Решение прикладных задач на составление уравнений и систем уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться переводить условие прикладной задачи в математическую модель, составлять уравнение или систему уравнений, решать её и интерпретировать ответ на примере не менее двух задач.
- Сформировать умение выделять величины, устанавливать связи между ними и выбирать неизвестные.
- Научить составлять математическую модель текстовой задачи с одной или двумя неизвестными и проверять соответствие решения условию.
- Развивать логическое мышление, смысловое чтение, умение аргументировать выбор переменных и способа решения.
- Воспитывать ответственное отношение к точности вычислений и понимание практической ценности математического моделирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость алгебраических моделей для решения задач, связанных с экономикой, движением и совместной работой.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и отвечать за обоснованность полученного результата.
- Развивают устойчивую учебную мотивацию, связанную с дальнейшим обучением и профессиональным самоопределением.
- Понимают необходимость проверки математического ответа с учётом смысла исходной ситуации.
Метапредметные
- Выделяют из текста существенные данные, неизвестные величины и отношения между ними.
- Строят математическую модель практической ситуации в виде уравнения или системы уравнений.
- Планируют последовательность решения, контролируют вычисления и корректируют ошибочные шаги.
- Аргументированно представляют решение в паре или группе, используют математическую речь и таблицы.
- Применяют навыки функциональной математической грамотности при анализе реальных ситуаций.
Предметные
- Знать основные этапы решения прикладной задачи: анализ условия, выбор неизвестных, составление модели, решение, проверка и запись ответа.
- Уметь составлять линейные и нелинейные уравнения по условию задачи.
- Уметь составлять системы двух уравнений с двумя неизвестными по задачам на движение, работу или стоимость.
- Уметь отбрасывать корни, не соответствующие ограничениям задачи, и формулировать ответ с единицами измерения.
- Владеть приёмами проверки решения подстановкой в исходные зависимости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый способ решения с практическими задачами и будущей учебно-профессиональной деятельностью.
- Осознают значение точности, последовательности и самоконтроля при математическом моделировании.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску решения и конструктивной работе с ошибками.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм к новой задаче.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения задачи и планируют действия по построению математической модели.
- Сверяют промежуточные результаты с условием и выявляют несоответствия.
- Осуществляют самопроверку корней и ограничений на неизвестные величины.
- Оценивают качество решения по критериям: модель, вычисления, проверка, ответ.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром или сверки с эталоном.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из текста задачи и представляют её в таблице или краткой записи.
- Устанавливают причинно-следственные и функциональные связи между величинами.
- Моделируют условие с помощью уравнения, системы, схемы или таблицы.
- Сравнивают разные способы решения и анализируют преимущества каждого.
- Проверяют математический результат по исходным данным и смыслу задачи.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к условию задачи и уточняют смысл введённых переменных.
- Объясняют партнёру, почему выбраны именно такие неизвестные и зависимости.
- Распределяют роли в паре или группе при анализе и оформлении решения.
- Аргументированно принимают или отклоняют предложенную математическую модель.
- Корректно дают обратную связь по критериям «модель — решение — проверка — ответ».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде алгоритм решения прикладной задачи: понять условие, выбрать неизвестные, составить модель, решить, проверить, записать ответ.
- Подготовить две задачи из используемого учебника по теме урока: одну на составление уравнения, вторую на составление системы уравнений.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить карточки с ролями для парной работы: «аналитик условия» и «проверяющий модель».
- Вывести на экран таблицу «Величина — Обозначение — Связь по условию — Единица измерения».
- Распечатать лист самооценки с четырьмя критериями: выбор переменных, модель, решение, проверка и ответ.
- Подготовить эталоны решений для самостоятельной работы и цветные маркеры для выделения данных в условии.
- Обеспечить наличие учебника у каждого ученика; конкретное задание выбрать по своей линии УМК без привязки к номеру и странице.
- Подготовить таймер на 3 минуты для анализа условия и на 6 минут для самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость математического моделирования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране короткую ситуацию: «Для поездки нужно рассчитать время движения автомобиля по двум участкам дороги. Известны общий путь и общее время, но скорости различаются. Как получить точные значения, а не угадывать? Сегодня мы будем переводить такие ситуации на язык алгебры». | Записывают тему урока, формулируют предположения: «Нужно ввести неизвестные», «Составить уравнение или систему». |
2 мин | Учитель применяет приём «Проблемный вопрос»: «Почему решение прикладной задачи нельзя начинать сразу с вычислений? Что может произойти, если неизвестная выбрана неудачно или ответ не проверен? Вспомните, какие задачи вы уже решали с помощью уравнений». | Обсуждают вопрос в парах 30 секунд, затем называют этапы: «Нужно понять условие, установить связи, решить уравнение и проверить ответ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы не просто решим несколько задач, а исследуем общий способ построения математической модели. Сначала восстановим необходимые связи между величинами, затем самостоятельно откроем алгоритм».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать формулы и приёмы, необходимые для составления моделей задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит таблицу «путь — скорость — время» и говорит: «Заполните пропуски в формулах. Если скорость равна $v$, время — $t$, путь — $s$, как выразить каждую величину через две другие? Теперь назовите единицы измерения и объясните, почему их нельзя смешивать без перевода». | Индивидуально заполняют таблицу: $s=vt$, $v=\frac{s}{t}$, $t=\frac{s}{v}$; называют единицы измерения и поясняют необходимость перевода минут в часы. |
3 мин | Учитель предлагает устно разобрать зависимости: «Рабочий выполняет заказ за $x$ часов. Какую часть заказа он выполняет за один час? Если два исполнителя работают одновременно, как выразить их общую производительность? А как записать стоимость покупки из количества и цены?» | Отвечают: «Производительность равна $\frac{1}{x}$», «При совместной работе складываются производительности», «Стоимость равна произведению количества на цену». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что формула сама по себе ещё не является моделью. Модель появляется тогда, когда мы связываем формулу с конкретными величинами из условия. Проверим это на задаче, где привычного алгоритма пока недостаточно».
Этап 3. Выявление проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при переводе текста задачи в систему уравнений и сформулировать план выхода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: «Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 360 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго. Они встретились через 2 часа. Найдите скорости автомобилей». Учитель просит 1 минуту выделить данные и неизвестные, затем спрашивает: «Почему одного уравнения недостаточно, если мы обозначим скорость второго автомобиля через $x$?» | Выделяют данные: 360 км, 2 ч, разность скоростей 10 км/ч. Предлагают неизвестные $x$ и $y$ или одну скорость $x$. Объясняют: «При двух неизвестных нужно установить две независимые связи». |
2 мин | Учитель применяет «Сократовский диалог»: «Как связаны скорости? Какой путь прошёл каждый автомобиль? Как складываются эти пути? Какое уравнение можно записать по общей длине пути? Сформулируйте цель урока». | Отвечают: «$y=x+10$», «Пути равны произведениям скоростей на время», «Сумма путей равна 360». Формулируют цель: «Научиться составлять уравнения и системы по тексту задачи и проверять ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение состоит не в решении системы как таковом, а в точном переводе текста на математический язык. Сейчас мы по шагам построим модель и выделим признаки, которые можно будет применять к новым задачам».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм составления математической модели прикладной задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель возвращается к задаче о двух автомобилях: «Запишем решение не одной строкой, а как исследование условия. Пусть $x$ — скорость второго автомобиля в км/ч, тогда скорость первого — $x+10$. За 2 часа они прошли соответственно $2x$ и $2(x+10)$ километров. Вместе они прошли 360 км. Как оформить обе связи одной системой?» | Записывают обозначения и зависимости в тетрадях, предлагают систему: $\begin{cases}y=x+10\\2x+2y=360\end{cases}$. Объясняют смысл каждого уравнения. |
3 мин | Учитель показывает на доске алгоритм и проговаривает: «Первый шаг — определить, что требуется найти. Второй — выбрать неизвестные и указать единицы. Третий — выразить остальные величины через неизвестные. Четвёртый — составить уравнение или систему по каждому существенному условию. Пятый — решить и проверить по исходному тексту. Шестой — записать ответ с единицами». | Переносят алгоритм в тетради, задают уточняющие вопросы, отмечают, что проверка должна учитывать положительность скорости и соответствие всем данным. |
3 мин | Учитель предлагает сравнить два способа: «Можно было обозначить только скорость второго автомобиля через $x$, а скорость первого записать как $x+10$. Тогда система сводится к одному уравнению. Какой способ удобнее? В каких задачах две неизвестные делают структуру условия понятнее?» | Сравнивают способы и делают вывод: «Одно неизвестное сокращает вычисления, две переменные иногда лучше показывают связи между величинами». Формулируют критерий выбора: модель должна быть понятной и приводить к проверяемому решению. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм: 1) понять условие; 2) выбрать неизвестные и единицы измерения; 3) выразить связанные величины; 4) составить уравнение или систему; 5) решить; 6) проверить ограничения и исходные условия; 7) записать ответ.
Эталон решения
Пусть $x$ — скорость второго автомобиля, $y$ — скорость первого, км/ч. Тогда $y-x=10$. За 2 часа автомобили прошли $2x$ и $2y$ км, поэтому $2x+2y=360$. Получаем систему $\begin{cases}y-x=10\\2x+2y=360\end{cases}$. Из первого уравнения $y=x+10$. Подставляем: $2x+2(x+10)=360$, $4x+20=360$, $x=85$, $y=95$. Проверка: $95-85=10$, $2\cdot95+2\cdot85=360$. Ответ: скорости автомобилей равны 95 км/ч и 85 км/ч.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что текст задачи превращается в модель через последовательную фиксацию величин и связей. Теперь проверим алгоритм на задаче с одной неизвестной, а затем каждый выберет уровень самостоятельной работы».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления уравнения и системы через работу в парах с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам задачу: «На двух полках было 48 книг. После того как с первой полки перенесли на вторую 6 книг, на второй стало в 2 раза больше книг, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке первоначально?» Учитель говорит: «Используйте приём “Подумай — обсуди в паре — поделись”. Один ученик выделяет неизвестные и составляет краткую запись, второй проверяет связь после переноса. Затем поменяйтесь ролями». | Индивидуально намечают модель, затем обсуждают в парах. Обозначают число книг на первой полке через $x$, на второй — $48-x$; составляют $48-x+6=2(x-6)$. Объясняют смысл обеих частей равенства. |
3 мин | Учитель приглашает одну пару представить решение и задаёт вопросы: «Почему в правой части стоит $x-6$? Какие ограничения есть у неизвестной? Как проверим ответ? Остальные пары сравнивают решение с эталоном и отмечают одну сильную сторону и один вопрос». | Представляют решение: $48-x+6=2(x-6)$, $54-x=2x-12$, $3x=66$, $x=22$. Получают 22 и 26 книг, проверяют после переноса: 16 и 32, причём $32=2\cdot16$. Формулируют обратную связь. |
Эталон решения
Пусть $x$ — число книг на первой полке, тогда на второй было $48-x$. После переноса на первой стало $x-6$, на второй — $48-x+6$. По условию $48-x+6=2(x-6)$. Отсюда $54-x=2x-12$, $3x=66$, $x=22$. На второй полке было $48-22=26$ книг. Проверка: после переноса получаем 16 и 32, условие выполнено. Ответ: первоначально 22 книги и 26 книг.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Важнее всего оказалось не механически решить уравнение, а правильно описать величины до и после изменения. Теперь выберите карточку своего уровня и покажите, как алгоритм работает в новой ситуации».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение строить модель, решать её и интерпретировать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: «Карточка базового уровня содержит задачу на одно уравнение, карточка повышающего уровня — на систему, карточка дополнительного уровня — на исследование двух моделей. Выберите посильный вариант, но помните: ценится не только ответ, а вся цепочка рассуждений. На доске остаётся алгоритм». | Выбирают уровень, подписывают карточку, выделяют данные и неизвестные, составляют краткую запись. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: «После снижения цены товара на 20% его стоимость стала 960 рублей. Найдите первоначальную цену». Повышающий уровень: «Два рабочих выполняют заказ за 6 часов. Первый один выполнил бы его на 5 часов быстрее второго. За сколько часов каждый выполняет заказ один?» Продвинутый уровень: «Придумайте задачу на движение, решение которой приводит к системе двух уравнений, и решите её». Учитель адресно консультирует, не называя готовую модель. | Решают выбранную задачу, записывают обозначения, уравнение или систему, выполняют проверку и формулируют ответ. Ученики продвинутого уровня составляют собственное условие, проверяют реалистичность данных. |
2 мин | Учитель открывает эталон и проводит самопроверку: «Сверяйте не только корень. Проверьте выбор переменных, каждую связь, допустимость ответа и единицы измерения. Ошибку исправляйте другим цветом и подпишите её причину». | Сверяют решение с эталоном, отмечают выполненные критерии в листе самооценки, исправляют ошибки и формулируют причину затруднения. |
Эталон решения
Базовая задача: пусть $x$ — первоначальная цена. После снижения на 20% цена составила $0{,}8x$, поэтому $0{,}8x=960$, $x=1200$. Ответ: 1200 рублей. Для повышенной задачи: пусть $x$ — время работы первого, $y$ — время работы второго. Тогда $x=y-5$, а совместная производительность равна $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$. После подстановки получается уравнение с допустимыми положительными корнями; выбирается корень, удовлетворяющий условию $y>x$. Учитель проверяет вычисления по выбранному материалу учебника и обращает внимание на обязательную проверку ограничений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У каждого сейчас есть личный результат и понятная точка роста. Мы проверили, что один и тот же алгоритм работает для задач на цену, совместную работу и движение. Осталось обобщить способ и зафиксировать, что именно вы теперь умеете».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать освоенный алгоритм, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: «На отдельной строке ответьте на три вопроса: какой шаг алгоритма сегодня стал понятнее; где возникло затруднение; как проверить, что корень имеет смысл для задачи? Запишите кратко, но конкретно». | Письменно отвечают: «Выбираю переменные до записи формулы», «Трудно составлять производительность», «Подставляю значения в исходные зависимости и проверяю единицы». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: «Выберите уровень, ориентируясь на сегодняшнюю самостоятельную работу. Обязательное условие для любой задачи — краткая запись, модель, решение, проверка и ответ. На следующем уроке разберём типичные ошибки и сравним модели». | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью и самостоятельно составлена корректная модель, верно выполнены преобразования, проведена проверка и записан ответ с единицами измерения; для продвинутого уровня дополнительно обоснована реалистичность собственной задачи.
- «4» — модель и основной ход решения верны, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не изменяющая способ решения; проверка выполнена частично.
- «3» — выделены основные величины и составлено уравнение или система, но есть ошибки в связях, преобразованиях или интерпретации ответа; решение требует помощи учителя.
- Ниже базового уровня — условие и данные выделены фрагментарно, математическая модель не соответствует тексту или отсутствует проверка результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения прикладной задачи вы теперь можете объяснить другому человеку? | Выявление осознанности освоенного способа действия. |
Как вы выбирали неизвестную или неизвестные величины? | Проверка понимания связи между текстом и математической моделью. |
Где возникло затруднение: при чтении условия, составлении модели, решении или проверке? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы убедились, что полученный ответ имеет смысл? | Формирование привычки проверять ограничения, единицы измерения и исходные условия. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что прикладная задача начинается не с вычислений, а с анализа ситуации и выбора величин. Надёжное решение включает модель, преобразования, проверку и осмысленный ответ. Типичная ошибка — записать правильную формулу, но не объяснить, какие величины она связывает и почему корень подходит условию. На следующем уроке мы продолжим сравнивать модели задач на движение, работу и проценты и научимся быстрее замечать лишние или недостаточные данные».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 прикладные задачи на составление одного уравнения: одну на проценты или стоимость, одну на движение, одну на изменение количества. Для каждой записать неизвестную, уравнение, решение, проверку и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм моделирования; при проверке обратить внимание на соответствие уравнения условию и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на составление системы двух уравнений: одну на движение, одну на совместную работу и одну на стоимость двух видов товаров. В каждой задаче объяснить смысл обоих уравнений. | Развивает умение выделять две независимые связи; при проверке смотреть на корректность обозначений и интерпретацию корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную прикладную задачу, приводящую к системе двух уравнений, а затем предложить альтернативный выбор неизвестных и сравнить модели. | Формирует исследовательское и творческое мышление; при проверке оценить реалистичность условия, полноту решения и доказательность сравнения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие этапы включает решение прикладной задачи? Чем уравнение отличается от системы в контексте задачи? Зачем проверять корни по исходному условию? Какие единицы измерения нужно согласовать перед составлением модели?»
