Логарифм числа. Определение и основные свойства
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие логарифма как показателя степени, научить вычислять значения простейших логарифмов и применять основное логарифмическое тождество для решения задач формата ЕГЭ.
- Образовательная задача: Вывести определение логарифма через решение проблемного уравнения, разобрать ограничения (ОДЗ) и основное логарифмическое тождество.
- Развивающая задача: Развивать навыки критического мышления и математической логики через сопоставление прямой и обратной операций (возведение в степень и логарифмирование).
- Воспитательная задача: Формировать осознанное отношение к учебе через демонстрацию практической применимости логарифмов в науке и технике.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории с учетом профиля обучения.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием при подготовке к итоговой аттестации (ЕГЭ).
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение переходить от графической модели к аналитической, выявлять причинно-следственные связи.
- Регулятивные: способность ставить учебную цель на основе сопоставления известного и неизвестного.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения при обсуждении проблемного вопроса в паре.
Предметные
- Знать определение логарифма числа b по основанию a.
- Уметь вычислять значения логарифмов, используя связь со степенью.
- Владеть навыком применения основного логарифмического тождества при преобразовании выражений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом).
Регулятивные УУД
- Прогнозирование результата выполнения задания.
- Коррекция (внесение дополнений в план действий).
Познавательные УУД
- Моделирование (преобразование объекта из знаковой формы в графическую).
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера (контроль, коррекция, оценка действий партнера).
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графиками в Desmos (интерактивная визуализация пересечения функций).
- Распечатать карточки для этапа самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 шт.
- Проверить работу проектора и наличие доступа к сети Интернет.
- Подготовить на доске сетку для 'Магического квадрата' логарифмов.
- Открыть учебник Мордковича (Алгебра 11 класс) на стр. 124.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочую атмосферу и вызвать интерес к новой теме через практический пример.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Сегодня мы начинаем изучение темы, которая когда-то позволила астрономам считать огромные расстояния, не сходя с ума от нулей. Лаплас говорил, что изобретение этого метода 'продлило жизнь астрономов, сократив их труд'. Проверьте, готовы ли вы к интеллектуальному штурму: тетради, учебники, ручки на местах?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие необходимых принадлежностей на рабочих местах, настраиваются на работу. |
2 мин | «Посмотрите на экран. Перед вами шкала Рихтера для измерения силы землетрясений. Вы знаете, что землетрясение магнитудой 6 баллов в 10 раз сильнее, чем 5 баллов, а 7 баллов — в 100 раз сильнее, чем 5. Какая математическая операция здесь скрыта? Почему мы используем маленькие числа для описания колоссальной энергии?» | Ученики предполагают: «Степени десятки», «Это удобнее, чем писать миллионы джоулей». Высказывают мнение, что существует функция, которая 'сжимает' большие числа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Именно так. Мы используем показатели степени. Сегодня мы научимся находить эти показатели даже тогда, когда они не видны невооруженным глазом. Запишите тему: 'Логарифм числа'.»
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить свойства степеней и столкнуться с задачей, которую невозможно решить известными способами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте проведем блиц-опрос. Я называю уравнение, вы — корень. 2 в степени x равно 4? 3 в степени x равно 27? 5 в степени x равно 1/5? 7 в степени x равно 1?» | Отвечают с места: «x=2», «x=3», «x=-1», «x=0». Объясняют, что подбирали показатель степени. |
2 мин | «А теперь внимание на доску: 2 в степени x равно 3. Чему равен x? Попробуйте подобрать. Больше единицы? Меньше двух? Учитель выводит на экран график y=2^x и y=3 в Desmos.» | Ученики пытаются подобрать: «x около 1,5», «1,6...». Видят на графике точку пересечения, но не могут назвать точное числовое значение координаты x. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы видим, что корень существует, но у нас нет символа для его записи. Это затруднение и приведет нас к открытию нового понятия.»
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (12 мин)
Цель этапа: ввести определение логарифма и проанализировать область допустимых значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Математики договорились называть показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b, логарифмом. Запишем определение: log_a(b) = x, если a^x = b. Учитель диктует ограничения: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Как вы думаете, почему a не может быть единицей или отрицательным?» | Записывают определение в тетрадь. Обсуждают: «Если a=1, то любая степень даст 1, мы не получим b», «Отрицательные числа в дробных степенях не определены». Приходят к выводу о необходимости ОДЗ. |
7 мин | «Применим приём 'Сократовский диалог'. Если log_a(b) — это степень, в которую мы возводим a, чтобы получить b, то что получится, если мы само число a возведем в эту степень? Учитель пишет на доске: a^{log_a(b)} = ?» | Ученики анализируют структуру записи и хором отвечают: «b!». Записывают основное логарифмическое тождество. Один ученик у доски доказывает его на примере 2^{log_2(8)} = 2^3 = 8. |
Запись в тетрадях
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
Основное логарифмическое тождество: a^{log_a(b)} = b.
Основное логарифмическое тождество: a^{log_a(b)} = b.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть инструмент. Мы можем записать корень нашего уравнения 2^x = 3. Это x = log_2(3). Давайте научимся вычислять такие выражения.»
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык вычисления логарифмов по определению.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем по цепочке. Вычисляем устно: log_3(9), log_2(32), log_5(1), log_7(7), log_4(2). Будьте внимательны с последним примером!» | Ученики отвечают: «2», «5», «0», «1», «0,5 (так как корень из 4 это 2)». Поясняют свои ответы, ссылаясь на определение степени. |
3 мин | «А теперь решим пример из банка ЕГЭ (Задание 9): вычислите 5^{log_5(12)} + log_3(1/27). Кто готов прокомментировать решение у доски?» | Ученик у доски: «Первое слагаемое по основному тождеству равно 12. Второе слагаемое — это степень, в которую надо возвести 3, чтобы получить 3^{-3}, то есть -3. Итого: 12 - 3 = 9». Класс фиксирует решение. |
Эталон решения
1) 5^{log_5(12)} = 12 (по основному логарифмическому тождеству).
2) log_3(1/27) = log_3(3^{-3}) = -3.
3) 12 + (-3) = 9.
Ответ: 9.
2) log_3(1/27) = log_3(3^{-3}) = -3.
3) 12 + (-3) = 9.
Ответ: 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справляетесь. Теперь проверим, как вы сможете работать самостоятельно в условиях ограниченного времени.»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностика усвоения материала и развитие навыка самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Раздаю карточки с тремя уровнями сложности. Уровень А — база, Уровень Б — с дробными основаниями, Уровень В — задачи с параметром ОДЗ. Выберите свой уровень и приступайте. Таймер на экране.» | Ученики выбирают уровень, самостоятельно решают задачи в тетрадях. В классе тишина, учитель проходит между рядами, оказывая индивидуальную помощь. |
2 мин | «Время вышло. Откройте следующий слайд презентации с ответами. Отметьте 'плюсом' верные решения. Если есть ошибка — обведите её в кружок, мы разберем её позже.» | Сверяют свои ответы с эталоном на экране, проводят самооценку, фиксируют количество баллов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, кто выполнил всё без ошибок? Отлично. Те, у кого возникли трудности с дробными степенями — это наша зона роста на следующий урок.»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознание пройденного пути и постановка задач на будущее.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте подведем итоги с помощью приёма 'Билет на выход'. На маленьком листке ответьте на вопрос: 'В чем главная ловушка при определении логарифма?'. И поставьте себе оценку за урок по шкале от 1 до 5.» | Пишут ответы: «Ловушка в ОДЗ: основание не 1 и больше 0», «Ловушка в том, что логарифм — это именно степень, а не результат». Сдают листки учителю. |
4 мин | «Ваше домашнее задание на доске. Обратите внимание на творческое задание — найти, где еще, кроме шкалы Рихтера, используются логарифмы (подсказка: музыка или химия).» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы по уровню сложности. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), нет ошибок в определении и ОДЗ.
- «4» — Допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме, или пропущено условие a ≠ 1.
- «3» — Решено более половины заданий уровня А, понимает связь между логарифмом и степенью, но путает основание и показатель.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую операцию, обратную возведению в степень, мы сегодня открыли? | Проверка усвоения базового понятия и его места в системе операций. |
В каких случаях логарифм числа не существует? | Актуализация знаний об ограничениях (ОДЗ) логарифма. |
Где в заданиях ЕГЭ нам встретится сегодняшний материал? | Связь теории с практической целью (подготовка к экзамену). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали первый шаг в мир логарифмов. Вы увидели, что это не просто странный значок, а мощный инструмент для работы со степенями. На следующем уроке мы узнаем, как логарифмы умеют превращать умножение в сложение — это их главное 'волшебное' свойство. Не забудьте посмотреть на клавиатуру пианино — там тоже спрятаны логарифмы! Спасибо за работу, урок окончен.»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 41.1 – 41.10 (четные) | Отработка определения логарифма на простых целых числах. |
Средний (повышающий) | Учебник: № 41.25, 41.28 | Вычисления с использованием основного логарифмического тождества. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование | Подготовить сообщение на 2 минуты: 'Логарифмическая спираль в природе (раковины моллюсков)'. |