Арифметический корень натуральной степени
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать арифметический корень натуральной степени, находить его значение в простых случаях и применять определение при преобразовании выражений, успешно выполнив не менее 4 из 5 заданий базового и повышенного уровней.
- Сформировать представление об арифметическом корне натуральной степени и условиях его существования.
- Научиться записывать определение корня $n$-й степени и использовать равенство $(\sqrt[n]{a})^n=a$ при $a\geq0$.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить ошибки в рассуждениях и аргументировать выбор действия.
- Воспитывать ответственное отношение к самостоятельной работе, готовность проверять результат и оценивать собственный прогресс.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной записи определения для дальнейшего изучения степенной функции и подготовки к экзаменационным заданиям.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Понимают ценность проверки результата и корректного математического обоснования.
- Формируют готовность спокойно анализировать ошибку как источник дальнейшего продвижения.
Метапредметные
- Извлекают условие и математическую информацию из записи выражения.
- Составляют алгоритм нахождения арифметического корня и проверяют его применением степени.
- Сравнивают решения, выделяют существенные признаки чётной и нечётной степени.
- Работают в паре, формулируют вопрос и аргументируют математический вывод.
- Используют самопроверку по эталону и корректируют решение.
Предметные
- Знать определение арифметического корня $n$-й степени из неотрицательного числа.
- Понимать условия существования корня при чётном и нечётном показателе.
- Уметь находить значения корней натуральной степени в простых случаях.
- Уметь применять равенства $(\sqrt[n]{a})^n=a$ и $\sqrt[n]{b^n}=b$ при допустимых условиях.
- Уметь объяснять, почему значение арифметического корня неотрицательно.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы с новым понятием и соотносят её с будущим изучением функций.
- Проявляют интерес к исследованию зависимости результата от показателя корня.
- Осознают ответственность за точность записи и самостоятельность математического рассуждения.
- Оценивают собственную готовность применять определение в новой ситуации.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения в вычислении корней.
- Планируют последовательность: определить показатель, найти число, дающее нужную степень, проверить ответ.
- Контролируют знак и область допустимых значений результата.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют основание и показатель корня в математической записи.
- Сравнивают корни чётной и нечётной степени на конкретных примерах.
- Строят рассуждение от определения к вычислительному алгоритму.
- Моделируют проверку корня возведением в степень.
- Анализируют ложное утверждение и приводят контрпример.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в парах и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о знаке и существовании корня.
- Представляют решение у доски с проговариванием каждого шага.
- Аргументированно принимают или опровергают решение одноклассника.
- Согласуют распределение ролей при выполнении группового задания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами $\sqrt{9}$, $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[4]{16}$, $\sqrt[3]{-8}$ и проблемным вопросом о знаке корня.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить листы с эталоном самопроверки — по одному на каждого ученика, выдавать после самостоятельной работы.
- Разместить на доске памятку: показатель корня, подкоренное выражение, знак корня, условие существования.
- Подготовить карточки для работы в парах с утверждениями «верно/неверно» — по одной на парту.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, таймер и маркеры.
- Заранее записать на отдельной части доски задания самостоятельной работы и критерии оценивания.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и создать мотивацию к открытию нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам предстоит не просто выучить новое обозначение, а самостоятельно установить, какое математическое действие скрывается за знаком корня. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и калькулятор не используется: сначала рассуждаем точно, затем проверяем себя." | Готовят тетради, записывают дату, настраиваются на работу без калькулятора. |
2 мин | Учитель показывает на доске записи $\sqrt{9}$, $\sqrt[3]{8}$ и $\sqrt[4]{16}$: "Что общего у этих выражений? Какое действие, обратное возведению в степень, мы уже умеем выполнять? Попробуйте за 30 секунд сформулировать предположение, а затем обсудите его с соседом." | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в парах и предлагают ответы: "Нужно найти число, которое при возведении в степень даёт подкоренное число". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши предположения близки к определению. Сейчас проверим их на разных показателях и выясним, какие условия обязательно нужно учитывать."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия степени и обнаружить необходимость точного определения нового действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует устную разминку: "Вычислите без записи $2^3$, $3^2$, $(-2)^4$, $(-2)^3$. Объясните, почему в двух последних случаях знаки ответов различаются. Не называйте только число — проговорите правило." | Вычисляют: $2^3=8$, $3^2=9$, $(-2)^4=16$, $(-2)^3=-8$; формулируют: "Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна". |
3 мин | Учитель предлагает карточку: "Попробуйте решить уравнения $x^2=25$ и $x^3=8$. Какой ответ запишете? Почему в первом уравнении нельзя оставить только число 5?" Учитель фиксирует разные ответы на доске. | Решают: для $x^2=25$ получают $x=5$ или $x=-5$, для $x^3=8$ — $x=2$; замечают, что знак корня должен задавать один определённый результат. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить числа по их степени, но пока смешиваем два разных вопроса: найти все решения уравнения и выбрать неотрицательное значение. Значит, нам нужно точное определение арифметического корня."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии успешного применения нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Можно ли одинаково понимать записи $\sqrt{16}$ и $\sqrt[3]{-8}$? Что должно быть известно о показателе и подкоренном выражении, чтобы запись имела смысл? Запишите индивидуально два вопроса, на которые необходимо ответить сегодня." | Записывают вопросы: "Как определяется корень? Какой знак имеет его значение? Когда корень существует?" Обсуждают формулировки в парах. |
2 мин | Учитель обобщает ответы: "К концу урока вы должны уметь распознавать элементы записи, находить корень в простых случаях и проверять ответ возведением в степень. Выберите личный ориентир: понять определение, научиться вычислять или уверенно решать задания повышенной сложности." | Формулируют личную цель, записывают тему урока: «Арифметический корень натуральной степени». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от наблюдений мы переходим к строгому определению, а затем сразу проверим его на практических заданиях разной сложности."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: совместно вывести определение арифметического корня натуральной степени и условия его существования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: "Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$." Затем поясняет: "В записи $\sqrt[n]{a}$ число $n$ называется показателем корня, $a$ — подкоренным выражением, а сама запись обозначает единственное неотрицательное число. Поэтому $\sqrt{25}=5$, хотя уравнение $x^2=25$ имеет два корня." | Записывают определение и обозначения в тетрадь, подчёркивают слова «неотрицательное» и «$n$-я степень равна». |
3 мин | Учитель предлагает заполнить пропуски: "$\sqrt[3]{27}=...$, потому что ...; $\sqrt[4]{81}=...$, потому что ...; $\sqrt[5]{-32}$ ...". Учитель уточняет: "Что меняется при нечётном показателе? А что происходит с арифметическим корнем чётной степени из отрицательного числа?" | Заполняют записи: $\sqrt[3]{27}=3$, так как $3^3=27$; $\sqrt[4]{81}=3$, так как $3^4=81$; корень нечётной степени из отрицательного числа может существовать, но арифметическим он называется только при неотрицательном подкоренном выражении. Формулируют: "При чётном показателе отрицательное подкоренное выражение недопустимо". |
2 мин | Учитель формулирует свойства на доске: "$\sqrt[n]{a}\geq0$ при $a\geq0$; $(\sqrt[n]{a})^n=a$. Для $\sqrt[n]{b^n}$ нужно учитывать знак $b$: при чётном $n$ получается $|b|$, а при нечётном — $b$." Учитель просит объяснить это на примерах. | Объясняют: $\sqrt{(-4)^2}=4$, а $\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$; фиксируют различие в тетради. |
Запись в тетрадях
Арифметический корень $n$-й степени из числа $a\geq0$ — это неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$. Основные свойства: $\sqrt[n]{a}\geq0$ и $(\sqrt[n]{a})^n=a$. При чётном $n$ выражение $\sqrt[n]{a}$ рассматривается при $a\geq0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение теперь задаёт нам алгоритм: ищем неотрицательное число, проверяем его $n$-ю степень и учитываем допустимость подкоренного выражения. Перейдём к заданиям, где этот алгоритм нужно проговорить и применить."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать применение определения и научиться объяснять каждый ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Вычислите $\sqrt{49}$, $\sqrt[3]{-125}$, $\sqrt[4]{625}$, $\sqrt[5]{32}$. Для каждого ответа обязательно запишите проверку возведением в степень. Один ученик решает, второй проверяет знак и показатель, затем поменяйтесь ролями." | В парах решают задания: $7$, $-5$, $5$, $2$; записывают проверки $7^2=49$, $(-5)^3=-125$, $5^4=625$, $2^5=32$. |
3 мин | Учитель вызывает к доске четырёх учеников и просит проговаривать алгоритм: "Не называйте ответ без объяснения. Сначала назовите показатель, затем число-кандидат и проверку." При необходимости задаёт вопрос: "Почему в третьем примере ответ не может быть отрицательным?" | Оформляют решения у доски, объясняют: "Показатель чётный, арифметический корень неотрицателен". |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями и поставьте знак плюс, если есть ответ и проверка, вопросительный знак — если шаг пропущен. Устно объясните партнёру одну найденную неточность." | Проверяют записи по критериям, исправляют знак, показатель или вычисление, формулируют замечание партнёру. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что правильный ответ — это не только число, но и короткое доказательство через определение. Теперь каждый проверит себя самостоятельно и выберет уровень сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание определения и применить его в заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательный базовый блок. Если он получается уверенно, переходите к повышенному, затем к дополнительному. В каждом пункте важны не только вычисления, но и знак ответа. Работайте самостоятельно, вопросы записывайте на полях." | Выбирают карточку или последовательность заданий, готовят рабочую запись. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно задаёт вопросы: "Какой показатель у корня? Какое неотрицательное число в этой степени даёт подкоренное выражение? Как вы проверите результат?" На доске остаются критерии: определить показатель, подобрать число, выполнить проверку. | Решают базовые задания: $\sqrt{36}$, $\sqrt[3]{64}$, $\sqrt[4]{16}$; повышенные: $\sqrt[3]{-216}$, $\sqrt[5]{-243}$, $\sqrt{(-7)^2}$; дополнительное: объяснить ошибку в записи $\sqrt{(-9)^2}=-9$. |
3 мин | Учитель выдаёт эталон: "Сверьте не только ответы, но и ход решения. Если обнаружили ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление. Поднимите зелёную карточку, если готовы объяснить решение, жёлтую — если нужна консультация." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, показывают карточку самооценки и формулируют вопрос при затруднении. |
Эталон решения
$\sqrt{36}=6$, поскольку $6\geq0$ и $6^2=36$. $\sqrt[3]{-216}=-6$, поскольку $(-6)^3=-216$. $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$, а не $-7$, так как арифметический корень по определению неотрицателен. В записи $\sqrt{(-9)^2}=-9$ ошибка связана с нарушением условия $\sqrt{a}\geq0$; верно: $\sqrt{(-9)^2}=9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вычислительная часть уже доступна большинству, а главный контрольный вопрос — знак корня. В завершение применим новое понятие к короткой задаче и сформулируем общий алгоритм."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: связать новое понятие с уравнениями и осознать результаты собственной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Площадь квадрата равна $49$ квадратным сантиметрам. Найдите длину его стороны и объясните, почему выбирается именно арифметический корень." Затем спрашивает: "Как изменится решение, если речь идёт о корне кубического уравнения $x^3=-27$?" | Записывают $a=\sqrt{49}=7$ см, объясняют, что длина не может быть отрицательной; для кубического уравнения называют $x=-3$. |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная запись»: "За одну минуту закончите три фразы: ‘Арифметический корень — это…’; ‘При чётном показателе…’; ‘Чтобы проверить корень, нужно…’." | Индивидуально дописывают определения и правила, затем сверяют формулировки с соседом. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Зелёный — могу вычислить и объяснить; жёлтый — вычисляю, но путаюсь в условиях; красный — нужна помощь с определением. Поднимите карточку и назовите один следующий шаг." | Показывают цвет, называют личный шаг: повторить определение, решить два примера или разобрать ошибку со знаком. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы определили арифметический корень, научились находить его значение и проверять ответ степенью. Дома закрепите алгоритм и выберите задание, которое позволит сделать следующий шаг."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все базовые задания и не менее двух заданий повышенного уровня, в каждой записи указана проверка, знак корня обоснован.
- «4» — верно выполнены все базовые задания и не менее одного задания повышенного уровня, допущена не более одной вычислительной ошибки.
- «3» — верно выполнены не менее двух базовых заданий, определены показатель и знак корня, но требуется исправление одной существенной ошибки в применении определения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое арифметический корень $n$-й степени? | Проверка осознания определения и обязательного условия неотрицательности. |
Как вы определяете знак результата при чётном показателе? | Выявление понимания ключевого отличия арифметического корня от решения уравнения. |
Какая ошибка в самостоятельной работе оказалась для вас наиболее типичной? | Диагностика точек затруднения и необходимости коррекции алгоритма. |
Какое задание вы готовы решать самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка уровня освоения и готовности к усложнению материала. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что арифметический корень — это не любое решение уравнения, а единственное неотрицательное число, заданное определением. Особенно внимательно нужно следить за знаком: именно здесь чаще всего возникает ошибка в записи $\sqrt{b^2}=b$ вместо верного равенства $\sqrt{b^2}=|b|$. Вы научились проверять ответ возведением в степень и выбирать уровень практики. На следующем уроке мы продолжим преобразования выражений с корнями и исследуем их свойства."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий на вычисление арифметических корней второй, третьей, четвёртой и пятой степени; к каждому записать проверку возведением в степень. | Закрепляет определение и алгоритм; при проверке обратить внимание на показатель, знак и полноту записи. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на преобразование выражений вида $\sqrt[n]{b^n}$ при положительных и отрицательных значениях $b$, отдельно объяснив случаи чётного и нечётного показателя. | Формирует умение учитывать знак переменной и не механически применять формулу; проверить наличие обоснования. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задания: одно на вычисление корня, одно на поиск ошибки в рассуждении и одно с короткой практической ситуацией, где длина или величина находится через арифметический корень. | Развивает создание математического задания, аргументацию и перенос понятия в реальный контекст; оценить корректность условий и решений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое число называется арифметическим корнем?», «Почему $\sqrt{(-5)^2}=5$?», «Когда корень чётной степени из отрицательного числа не имеет смысла?», «Как проверить найденный корень?»
