Буквенные выражения, переменные и формулы: преобразование выражений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся распознавать буквенные выражения и переменные, определять допустимые значения переменных, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, выполняя не менее 4 из 5 заданий самостоятельной работы без существенных ошибок.
- Сформировать понимание различий между числовыми и буквенными выражениями, переменной и её значением.
- Научить применять распределительное свойство умножения для раскрытия скобок и правило сложения подобных слагаемых.
- Развивать умение использовать буквенные выражения и формулы для описания реальных ситуаций, в том числе в задачах по геометрии и физике.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность проверять результат и аргументированно объяснять ход решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность буквенных выражений как языка математики и инструмента описания закономерностей.
- Проявляют познавательный интерес к поиску разных способов преобразования выражений.
- Принимают необходимость аккуратной записи и проверки допустимости значений переменных.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Сравнивают выражения, классифицируют слагаемые, выделяют существенные признаки и устанавливают закономерности.
- Работают с математической информацией на экране, в карточке и в записи на доске.
- Участвуют в парном обсуждении, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор преобразования.
- Осуществляют самопроверку по эталону, обнаруживают и исправляют ошибки.
Предметные
- Знают понятия «буквенное выражение», «переменная», «значение переменной», «допустимое значение», «подобные слагаемые».
- Умеют находить значение буквенного выражения при заданных значениях переменных.
- Умеют определять недопустимые значения переменной в выражениях с делением.
- Умеют раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые на основе распределительного свойства.
- Умеют составлять и применять формулы периметра, площади и стоимости в простых практических задачах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в парную работу и оценивают собственное продвижение.
- Связывают математическую символику с задачами проектировщика, экономиста, инженера и программиста.
- Осознают, что ошибка в математической записи может привести к неверному практическому результату.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения, если она обоснована.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после анализа проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм: определить ограничения, раскрыть скобки, сгруппировать подобные слагаемые, проверить.
- Контролируют знаки и коэффициенты при преобразовании выражений.
- Сопоставляют решение с эталоном и корректируют найденные ошибки.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Различают числовые и буквенные выражения по наличию переменных.
- Моделируют жизненную ситуацию с помощью буквенного выражения или формулы.
- Анализируют структуру выражения и выделяют подобные слагаемые.
- Применяют распределительное свойство и устанавливают связь между формулой и вычислением.
- Проверяют преобразование подстановкой конкретного значения переменной.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют полный ответ с математическим обоснованием.
- Задают вопросы о допустимых значениях и знаках при раскрытии скобок.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемной ситуацией, алгоритмом преобразования и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с выражениями для парной классификации: $3x+5$, $7-2a$, $\frac{4}{y-1}$, $2ab$, $8+3$.
- Вывести на доску памятку: распределительное свойство, правило раскрытия скобок, признаки подобных слагаемых и порядок действий.
- Подготовить листы самооценки и небольшие стикеры для рефлексии — по одному на каждого ученика.
- Подготовить таймер на экране для работы в парах и самостоятельной работы.
- Распечатать эталоны ответов для самопроверки — по одному на парту.
- Подготовить линейку или изображение прямоугольной площадки для межпредметной задачи по геометрии.
- Проверить работу интерактивной доски, проектора и компьютера; предусмотреть дублирование заданий на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл переменных и формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и выводит на экран задачу: «В кафе один напиток стоит $x$ рублей. Сколько будут стоить три напитка и десерт за 120 рублей? Запишите кратко, не выполняя вычислений». Учитель уточняет: «Почему одного числа здесь недостаточно?» | Записывают выражение $3x+120$, отвечают: «Цена напитка неизвестна и может изменяться». |
2 мин | Учитель говорит: «Сегодня мы исследуем, как математическая запись помогает работать с неизвестными величинами. Вам можно будет выбрать базовый или повышенный уровень заданий. Важно не только получить ответ, но и объяснить, почему преобразование верно». | Формулируют предположение: «Буква обозначает переменную», записывают тему урока и готовят тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что буква позволяет описывать изменяющуюся величину. Теперь вспомним, из каких элементов состоят такие записи и какие значения букв допустимы».
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о выражениях, переменных, действиях и ограничениях на значения букв.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре набор карточек и даёт инструкцию: «Приём “Подумай — обсуди в паре — поделись”. Сначала каждый самостоятельно распределяет записи на числовые выражения, буквенные выражения и формулы. Затем сравните классификацию и подготовьте одно объяснение». На доске: $8+3$, $3x+5$, $S=ab$, $\frac{4}{y-1}$. | Классифицируют записи, обсуждают различия и формулируют: «$8+3$ — числовое выражение, $3x+5$ — буквенное выражение, $S=ab$ — формула». |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: «Что называется переменной? Что произойдёт, если $y=1$ в выражении $\frac{4}{y-1}$? Какие слагаемые можно считать подобными в записи $3a+5a-2$?» Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: «Переменная — буква, принимающая разные значения»; «При $y=1$ знаменатель равен нулю, значение недопустимо»; «$3a$ и $5a$ — подобные, число $-2$ им не подобно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что буквенное выражение зависит от значений переменных, а некоторые значения могут быть запрещены. Но пока не ответили, как быстро и без ошибок упрощать такие записи. Это и станет нашей учебной задачей».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при преобразовании выражения и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два способа преобразования: $3(x+2)=3x+2$ и $3(x+2)=3x+6$. Спрашивает: «Какой вариант верен? Можно ли просто убрать скобки? Докажите или опровергните ответ числовой проверкой при $x=4$». | Сравнивают варианты, подставляют $x=4$, получают слева 18, в первом варианте 14, во втором 18; делают вывод: «Нужно умножить число перед скобками на каждый член внутри скобок». |
2 мин | Учитель направляет обсуждение: «Сформулируйте цель урока глаголом действия. Какие шаги помогут достичь этой цели?» | Формулируют цель: «Научиться преобразовывать буквенные выражения». Предлагают алгоритм: определить допустимые значения, раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, проверить результат. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло из-за неверного применения распределительного свойства. Теперь построим общий алгоритм и проверим его на выражениях и формулах».
Этап 4. Открытие нового знания: алгоритм преобразования (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать правила определения допустимых значений, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: $2(a+3)-4a$. «Раскрываем первые скобки: множитель $2$ умножаем на каждый член. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при раскрытии меняем знаки всех слагаемых. Получаем $2a+6-4a$. Теперь объединяем только подобные слагаемые». | Пошагово записывают $2(a+3)-4a=2a+6-4a=-2a+6$, подчёркивают подобные слагаемые $2a$ и $-4a$, отвечают: «Коэффициент результата равен $-2$». |
3 мин | Учитель показывает выражение $5x-2(3x-1)$ и задаёт вопросы: «Какой знак будет у каждого слагаемого после раскрытия второй скобки? Какие слагаемые подобны?» После ответов демонстрирует запись на экране. | Отвечают: «$-2$ умножается и на $3x$, и на $-1$»; записывают $5x-6x+2=-x+2$. |
3 мин | Учитель выводит памятку: «Для дроби $ frac{7}{t-3}$ знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому $t\ne3$. В выражении с корнями или другими ограничениями также анализируем область допустимых значений». Затем предлагает формулу площади прямоугольника $S=ab$ и периметра $P=2(a+b)$. | Записывают: для $ frac{7}{t-3}$ допустимы все значения, кроме $t=3$; объясняют, что $a>0$, $b>0$ в задаче о длинах. Записывают формулы и называют величины. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) определить недопустимые значения переменных; 2) раскрыть скобки по распределительному свойству; 3) привести подобные слагаемые; 4) проверить преобразование подстановкой. Распределительное свойство: $a(b+c)=ab+ac$. При вынесении минуса перед скобками знаки слагаемых внутри меняются.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть алгоритм, который можно применять к разным выражениям. Проверим его сначала вместе, проговаривая каждое действие, а затем вы выполните работу самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная задача (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм преобразования в парной работе и связать формулы с геометрическим содержанием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает парам задачу: «Прямоугольная клумба имеет длину $(x+3)$ м и ширину $2$ м. Запишите формулу её периметра и преобразуйте выражение. Объясните, что означает полученный коэффициент». Учитель напоминает: «Сначала запишите формулу, затем подставьте выражения для сторон». | В парах записывают $P=2((x+3)+2)$, раскрывают скобки: $P=2(x+5)=2x+10$. Объясняют: «$2x+10$ — периметр в метрах при длине $x+3$ м». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь тетрадями. Проверьте наличие формулы, раскрытие скобок и единиц измерения. Приём “Две звезды и пожелание”: отметьте два верных шага и один совет». | Сверяют решения, записывают два сильных момента и один совет, например: «Не забыть единицы измерения». |
2 мин | Учитель задаёт устное задание: «Упростите $4(2m-1)+3m$. Какой ответ получился? Как можно проверить его при $m=2$?» | Записывают $8m-4+3m=11m-4$, подставляют $m=2$ и проверяют равенство исходного и преобразованного выражений. |
Эталон решения
$P=2(a+b)=2((x+3)+2)=2(x+5)=2x+10$. При $x=4$: исходная формула даёт $2((4+3)+2)=18$, преобразованная — $2\cdot4+10=18$. Значит, преобразование выполнено верно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили буквенное выражение не отвлечённо, а для вычисления периметра. Сейчас каждый покажет, насколько уверенно умеет пользоваться алгоритмом без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение основных действий и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: «Базовый уровень обязателен для всех. При готовности можно выбрать повышенный или дополнительный пункт. Записывайте преобразования по шагам, а не только ответ». | Выбирают карточку, подписывают работу, готовят черновик и выполняют задания индивидуально. |
6 мин | Учитель предлагает базовые задания: 1) найти значение $2a-3$ при $a=5$; 2) раскрыть скобки $4(x-2)$; 3) привести подобные $7y-2y+5$; 4) определить недопустимое значение в $\frac{3}{z+4}$. Для повышенного уровня: упростить $3(2p-1)-2(p+4)$ и составить формулу стоимости двух тетрадей по $q$ рублей и ручки за 35 рублей. | Решают: $7$; $4x-8$; $5y+5$; $z\ne-4$. Для повышенного уровня получают $4p-11$ и $2q+35$. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран и говорит: «Проверьте не только ответ, но и каждый знак. Ошибку исправьте другим цветом. Если не согласны с эталоном, подготовьте аргумент». | Сверяют решения, отмечают верные и ошибочные шаги, исправляют записи, считают количество выполненных заданий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже работает, но особенно внимательно нужно следить за знаком минус перед скобками и нулём в знаменателе. Осталось обобщить, что именно мы сегодня научились делать».
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает приём «Билет на выход»: «Закончите три фразы: “Я научился…”, “Теперь я понимаю, почему…”, “Мне нужно потренироваться…”. Затем поставьте цвет: зелёный — могу объяснить другому, жёлтый — решаю с подсказкой, красный — пока затрудняюсь». | Заполняют три фразы, выбирают цвет самооценки и прикрепляют стикер на доску в соответствующей зоне. |
2 мин | Учитель спрашивает: «Какой шаг алгоритма оказался самым важным? Почему значение $z=-4$ нельзя использовать в выражении $\frac{3}{z+4}$? Как формула помогает в геометрии?» После ответов сообщает критерии оценивания и уровни домашнего задания. | Отвечают: «Нельзя делить на ноль»; «Формула позволяет выразить величину через известные параметры». Записывают выбранный уровень домашнего задания. |
1 мин | Учитель завершает урок: «Сегодня вы научились видеть за буквенной записью переменные и связи между величинами. Не забывайте: скобки раскрываются по распределительному свойству, а подобными являются только слагаемые с одинаковой буквенной частью. На следующем уроке мы продолжим преобразования и будем решать уравнения, используя эти действия». | Сдают билет на выход, проверяют наличие записи домашнего задания и формулируют личный итог урока. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре базовых задания или три базовых и одно повышенное; корректно раскрыты скобки, приведены подобные слагаемые, определено недопустимое значение; решение записано последовательно.
- «4» — выполнены верно не менее трёх заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, но алгоритм в целом применён правильно.
- «3» — выполнены верно два задания, понятны отдельные шаги алгоритма, однако есть ошибки при раскрытии скобок, приведении подобных слагаемых или определении допустимых значений.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о переменной и допустимых значениях? | Выявление осознания ключевых понятий и ограничений. |
Какой знак нужно изменить при раскрытии скобок, перед которыми стоит минус? | Проверка понимания наиболее частой ошибки. |
Какое задание вы смогли решить самостоятельно, а где понадобилась подсказка? | Определение субъективной оценки освоения алгоритма. |
Где формула может пригодиться вне урока математики? | Выявление межпредметной и практической связи. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что буквы в математике помогают описывать изменяющиеся величины и реальные зависимости. Мы научились находить недопустимые значения, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Самая частая ошибка — потеря знака при раскрытии скобок с минусом, поэтому всегда проверяйте преобразование подстановкой. На следующем уроке мы применим эти умения при решении уравнений и задач.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: найти значение буквенного выражения при заданных значениях переменных; раскрыть скобки в двух выражениях; привести подобные слагаемые; определить допустимые значения переменной в выражении с дробью. | Закрепляет базовый алгоритм. При проверке обратить внимание на подстановку, знаки и запрет деления на ноль. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 выражений со скобками, включая случаи с минусом перед скобками, и составить одну формулу для нахождения периметра или стоимости в жизненной ситуации. | Развивает применение правила в разных формах. Проверять последовательность преобразований и смысл полученной формулы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу с двумя переменными, записать буквенное выражение или формулу, указать допустимые значения и преобразовать выражение. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать ограничения на переменные. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое переменная? Как определить недопустимое значение? Как раскрыть скобки, если перед ними стоит минус? Какие слагаемые называются подобными? Как проверить правильность преобразования?»
