5=-11$ и $6+7=13$, проговаривают правило знаков. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили смысл переменных и порядок действий. Затруднение обычно возникает не в самой формуле, а при замене переменной отрицательным числом и работе со скобками. Сделаем этот шаг предметом сегодняшней тренировки."
Этап 3. Постановка задачи и алгоритма (5 мин)
Цель этапа: сформулировать единый алгоритм вычисления значения функции по формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задание: найти $y$ по формуле $y=-4x+9$ при $x=-2$. "Сначала решите молча, как умеете. Сравним разные записи и найдём обязательные шаги." | Решают индивидуально, предлагают записи $y=-4\cdot(-2)+9=17$ и ошибочную запись без скобок. |
3 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: "Что известно? Что требуется найти? Что заменяем? Почему отрицательное число заключаем в скобки? Давайте сформулируем алгоритм: записать формулу, выполнить подстановку, вычислить, записать ответ и проверить разумность результата." | Формулируют алгоритм, отмечают необходимость скобок: $y=-4\cdot(-2)+9=8+9=17$. Записывают цель: научиться применять этот алгоритм к разным формулам. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Алгоритм: 1) выписать формулу; 2) заменить аргумент его значением; 3) заключить отрицательное значение в скобки; 4) выполнить действия; 5) записать ответ и проверить вычисление.
- Пример: $y=-4x+9$, $x=-2$; $y=-4\cdot(-2)+9=8+9=17$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм у нас есть, теперь важно научиться применять его в разных ситуациях. В парной работе вы будете не только считать, но и объяснять, почему каждый шаг записан именно так."
Этап 4. Парная работа: таблица значений (8 мин)
Цель этапа: закрепить подстановку и составление таблицы значений через взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт парам карточки: "В каждой паре один ученик выполняет первый столбец, второй — второй, затем вы меняетесь и проверяете друг друга. Формула для всех пар: $y=2x-3$. Найдите значения при $x=-2,-1,0,2$." | Распределяют роли, переписывают формулу и значения аргумента в таблицу. |
4 мин | Учитель напоминает: "Не называйте только ответ. Партнёр должен увидеть подстановку. Если аргумент отрицательный, используйте скобки. На обсуждение у вас четыре минуты." | Вычисляют: при $x=-2$ значение $-7$, при $x=-1$ значение $-5$, при $x=0$ значение $-3$, при $x=2$ значение $1$; объясняют шаги партнёру. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по приёму "Две звезды и пожелание": "Назовите два удачных момента решения и один совет по улучшению записи. Затем одна пара представит таблицу." | Сверяют ответы, записывают партнёру две сильные стороны и один совет; выбранная пара сообщает таблицу классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Таблица показывает, что одна и та же формула даёт разные значения при разных аргументах. Теперь проверим, сможете ли вы самостоятельно применить алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 5. Межпредметное применение (6 мин)
Цель этапа: применить вычисление значения функции к задаче из физики и бытового контекста.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: "В физике путь при равномерном движении вычисляют по формуле $s=vt$. Велосипедист движется со скоростью $v=4$ м/с. Какой путь он проедет за $t=15$ секунд? Какие величины являются аргументом и значением?" | Выделяют $t$ как изменяющуюся величину, $s$ как значение функции; записывают $s=4\cdot15=60$ м. |
2 мин | Учитель предлагает усложнение: "Для другого участка пути используем формулу $s=3t+20$, где 20 м — уже пройденный путь. Найдите путь через 10 секунд и объясните смысл числа 20." | Вычисляют $s=3\cdot10+20=50$ м; объясняют: "20 м — начальный путь, пройденный до начала отсчёта". |
2 мин | Учитель связывает результат с профессиями: "Инженер, экономист, программист и специалист по обработке данных постоянно подставляют значения в модели. Как проверите, что ответ 50 м реалистичен?" | Умножают скорость на время и добавляют начальный путь; делают вывод: ответ положителен и соответствует условию. |
Эталон решения
Для $s=3t+20$ при $t=10$: $s=3\cdot10+20=30+20=50$ м. Сначала значение времени подставлено в формулу, затем выполнено умножение и прибавлен начальный путь. Ответ записан с единицей измерения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что вычисление по формуле работает не только в алгебре: оно описывает движение и помогает оценивать реальную ситуацию. Переходим к индивидуальной проверке, где каждый покажет собственный результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение алгоритмом и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Обязательный уровень выполняют все. Затем выберите повышающий или дополнительный, если чувствуете готовность. Работайте без обсуждения, оформляйте каждый шаг." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: вычислить $y=5x-2$ при $x=-1,0,3$ и $z=-3a+4$ при $a=-2$. Повышенный: составить таблицу для $y=-2x+6$ при $x=-2,1,4$. Дополнительный: определить значение $k$, если $y=2k+1$ и $y=11$. | Решают индивидуально, выполняют подстановку со скобками, оформляют таблицу или находят неизвестный аргумент. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только ответы, но и запись. Отметьте знаком плюс правильный шаг, кружком — место ошибки. Если ошибка есть, исправьте её другой ручкой." | Сверяют: для базового задания получают $-7,-2,13$ и $10$; для повышенного — $10,4,-2$; для дополнительного — $k=5$. Исправляют ошибки и заполняют лист самопроверки. |
Эталон решения
Для $y=5x-2$: при $x=-1$ получаем $y=5\cdot(-1)-2=-5-2=-7$; при $x=0$ получаем $y=5\cdot0-2=-2$; при $x=3$ получаем $y=5\cdot3-2=15-2=13$. Для $z=-3a+4$ при $a=-2$: $z=-3\cdot(-2)+4=6+4=10$. Для $y=2k+1$, $y=11$: $11=2k+1$, $2k=10$, $k=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, насколько уверенно каждый применяет алгоритм. Ошибка — это не повод скрывать результат, а сигнал, какой шаг нужно потренировать. Завершим урок фиксацией личного продвижения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, определить затруднения и принять домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно вычислить значение функции; жёлтую — если иногда ошибаетесь в знаках; красную — если нужен разбор. Одним предложением объясните свой выбор." | Поднимают карточки и формулируют: "Я умею подставлять положительные числа", "Мне нужно потренировать отрицательные значения". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой шаг алгоритма нельзя пропускать? Почему отрицательное значение записываем в скобках? Как проверить ответ?" | Отвечают: "Нужно выполнить подстановку и записать вычисление"; "Скобки сохраняют знак числа"; "Можно повторить вычисления или подставить найденное значение обратно". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. Обязательный минимум выполняют все, повышающий и дополнительный — по желанию. Запишите формулировку полностью." | Записывают домашнее задание, отмечают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили вычисление значений функции по формуле, составили таблицу и применили модель к движению. На следующем уроке мы будем использовать таблицы и формулы для построения и чтения графиков."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня, подстановка записана полностью, отрицательные значения заключены в скобки, вычисления и единицы измерения в задаче по физике оформлены корректно.
- "4" — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в оформлении при правильном алгоритме.
- "3" — верно выполнено не менее половины обязательных заданий, но есть ошибки в знаках, пропущены отдельные шаги или требуется исправление по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или важного вы сегодня закрепили? | Выявление осознания алгоритма вычисления значения функции. |
На каком шаге решения вы чаще всего сомневались? | Выявление точек затруднения: подстановка, знаки или порядок действий. |
Как вы проверяли свой ответ? | Диагностика сформированности самоконтроля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценка самостоятельности и адекватности самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили важный универсальный навык: по одной формуле получать значение величины при заданном аргументе. Особенно внимательно следите за скобками при подстановке отрицательного числа и не пропускайте промежуточные вычисления. Вы увидели, что функции описывают стоимость поездки и движение, поэтому этот материал связан не только с алгеброй. На следующем уроке мы перейдём от таблицы значений к графическому представлению зависимости."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на вычисление значений линейной функции вида $y=kx+b$ при заданных положительных и отрицательных значениях аргумента; оформить подстановку и ответ. | Закрепляет алгоритм и правила действий со знаками; при проверке смотреть на скобки, порядок действий и полноту записи. |
Средний (повышающий) | Составить таблицу значений для двух функций, например $y=3x-4$ и $y=-x+5$, выбрав по 4 значения аргумента, включая отрицательное число, ноль и положительное число. | Формирует умение системно получать несколько значений функции и сравнивать изменение результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить практическую задачу, в которой величина задана формулой с фиксированной начальной частью и переменным параметром; вычислить не менее трёх значений и объяснить смысл коэффициентов. | Развивает функциональную грамотность, моделирование и умение интерпретировать формулу в реальном контексте. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Что называют значением функции? Как записать подстановку числа $-3$ вместо $x$? Какой результат получится для $y=2x+1$ при $x=-3$?"
