Аксиомы стереометрии и следствия

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

1. Способы задания плоскости

Определите, сколько различных плоскостей может проходить через указанные наборы объектов в общем случае.

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Логика пространственных отношений

Оцените истинность утверждений, опираясь на аксиомы стереометрии.

1. Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.ИстинаЛожь
2. Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.ИстинаЛожь
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.ИстинаЛожь

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

3. Следствия из аксиом

Заполните пропуски в формулировках теорем.

Через две прямые проходит плоскость, и притом только одна. Через прямую и точку проходит плоскость, и притом только одна.

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

4. Комбинаторика в пространстве

Дано 5 точек, причём никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через все возможные тройки этих точек?

МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР · 2 БАЛЛА

5. Пересечение трех плоскостей

Три различные плоскости имеют одну общую точку. Какие из следующих конфигураций их пересечения возможны?

• Они пересекаются в одной точке (как угол комнаты)
• Они пересекаются по одной и той же прямой (пучок плоскостей)
• Две плоскости параллельны, а третья их пересекает
• Они пересекаются по трем попарно параллельным прямым

АНАЛИЗ МОДЕЛИ · 2 БАЛЛА

6. Взаимное расположение в кубе

Рассмотрите куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Укажите количество общих точек у заданных фигур.

КОНТРПРИМЕРЫ · 2 БАЛЛА

7. Критическое мышление

Верны ли данные утверждения для любых объектов в пространстве?

1. Любые две прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны.ИстинаЛожь
2. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую.ИстинаЛожь
3. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.ИстинаЛожь

ТЕРМИНОЛОГИЯ · 1 БАЛЛ

8. Основные понятия

Дополните предложение, описывающее взаимное расположение прямой и плоскости.

Если прямая не лежит в плоскости и не имеет с ней общих точек, то такая прямая называется этой плоскости. Если прямая имеет с плоскостью только одну общую точку, то она плоскость.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОИСК · 3 БАЛЛА

9. Точки в тетраэдре

В тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. Какое минимальное количество плоскостей нужно провести, чтобы они содержали все вершины тетраэдра и точки $M,N$?

СЛОЖНЫЙ ВЫБОР · 2 БАЛЛА

10. Свойства принадлежности

Выберите все верные условия, при которых плоскость $\alpha$ определена однозначно:

• Прямая $a$ и точка $M\notin a$
• Две параллельные прямые
• Три точки, лежащие на одной прямой
• Две скрещивающиеся прямые
• Две пересекающиеся прямые

1 БАЛЛ

1. Пересечение плоскостей

Выберите верное утверждение, описывающее результат взаимодействия двух различных плоскостей.

• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую.
• Две различные плоскости всегда имеют как минимум три общие точки, не лежащие на одной прямой.
• Если две плоскости имеют общую точку, то они обязательно совпадают.
• Пересечением двух плоскостей всегда является отрезок.

2 БАЛЛА

2. Логика в пространстве

Оцените истинность высказываний о взаимном расположении элементов в стереометрии.

1. Через любую прямую можно провести бесконечно много различных плоскостей.ИстинаЛожь
2. Если три точки не лежат на одной прямой, то через них можно провести две различные плоскости.ИстинаЛожь
3. Если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости этого треугольника.ИстинаЛожь
4. Любые три точки пространства всегда определяют единственную плоскость.ИстинаЛожь

1 БАЛЛ

3. Способы задания плоскости

Заполните пропуски в формулировке одного из следствий из аксиом.

Через две прямые проходит , и притом только одна.

КУБ · 2 БАЛЛА

4. Геометрия на гранях куба

Изучите чертеж куба $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ и выполните задания.

1. Принадлежит ли вершина $D_1$ плоскости, в которой лежит грань $(BC{C}_1{B}_1)$?
2. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости $(A{A}_1{B}_1)$ и $(ABC)$.

2 БАЛЛА

5. Конфигурации объектов

Соотнесите описание объектов с количеством плоскостей, которые ими определяются.

2 БАЛЛА

6. Классификация утверждений

Разделите утверждения на те, что являются основными аксиомами, и те, что доказываются как следствия.

Слова для распределения: О плоскости, проходящей через две параллельные прямые, О плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, О прямой и двух ее точках в плоскости, О плоскости и трех точках, О линии пересечения двух плоскостей

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО · 3 БАЛЛА

7. Точка вне плоскости

Дана плоскость $\alpha$ и треугольник $ABC$, лежащий в ней. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Докажите, что прямая $MA$ пересекает плоскость $\alpha$ только в одной точке.

1 БАЛЛ

8. Неопределенность плоскости

Выберите ситуацию, при которой положение плоскости в пространстве НЕ фиксируется однозначно.

1. Две пересекающиеся прямые
2. Три точки на одной прямой
3. Прямая и точка вне неё
4. Три точки, не лежащие на прямой

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

9. Различия геометрий

Сравните свойства геометрических объектов в зависимости от размерности пространства.

ЛОГИКА · 3 БАЛЛА

10. Расположение четырех точек

Известно, что четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? Ответ поясните.

1 БАЛЛ

1. Способы задания плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести единственную плоскость.

• Две параллельные прямые
• Три точки, лежащие на одной прямой
• Одна прямая и точка, лежащая на ней
• Две скрещивающиеся прямые

2 БАЛЛА

2. Логика пространства

Определите, являются ли данные утверждения истинными или ложными.

1. Если прямая имеет с плоскостью только одну общую точку, то она лежит в этой плоскости.ИстинаЛожь
2. Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечно много плоскостей.ИстинаЛожь
3. Любые три точки пространства всегда принадлежат хотя бы одной плоскости.ИстинаЛожь
4. Если три точки одной плоскости принадлежат другой плоскости, то эти плоскости всегда совпадают.ИстинаЛожь

1 БАЛЛ

3. Теорема о пересекающихся прямых

Заполните пропуски в формулировке следствия из аксиом.

Через две прямые проходит , и притом только одна.

КУБ · 2 БАЛЛА

4. Геометрия на гранях куба

Используя чертеж куба $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, проанализируйте положение точек и плоскостей.

1. Принадлежит ли точка $C_1$ плоскости $(A{A}_{1}D)$?
2. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $(A_1{B}_1{C}_1)$ и $(BC{C}_1)$.

2 БАЛЛА

5. Количество возможных плоскостей

Соотнесите описание объектов с количеством плоскостей, которые можно через них провести.