Применение производной к исследованию функции
Цели и задачи
- Цель: Сформировать умение применять аппарат производной для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции, разработать алгоритм полного исследования функции.
- Задача образовательная: Вывести достаточные условия возрастания и убывания функции, научить находить критические точки и определять их характер.
- Задача развивающая: Развивать навыки аналитического мышления через сопоставление графиков функции и её производной, умение устанавливать причинно-следственные связи.
- Задача воспитательная: Формировать культуру математической речи и ответственное отношение к подготовке к итоговой аттестации через решение задач формата ЕГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки.
- Готовность к осознанному выбору будущей профессии на основе понимания роли математики в техническом прогрессе.
- Умение управлять своими эмоциями в ситуациях затруднения при решении сложных задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение использовать знаково-символические средства для построения математических моделей, владение методами анализа и синтеза.
- Регулятивные: способность самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, использовать адекватные языковые средства для дискуссии.
Предметные
- Знать достаточные условия монотонности функции и признаки существования экстремумов.
- Уметь находить производную функции, определять критические точки и исследовать их на принадлежность к максимумам или минимумам.
- Владеть алгоритмом исследования функции на монотонность и экстремумы для построения эскизов графиков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между учебной деятельностью и будущей профессиональной реализацией.
- Нравственно-этическая ориентация: развитие навыков сотрудничества при работе в парах.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Прогнозирование результата и уровня усвоения материала.
Познавательные УУД
- Логические: построение логической цепи рассуждений при доказательстве теорем о монотонности.
- Общеучебные: поиск и выделение необходимой информации в тексте учебника и на графических моделях.
Коммуникативные УУД
- Постановка вопросов: инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить мультимедийную презентацию с анимацией графиков функции и их производных.
- Распечатать рабочие листы с заданиями формата ЕГЭ (задание №7 и №11) по 1 экз. на каждого ученика.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор» (зелёный, жёлтый, красный) для быстрой обратной связи.
- Проверить работоспособность интерактивной доски и программного обеспечения (GeoGebra или Desmos).
- Выписать на доску ключевые формулы дифференцирования для актуализации знаний.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к исследовательской деятельности, создать рабочую атмосферу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, коллеги! Именно так я обращаюсь к вам сегодня, потому что нам предстоит серьезное исследование. Мы уже научились находить производную, но зачем она нам нужна, кроме физики? Посмотрите на экран: перед вами график изменения курса валют. Как аналитику понять, когда наступит пик, а когда спад, не имея перед глазами полной картинки, а имея лишь формулу зависимости?» | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. Рассматривают график на экране, осознают практическую значимость темы. |
2 мин | «Сегодня мы откроем метод, который позволяет заглянуть "внутрь" функции с помощью производной. Это ключ к решению многих задач оптимизации в экономике и инженерии, а также гарантированные баллы на ЕГЭ. Готовы стать исследователями?» | Отвечают: «Да, готовы». Проверяют наличие тетрадей и рабочих листов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично. Но прежде чем строить новое, нужно проверить прочность фундамента. Вспомним правила дифференцирования».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: повторить опорные понятия и выявить проблему, требующую нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Проводит блиц-опрос: «Чему равна производная константы? Степенной функции? Каков геометрический смысл производной? Что такое тангенс угла наклона касательной, если функция возрастает? А если убывает?» | Ученики отвечают с места: «Производная константы — ноль», «(x^n)' = nx^{n-1}», «Геометрический смысл — это тангенс угла наклона касательной», «Если функция растет, угол острый, тангенс положителен». |
3 мин | Ставит проблему: «Перед вами функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 5. Можете ли вы прямо сейчас, не строя таблицу значений для ста точек, сказать, на каких промежутках она растет, а на каких падает? И где находится её вершина?» | Ученики пробуют применить старые методы (подстановка точек), осознают, что это долго и неточно. Фиксируют затруднение: «Мы не знаем точного алгоритма связи формулы производной с графиком функции».]]},{ |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, нам не хватает инструмента для быстрого анализа. Давайте его создадим».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: экспериментальным путем установить связь между знаком производной и монотонностью функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Организует работу в группах с использованием GeoGebra: «Разделитесь на группы по 4 человека. Задание: исследуйте три функции на экране. Посмотрите, какой знак имеет производная там, где функция идет вверх, и там, где она идет вниз. Заполните сравнительную таблицу в рабочих листах». | Работают в группах, анализируют графики. Замечают закономерность: f'(x) > 0 соответствует возрастанию, f'(x) < 0 — убыванию. |
7 мин | «Давайте сформулируем гипотезу. Если производная положительна на интервале, то что делает функция? А если отрицательна? А что происходит в точках, где производная равна нулю или не существует?». Вводит понятия критических точек и точек экстремума. | Формулируют выводы: «Если f'(x) > 0, то функция возрастает. Если f'(x) < 0 — убывает». Записывают в тетради определения критических точек и теорему Ферма (необходимое условие экстремума). |
Запись в тетрадях
- 1. f'(x) > 0 на (a; b) => f(x) возрастает на [a; b].
- 2. f'(x) < 0 на (a; b) => f(x) убывает на [a; b].
- 3. Критические точки — точки, в которых f'(x) = 0 или не существует.
- 4. Точка экстремума — критическая точка, при переходе через которую производная меняет знак.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили мощный инструмент. Теперь давайте превратим его в четкую инструкцию — алгоритм».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на конкретном примере с коллективным обсуждением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Вызывает ученика к доске для исследования функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7. «Действуем по шагам: 1) Область определения. 2) Производная. 3) Критические точки. 4) Интервалы на прямой. 5) Знаки производной и поведение функции». | Ученик у доски выполняет вычисления, класс работает в тетрадях. Ученики комментируют каждый шаг, используя математические термины. Определяют точки максимума и минимума. |
Эталон решения
1) D(f) = R.
2) f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.
3) 6x^2 - 6x - 12 = 0 => x^2 - x - 2 = 0 => x1 = 2, x2 = -1 (критические точки).
4) Расставляем знаки f'(x) на интервалах (-∞; -1), (-1; 2), (2; +∞): «+», «-», «+».
5) Вывод: возрастает на (-∞; -1] и [2; +∞), убывает на [-1; 2]. x_max = -1, x_min = 2.
2) f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.
3) 6x^2 - 6x - 12 = 0 => x^2 - x - 2 = 0 => x1 = 2, x2 = -1 (критические точки).
4) Расставляем знаки f'(x) на интервалах (-∞; -1), (-1; 2), (2; +∞): «+», «-», «+».
5) Вывод: возрастает на (-∞; -1] и [2; +∞), убывает на [-1; 2]. x_max = -1, x_min = 2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает. Теперь проверьте свои силы в индивидуальном режиме».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: интериоризация знаний, развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Предлагает дифференцированные задания: «Вариант А (базовый) — найти промежутки возрастания. Вариант Б (продвинутый, формат ЕГЭ) — по графику производной определить количество точек минимума функции». | Выбирают уровень сложности, самостоятельно решают задачи в рабочих листах. |
2 мин | Выводит ответы на экран. «Сверьтесь с эталоном. Если есть ошибка, отметьте, на каком шаге алгоритма она возникла». | Сверяют решения, проводят самоанализ ошибок, поднимают карточки «Светофор». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство справилось. Те, у кого возникли трудности с вычислением производной, обратите внимание на таблицу производных — это ваш слабый узел».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подведение итогов, оценка достижения целей урока.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно найдены производная, все критические точки, правильно определены знаки на интервалах и характер экстремумов.
- «4» — Допущена одна негрубая вычислительная ошибка, но алгоритм соблюден полностью, выводы верны.
- «3» — Ученик умеет находить производную и критические точки, но затрудняется в определении знаков производной на интервалах.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой этап алгоритма показался самым сложным? | Выявление проблемных зон в процедурных знаниях. |
Как изменится поведение функции, если в критической точке производная не меняет знак? | Проверка глубины понимания признаков экстремума. |
Где в реальной жизни нам может пригодиться поиск максимума функции? | Осознание прикладного значения темы (оптимизация). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть функцию насквозь, используя производную как рентген. Мы освоили алгоритм, который является базой для 11-го задания ЕГЭ и ключом к пониманию динамических процессов. На следующем уроке мы перейдем к решению прикладных задач на оптимизацию: как сделать коробку максимального объема из листа картона или как минимизировать затраты на производство. Вы сегодня отлично поработали как настоящие аналитики!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 924, 926 (учебник) | Исследование функций по алгоритму, нахождение промежутков монотонности. |
Средний (повышающий) | РешуЕГЭ, прототипы задания №7 | Работа с графиками производной: определение свойств функции. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти пример функции в экономике или физике и исследовать её на экстремумы (мини-доклад). |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если f'(x) в точке x0 равна 0, обязательно ли это точка экстремума? Подумайте над примером функции y=x^3».