Функция и её свойства: исследуем поведение функции по формуле и графику
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле и графику функции определять её область определения и множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности и наибольшее или наименьшее значение, обосновывая каждый вывод.
- Сформировать представление о функции как зависимости одной переменной от другой и систематизировать основные свойства функции.
- Научиться извлекать информацию о свойствах функции из её формулы, таблицы значений и графика.
- Развивать умение сравнивать математические объекты, выдвигать гипотезы, проверять их и аргументировать выводы.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, готовность к самостоятельному выбору уровня задания и интерес к применению функций в естественных науках и будущей профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают роль функциональной зависимости как универсального языка описания процессов в математике, физике, экономике и информатике.
- Проявляют познавательную мотивацию при исследовании поведения функции и связывают изучаемый материал с дальнейшим обучением.
- Принимают необходимость аккуратного обоснования выводов и проверки полученного результата.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать посильный и повышенный уровень задания.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста учебника, формулы, таблицы и графика, преобразуют её в краткую схему.
- Сравнивают свойства нескольких функций и выделяют существенные признаки.
- Планируют исследование функции по предложенному алгоритму и контролируют полноту ответа.
- Формулируют выводы, участвуют в математическом диалоге и аргументируют позицию.
- Используют графическую модель для решения практической и учебной задачи.
Предметные
- Знать определения функции, области определения, множества значений, нулей функции, промежутков знакопостоянства и монотонности.
- Уметь определять область определения простейших функций по формуле.
- Уметь находить нули функции и промежутки, на которых функция положительна или отрицательна.
- Уметь по графику определять область определения, множество значений, нули, промежутки возрастания и убывания, экстремальные значения.
- Владеть алгоритмом исследования функции и применять его к функциям $y=x^2-4x+3$ и $y=|x-2|$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат урока и соотносят его с дальнейшим изучением алгебры.
- Осознают ценность доказательного рассуждения и точной математической речи.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Оценивают собственное продвижение и фиксируют затруднение без отказа от дальнейшей работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции на основе учебной проблемы.
- Планируют последовательность анализа функции по алгоритму.
- Проверяют правильность найденной области определения и корней.
- Сопоставляют собственное решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции и её свойств.
- Строят таблицу соответствий «свойство — способ определения».
- Анализируют формулу, график и таблицу как разные способы задания функции.
- Моделируют зависимость с помощью координатной плоскости и графика.
- Устанавливают связь между нулями функции и точками пересечения графика с осью абсцисс.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по распределённым ролям: аналитик и проверяющий.
- Формулируют уточняющие вопросы к решению одноклассника.
- Аргументируют выводы математическими терминами и формулами.
- Согласуют общий ответ группы и корректно указывают на неточность.
- Представляют результат исследования классу в краткой форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определением функции, обозначениями $D(f)$ и $E(f)$ и перечнем основных свойств.
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые задания на чтение графика, средние задания на исследование функции по формуле, повышенное задание на сравнение двух функций.
- Распечатать по одному листу самооценки и одной карточке базового уровня на каждого ученика, карточки среднего и повышенного уровня — по одной на парту.
- Подготовить крупные изображения графиков $y=x^2-4x+3$ и $y=|x-2|$ с координатной сеткой.
- Вывести на экран алгоритм исследования функции: область определения; нули; знак; монотонность; экстремумы; множество значений.
- Подготовить фрагмент учебника с определениями и заданиями по теме; конкретные номера и страницы учитель выбирает по используемому изданию.
- Подготовить маркеры, магниты или стикеры двух цветов для фиксации свойств на доске.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска, линейки, тетради и ручки.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Как по формуле и графику описать поведение функции?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость свойств функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка, линейка и учебник должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто решать отдельные примеры, а исследовать функцию как математическую модель зависимости. Запишите дату и тему урока." | Проверяют принадлежности, записывают дату и тему: «Функция и её свойства». Открывают учебник на разделе, посвящённом функциям. |
2 мин | Учитель показывает на экране график изменения температуры в течение суток и спрашивает: "Что можно узнать по этому графику, не выполняя вычислений? В какое время температура возрастала, когда достигла максимума, при каких значениях была выше нуля? Сегодня нам нужно научиться описывать такое поведение строгими математическими терминами." | Рассматривают график, называют наблюдаемые характеристики: «температура возрастает и убывает», «есть наибольшее значение», «можно определить промежутки времени». Формулируют предположение: «Для описания графика нужны свойства функции». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график содержит гораздо больше информации, чем отдельные точки. Теперь вспомним, что уже знаем о функции, и определим, каких понятий нам не хватает для полного описания её поведения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятие функции, способы её задания и навыки чтения координатной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните определение функции. Сначала сформулируйте его самостоятельно, затем обсудите с соседом и выберите точную формулировку. В ответе обязательно укажите, какие величины связаны и сколько значений зависимой переменной соответствует одному значению аргумента." | Индивидуально формулируют определение, затем обсуждают его в парах. Представляют ответ: «Функцией называют зависимость, при которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции». |
2 мин | Учитель показывает три записи: формулу $y=2x-1$, таблицу значений и график. Спрашивает: "Какими способами может быть задана функция? Что обозначают $x$ и $y$? Как на графике найти значение функции при заданном аргументе?" | Называют аналитический, табличный и графический способы задания. Объясняют: «$x$ — аргумент, $y$ — значение функции». Показывают на графике вертикальную и горизонтальную координаты точки. |
2 мин | Учитель предлагает быстро проверить опорные умения: "Для функции $y=x^2-4x+3$ найдите значение при $x=1$ и при $x=3$. Теперь определите, при каких значениях $x$ график пересекает ось абсцисс." | Вычисляют: $f(1)=0$, $f(3)=0$. Делают вывод: «Точки пересечения с осью абсцисс соответствуют нулям функции». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как задаётся функция и как находить её значения и нули. Но пока мы не умеем составлять полное описание её поведения. Зафиксируем затруднение и поставим цель исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить недостаточность прежних знаний и совместно построить план изучения свойств функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Перед вами функция $y=x^2-4x+3$. Мы можем найти несколько её значений и нули. Но достаточно ли этого, чтобы ответить, где функция положительна, где убывает, какое значение является наименьшим и какие значения вообще принимает? Обсудите вопрос в парах и назовите, чего не хватает." | Обсуждают в парах и формулируют затруднение: «Нужно знать область определения, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, экстремумы и множество значений». |
2 мин | Учитель записывает на доске проблемный вопрос и направляет «Снежный ком»: "Сначала каждый предложит один пункт исследования, затем объединитесь в пары и составьте общий список. Какой порядок будет удобным?" Учитель принимает предложения и оформляет алгоритм. | Предлагают пункты, объединяют их в алгоритм: область определения; нули; знак; монотонность; экстремумы; множество значений. Записывают цель: «Научиться исследовать функцию по формуле и графику». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы сами определили, какие вопросы нужно задать функции. Теперь обратимся к определениям в учебнике и проверим, как математически называются эти характеристики."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия основных свойств функции и установить способы их определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает чтение с пометками: "Прочитайте в учебнике определения области определения, множества значений, нулей функции, промежутков знакопостоянства и монотонности. Поставьте знак «+» рядом с новым, «?» рядом с непонятным и «✓» рядом с уже известным. После чтения обсудите в паре один термин, который требует пояснения." | Читают определения в учебнике, делают пометки, обсуждают термин. Формулируют: «Область определения — все допустимые значения аргумента», «множество значений — все значения функции», «нуль — значение аргумента, при котором функция равна нулю». |
3 мин | Учитель показывает график функции и проговаривает: "Посмотрите на график. Область определения читаем по оси $x$, множество значений — по оси $y$. Нули находим по точкам пересечения с осью абсцисс. Если при движении слева направо график поднимается, функция возрастает, если опускается — убывает. Проверим это на графике." | По графику называют область определения, множество значений, нули и промежутки монотонности. Объясняют ответ через движение слева направо. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Исследуем функцию $f(x)=x^2-4x+3$. Область определения — все действительные числа. Нули найдём из уравнения $x^2-4x+3=0$: корни $x=1$ и $x=3$. Парабола направлена вверх, вершина имеет абсциссу $x=2$, поэтому функция убывает на $(-\infty;2]$, возрастает на $[2;+\infty)$ и принимает наименьшее значение $-1$." | Записывают алгоритм и основные выводы. Проверяют вычисления: $f(2)=-1$. Формулируют: «Функция отрицательна на $(1;3)$ и положительна на $(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$». |
Запись в тетрадях
- Область определения $D(f)$ — множество допустимых значений аргумента.
- Множество значений $E(f)$ — множество всех значений функции.
- Нули функции — значения $x$, при которых $f(x)=0$.
- Промежутки возрастания и убывания определяют изменение функции при увеличении аргумента.
- Алгоритм исследования: область определения; нули и знак; монотонность; экстремумы; множество значений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили язык, с помощью которого можно описывать функцию целиком. Сейчас проверим понимание на простом графическом задании, а затем каждый самостоятельно исследует функцию по карточке."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение свойств функции по графику и научиться обосновывать каждый ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует график кусочной функции и говорит: "Работаем в парах. За три минуты заполните таблицу: область определения, множество значений, нули, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения. Не просто вписывайте ответы, а проведите взглядом по графику и укажите, как получили каждый вывод." | В парах заполняют таблицу по графику, распределяют роли. Формулируют ответы: «Область определения читаем по горизонтальной оси», «нули — абсциссы точек пересечения с осью $x$». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь таблицами с соседней парой. Используйте приём «Две звезды и пожелание»: отметьте два точных ответа и одну формулировку, которую нужно уточнить. Проверьте особенно обозначение концов промежутков." | Проверяют работу другой пары, отмечают два достоинства и одно пожелание. Исправляют открытые интервалы и значения в конечных точках. |
2 мин | Учитель задаёт толстые вопросы: "Почему по графику нельзя назвать область определения множеством значений? Что изменится в ответе, если точка на графике будет обозначена пустым кружком?" | Объясняют различие осей: «Область определения относится к $x$, множество значений — к $y$». Делают вывод: «Пустой кружок означает, что точка не входит в график, поэтому соответствующее значение не включается». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились читать свойства по графику и внимательно учитывать границы промежутков. Теперь каждый проверит себя на самостоятельном исследовании, выбрав базовый, средний или повышенный уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: применить алгоритм исследования функции индивидуально и выявить уровень освоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Базовый обязателен для всех; средний требует полного исследования функции; повышенный предлагает сравнить две функции и сделать вывод. Критерии одинаковы: точность терминов, последовательность алгоритма и обоснование." | Выбирают карточку, подписывают работу и записывают выбранный уровень. |
6 мин | Учитель сопровождает работу и напоминает: "Для базового уровня по данному графику определите $D(f)$, $E(f)$, нули и промежутки знакопостоянства. Для среднего исследуйте $f(x)=x^2-6x+5$: найдите нули, вершину, промежутки монотонности, знак и множество значений. Для повышенного сравните поведение $f(x)=x^2$ и $g(x)=|x|$ на промежутке $[-2;2]$. Записывайте не только ответ, но и ход рассуждений." | Индивидуально выполняют выбранное задание. Базовый уровень читают по графику; средний решают уравнение $x^2-6x+5=0$, находят вершину и строят выводы; повышенный сравнивают графики и формулируют сходство и различие. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте себя по пунктам. Для среднего задания $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, нули $1$ и $5$, вершина имеет координаты $(3;-4)$, функция убывает на $(-\infty;3]$, возрастает на $[3;+\infty)$, а множество значений $[-4;+\infty)$. Исправьте ошибки другим цветом и укажите причину одной ошибки." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, записывают причину: «не учёл направление ветвей», «перепутал область определения и множество значений», «неверно расставил границы промежутка». |
Эталон решения
Для $f(x)=x^2-6x+5$: $D(f)=(-\infty;+\infty)$. Нули: $x^2-6x+5=0$, $(x-1)(x-5)=0$, поэтому $x_1=1$, $x_2=5$. Вершина: $x_0=\frac{6}{2}=3$, $f(3)=9-18+5=-4$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, функция убывает на $(-\infty;3]$, возрастает на $[3;+\infty)$ и принимает наименьшее значение $-4$. Функция положительна на $(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$ и отрицательна на $(1;5)$. $E(f)=[-4;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм помогает не потерять ни одно свойство функции. Обратите внимание на свои исправления: именно они подсказывают, что нужно повторить перед следующим уроком. Завершим работу короткой рефлексией и проверим достижение цели."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить изученный алгоритм, оценить собственный результат и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить лист самооценки: "Отметьте, могу ли я определить область определения и множество значений, найти нули, описать знак и монотонность функции. Если пункт пока не получается, поставьте знак вопроса и запишите, какая помощь нужна." | Заполняют лист самооценки, отмечают освоенные действия и одно затруднение. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как по формуле и графику описать поведение функции? Назовите по цепочке свойства, которые мы исследуем." | По цепочке называют алгоритм: «область определения, нули, знак, монотонность, экстремумы, множество значений». Формулируют: «Формула позволяет вычислять и преобразовывать, график — видеть поведение функции». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и при желании добавьте повышенный или дополнительный. Перед выходом ответьте устно на два контрольных вопроса: чем область определения отличается от множества значений и что означают нули функции?" | Записывают домашнее задание, отвечают: «Область определения содержит значения аргумента, множество значений — значения функции»; «нули — аргументы, при которых значение функции равно нулю». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью выполнено задание выбранного уровня, правильно определены все требуемые свойства функции, приведены вычисления или графические обоснования, математические обозначения и интервалы записаны корректно.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, основные свойства определены верно, допущена одна неточность в вычислении, обозначении границы интервала или формулировке вывода.
- «3» — выполнено обязательное ядро задания: правильно определены область определения и нули либо прочитаны основные свойства графика, но допущены две-три ошибки в знакопостоянстве, монотонности или множестве значений.
- Ниже отметки «3» — отсутствует последовательное исследование функции или неверно использованы базовые понятия; ученику предлагается доработать обязательную часть по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о свойствах функции? | Выявление осознанности изученных понятий и способности назвать их своими словами. |
Какое свойство функции было труднее всего определить и почему? | Выявление точек затруднения в алгоритме исследования. |
Что помогает отличить область определения от множества значений? | Проверка понимания связи свойств с координатными осями. |
Какой уровень задания вы выбрали и что позволило вам его выполнить? | Осознание стратегии выбора сложности и субъективная оценка результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать функцию не как отдельную формулу, а как объект с определёнными свойствами и поведением. Мы установили, что область определения связана с аргументом, множество значений — со значениями функции, а нули показывают пересечения графика с осью абсцисс. Типичная ошибка — путать область определения и множество значений или неверно включать концы промежутков. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и будем использовать их свойства при построении и преобразовании графиков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на чтение графика функции: определить область определения, множество значений, нули и промежутки знакопостоянства. | Закрепляет чтение графика и связь свойств функции с координатными осями; при проверке смотреть на правильность интервалов и обозначение точек. |
Средний (повышающий) | Исследовать 2 квадратичные функции по формуле: найти область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, экстремум и множество значений. | Закрепляет полный алгоритм исследования функции; при проверке смотреть на последовательность рассуждений, вычисление вершины и обоснование знака. |
Продвинутый (дополнительный) | Сравнить функции $y=x^2$ и $y=|x|$ на заданном отрезке, построить их схематические графики и подготовить письменный вывод о совпадающих и различных свойствах. | Развивает анализ и математическую аргументацию; при проверке смотреть на корректность сравнения, использование терминов и связь вывода с графиками. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют областью определения функции? Как по графику найти нули функции? Чем промежуток возрастания отличается от промежутка убывания? Как определить наименьшее значение функции по её графику?»
