Логарифмическая функция, ее свойства и график
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие логарифмической функции, изучить ее свойства и научить строить графики при различных основаниях к концу урока.
- Образовательная задача: Построить алгоритм исследования свойств логарифмической функции и выявить зависимость вида графика от основания.
- Развивающая задача: Развивать навыки аналитического мышления через сравнение показательной и логарифмической функций (метод аналогии).
- Воспитательная задача: Формировать осознанную мотивацию к обучению через демонстрацию применения логарифмов в естественных науках и подготовке к ЕГЭ.
- Методическая задача: Интегрировать ИКТ-инструменты (Desmos/GeoGebra) для визуализации динамики изменения функции.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории с учетом роли математики в будущей профессии.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием в условиях подготовки к итоговой аттестации.
- Критичность мышления при анализе получаемой информации.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: способность самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Коммуникативные: умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в процессе групповой дискуссии.
Предметные
- Знать определение логарифмической функции и условия, накладываемые на основание и аргумент.
- Уметь строить графики функций y = log_a(x) при a > 1 и 0 < a < 1.
- Владеть навыком чтения свойств функции по ее графику (область определения, область значений, монотонность).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между математическим аппаратом и реальными физическими процессами (интенсивность звука, шкала Рихтера).
Регулятивные УУД
- Прогнозирование результата своей деятельности при выполнении дифференцированных заданий.
Познавательные УУД
- Моделирование: использование графических моделей для решения уравнений и неравенств.
Коммуникативные УУД
- Интеграция в группу сверстников и построение продуктивного взаимодействия при проведении мини-исследования.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивный лист в Desmos с заготовленными шаблонами графиков y = log_a(x) и ползунком для параметра 'a'.
- Распечатать рабочие листы с заданиями трех уровней сложности (по 25 экземпляров).
- Проверить работу проектора и наличие интернет-соединения для демонстрации межпредметных связей.
- Подготовить карточки для актуализации знаний (свойства показательной функции).
- Выписать на доску ключевые формулы логарифмов, изученные на предыдущих уроках.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность через межпредметный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, коллеги! Именно так я хочу к вам обращаться, ведь в 11 классе мы уже не просто ученики, а исследователи. Посмотрите на экран. Перед вами три изображения: раковина наутилуса, спиральная галактика и график интенсивности звука в децибелах. Что общего между этими объектами с точки зрения математики? Сегодня мы познакомимся с функцией, которая описывает эти процессы. Это логарифмическая функция. Как вы думаете, почему в ЕГЭ по профильной математике этой теме уделяется так много внимания?" | Слушают учителя, рассматривают слайды. Высказывают предположения: "Везде есть спираль", "Это связано с ростом". Отвечают на вопрос про ЕГЭ: "Логарифмы есть в первой части и в сложных уравнениях второй части, а также в задачах с прикладным содержанием". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно, логарифм — это не просто абстрактное число, это закон, по которому живет природа. Чтобы понимать эти законы, нам нужно изучить 'лицо' этой функции — ее график."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные знания о показательной функции и понятии обратной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Прежде чем идти вперед, вспомним базу. На доске записана функция y = 2^x. Назовите ее область определения и область значений. Теперь вспомним определение логарифма. Если 2^x = y, то чему равен x? Верно, x = log_2(y). Мы получили зависимость аргумента от значения. Если мы поменяем местами x и y, то получим y = log_2(x). Как называются такие функции относительно друг друга?" | Отвечают: "D(f) = R, E(f) = (0; +inf)". Диктуют запись x = log_2(y). Вспоминают термин: "Это обратные функции". |
2 мин | "А теперь главный вопрос: если графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, сможем ли мы, не строя таблицу точек, сразу представить, как выглядит логарифм? В чем будет главная сложность, если основание будет меньше единицы, например, 0,5?" | Пытаются мысленно отобразить график y = 2^x. Фиксируют затруднение: "Трудно точно сказать, где график пересечет оси и как он себя ведет при приближении к нулю". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы знаем, что логарифмическая функция обратна показательной. Наша задача сегодня — вывести ее свойства и научиться строить график для любого допустимого основания."
Этап 3. Открытие нового знания (исследование) (12 мин)
Цель этапа: через использование ИКТ-инструментов выявить свойства функции и характер графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Работаем в группах. У вас на столах планшеты/ноутбуки. Откройте ссылку на Desmos, которую я отправил в общий чат. Ваша задача: 1. С помощью ползунка меняйте значение 'a' от 0.1 до 5. 2. Наблюдайте, что происходит с графиком при a > 1 и при 0 < a < 1. 3. Найдите общую точку, через которую проходят все графики логарифмов. Заполните первую часть рабочего листа: свойства функции." | Работают в группах по 4 человека. Передвигают ползунок в программе. Обсуждают: "Смотри, когда а > 1, график идет вверх, а когда меньше 1 — падает". Записывают в листах: "Общая точка (1; 0)", "График не заходит левее оси OY". |
5 мин | "Давайте систематизируем. Кто готов назвать область определения? Почему x не может быть отрицательным? Какова область значений? Как ведет себя функция при увеличении x, если основание равно 3? А если 1/3?" | Представители групп отвечают: "D(f) = (0; +inf), так как под логарифмом только положительные числа". "E(f) = R". "При a=3 функция возрастает, при a=1/3 убывает". |
Запись в тетрадях
- Определение: Функция вида y = log_a(x), где a > 0, a ≠ 1, называется логарифмической.
- Свойства: 1) D(f) = (0; +∞); 2) E(f) = (-∞; +∞); 3) Точка пересечения с OX: (1; 0); 4) Возрастает при a > 1, убывает при 0 < a < 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили 'паспорт' функции. Теперь проверим, как эти знания помогут нам в решении практических задач."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить полученные знания для решения типовых заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Разберем задание из открытого банка ЕГЭ. Сравните числа: log_3(5) и log_3(7). Как нам поможет свойство монотонности? А теперь сложнее: log_0.5(5) и log_0.5(7). Будьте внимательны с основанием!" | Один ученик у доски: "Так как основание 3 > 1, функция возрастает. Большему аргументу соответствует большее значение. Значит, log_3(5) < log_3(7)". Второй ученик: "Основание 0.5 < 1, функция убывает. Значит, знак меняется: log_0.5(5) > log_0.5(7)". |
3 мин | "Найдите область определения функции y = log_5(x^2 - 4). Что мы должны записать в условии?" | Ученики диктуют: "x^2 - 4 > 0". Решают неравенство методом интервалов: "x ∈ (-inf; -2) U (2; +inf)". |
Эталон решения
Сравнение: log_{a}x_1 vs log_{a}x_2.
1) Если a > 1, то x_1 < x_2 => log_{a}x_1 < log_{a}x_2.
2) Если 0 < a < 1, то x_1 < x_2 => log_{a}x_1 > log_{a}x_2.
1) Если a > 1, то x_1 < x_2 => log_{a}x_1 < log_{a}x_2.
2) Если 0 < a < 1, то x_1 < x_2 => log_{a}x_1 > log_{a}x_2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, мы научились использовать монотонность. Теперь — время самостоятельной проверки сил."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Перед вами карточки трех цветов. Зеленая — базовый уровень (построение по точкам, простые свойства). Желтая — повышенный (сравнение выражений, ОДЗ). Красная — сложный (параметры и преобразования графиков). Выберите свой уровень и приступайте. Эталон для самопроверки появится на экране через 6 минут." | Выбирают задания. Самостоятельно решают в тетрадях. Кто-то строит графики, кто-то анализирует функции с модулем (красный уровень). |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран. "Сверьтесь с эталоном. Поставьте '+' рядом с верно решенным пунктом. Поднимите руку, кто выполнил всё без ошибок." | Проверяют свои работы. Анализируют ошибки. Поднимают руки (визуальный контроль учителя). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Если у вас возникли сложности с ОДЗ — это сигнал повторить решение неравенств. Если с графиком — обратите внимание на асимптоту x=0."
Этап 6. Включение в систему знаний и рефлексия (10 мин)
Цель этапа: обобщить знания и оценить личный вклад в урок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Вернемся к нашим 'природным' логарифмам. Знаете ли вы, что шкала громкости звука — логарифмическая? Увеличение звука на 10 децибел означает увеличение его физической интенсивности в 10 раз. А на 20 децибел — в 100 раз. Почему природа 'выбрала' логарифм для нашего слуха?" | Обсуждают: "Наверное, чтобы мы могли слышать и шепот, и громкий взрыв, не повреждая уши. Логарифм 'сжимает' огромные диапазоны чисел в удобную шкалу". |
5 мин | "Подведем итоги. Заполните лист самооценки. Что было самым трудным? Что нового вы узнали о привычных вещах?" | Заполняют анкеты. Высказываются: "Я понял, почему график никогда не пересекает ось Y", "Мне понравилась работа в Desmos, так нагляднее". |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Выполнены все задания выбранного уровня (базовый/средний/сложный) без ошибок, график построен аккуратно, свойства указаны верно.
- "4" — Допущена одна негрубая ошибка в вычислениях или построении графика при верном алгоритме решения.
- "3" — Выполнено более половины заданий базового уровня, допущены ошибки в определении свойств функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство логарифмической функции является ключевым для решения неравенств? | Проверка понимания значимости монотонности. |
В какой момент исследования в Desmos вы сделали главное открытие? | Выявление этапа осознания нового знания. |
Оцените по шкале от 1 до 5 свою готовность решать задания ЕГЭ по этой теме. | Субъективная оценка уверенности и выявление зон стресса. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что математика — это не только формулы в учебнике, но и музыка, и космос, и наше восприятие мира. Логарифмическая функция — это мощный инструмент анализа. На следующем уроке мы перейдем к решению логарифмических уравнений, где свойства, которые мы сегодня открыли, станут нашими главными помощниками. Спасибо за продуктивную работу, вы сегодня были настоящей командой!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 18.1–18.5 (четные) | Построение графиков и чтение свойств по шаблону. |
Средний (повышающий) | РешуЕГЭ: задания №9 (графики функций) | Найти коэффициенты функции по заданному графику. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-проект | Подготовить сообщение 'Логарифмическая спираль в живой природе' (5–7 слайдов). |
Контрольный вопрос: При каких значениях 'a' функция y = log_a(x) будет находиться только в 1 и 4 четвертях?