Аксиомы стереометрии и следствия

10 класс · сложный

50 заданий · таблица, истина / Ложь, заполни пропуски, краткий ответ, множественный выбор, реши задачу, вопросы по картинке, соединение, распределение, найти лишнее

Ф.И.
Класс

Приготовься к серьёзному испытанию: здесь важна не только интуиция, но и строгая логика. Докажи, что пространство подчиняется твоим знаниям аксиом!

№1 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

1. Способы задания плоскости

Определите, сколько различных плоскостей может проходить через указанные наборы объектов в общем случае.

Набор объектов	Условие	Количество плоскостей
Три точки	Лежат на одной прямой
Две пересекающиеся прямые	Имеют одну общую точку
Прямая и точка	Точка не принадлежит прямой

№2 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Логика пространственных отношений

Оцените истинность утверждений, опираясь на аксиомы стереометрии.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

№3 · ПРОПУСКИ

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

3. Следствия из аксиом

Заполните пропуски в формулировках теорем.

Через две прямые проходит плоскость, и притом только одна. Через прямую и точку проходит плоскость, и притом только одна.

№4 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

4. Комбинаторика в пространстве

Дано 5 точек, причём никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через все возможные тройки этих точек?

№5 · ВЫБОР

МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР · 2 БАЛЛА

5. Пересечение трех плоскостей

Три различные плоскости имеют одну общую точку. Какие из следующих конфигураций их пересечения возможны?

Они пересекаются в одной точке (как угол комнаты)
Они пересекаются по одной и той же прямой (пучок плоскостей)
Две плоскости параллельны, а третья их пересекает
Они пересекаются по трем попарно параллельным прямым

№6 · ТАБЛИЦА

АНАЛИЗ МОДЕЛИ · 2 БАЛЛА

6. Взаимное расположение в кубе

Рассмотрите куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Укажите количество общих точек у заданных фигур.

Фигура 1	Фигура 2	Кол-во общих точек
Прямая $A C$	Плоскость $A_{1} B_{1} C_{1}$
Прямая $B D_{1}$	Плоскость $A B C$
Прямая $A_{1} C_{1}$	Плоскость $B B_{1} D_{1}$

№7 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

КОНТРПРИМЕРЫ · 2 БАЛЛА

7. Критическое мышление

Верны ли данные утверждения для любых объектов в пространстве?

Любые две прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую.
Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

№8 · ПРОПУСКИ

ТЕРМИНОЛОГИЯ · 1 БАЛЛ

8. Основные понятия

Дополните предложение, описывающее взаимное расположение прямой и плоскости.

Если прямая не лежит в плоскости и не имеет с ней общих точек, то такая прямая называется этой плоскости. Если прямая имеет с плоскостью только одну общую точку, то она плоскость.

№9 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОИСК · 3 БАЛЛА

9. Точки в тетраэдре

В тетраэдре $A B C D$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $A B$ и $C D$ соответственно. Какое минимальное количество плоскостей нужно провести, чтобы они содержали все вершины тетраэдра и точки $M, N$ ?

№10 · ВЫБОР

СЛОЖНЫЙ ВЫБОР · 2 БАЛЛА

10. Свойства принадлежности

Выберите все верные условия, при которых плоскость $α$ определена однозначно:

Прямая $a$ и точка $M \in / a$
Две параллельные прямые
Три точки, лежащие на одной прямой
Две скрещивающиеся прямые
Две пересекающиеся прямые

№1 · ТЕСТ

1 БАЛЛ

1. Пересечение плоскостей

Выберите верное утверждение, описывающее результат взаимодействия двух различных плоскостей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую.
Две различные плоскости всегда имеют как минимум три общие точки, не лежащие на одной прямой.
Если две плоскости имеют общую точку, то они обязательно совпадают.
Пересечением двух плоскостей всегда является отрезок.

№2 · ВЕРНО/НЕВЕРНО

2 БАЛЛА

2. Логика в пространстве

Оцените истинность высказываний о взаимном расположении элементов в стереометрии.

Через любую прямую можно провести бесконечно много различных плоскостей.
Если три точки не лежат на одной прямой, то через них можно провести две различные плоскости.
Если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости этого треугольника.
Любые три точки пространства всегда определяют единственную плоскость.

№3 · ПРОПУСКИ

1 БАЛЛ

3. Способы задания плоскости

Заполните пропуски в формулировке одного из следствий из аксиом.

Через две прямые проходит , и притом только одна.

№4 · РАБОТА С ЧЕРТЕЖОМ

КУБ · 2 БАЛЛА

4. Геометрия на гранях куба

Изучите чертеж куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и выполните задания.

Принадлежит ли вершина $D_{1}$ плоскости, в которой лежит грань $(B C C_{1} B_{1})$ ?
Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости $(A A_{1} B_{1})$ и $(A B C)$ .

№5 · СООТВЕТСТВИЕ

2 БАЛЛА

5. Конфигурации объектов

Соотнесите описание объектов с количеством плоскостей, которые ими определяются.

№6 · КАТЕГОРИИ

2 БАЛЛА

6. Классификация утверждений

Разделите утверждения на те, что являются основными аксиомами, и те, что доказываются как следствия.

Слова для распределения: О плоскости, проходящей через две параллельные прямые, О плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, О прямой и двух ее точках в плоскости, О плоскости и трех точках, О линии пересечения двух плоскостей

Аксиомы

Следствия (теоремы)

№7 · ЗАДАЧА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО · 3 БАЛЛА

7. Точка вне плоскости

Дана плоскость $α$ и треугольник $A B C$ , лежащий в ней. Точка $M$ не принадлежит плоскости $α$ . Докажите, что прямая $M A$ пересекает плоскость $α$ только в одной точке.

№8 · ЛИШНЕЕ

1 БАЛЛ

8. Неопределенность плоскости

Выберите ситуацию, при которой положение плоскости в пространстве НЕ фиксируется однозначно.

Две пересекающиеся прямые
Три точки на одной прямой
Прямая и точка вне неё
Три точки, не лежащие на прямой

№9 · ТАБЛИЦА

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

9. Различия геометрий

Сравните свойства геометрических объектов в зависимости от размерности пространства.

Свойство	В планиметрии (2D)	В стереометрии (3D)
Количество координат у точки
Две прямые, перпендикулярные третьей
Через 3 точки проходит плоскость

№10 · ЗАДАЧА

ЛОГИКА · 3 БАЛЛА

10. Расположение четырех точек

Известно, что четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? Ответ поясните.

№1 · ТЕСТ

1 БАЛЛ

1. Способы задания плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести единственную плоскость.

Две параллельные прямые
Три точки, лежащие на одной прямой
Одна прямая и точка, лежащая на ней
Две скрещивающиеся прямые

№2 · ВЕРНО/НЕВЕРНО

2 БАЛЛА

2. Логика пространства

Определите, являются ли данные утверждения истинными или ложными.

Если прямая имеет с плоскостью только одну общую точку, то она лежит в этой плоскости.
Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечно много плоскостей.
Любые три точки пространства всегда принадлежат хотя бы одной плоскости.
Если три точки одной плоскости принадлежат другой плоскости, то эти плоскости всегда совпадают.

№3 · ПРОПУСКИ

1 БАЛЛ

3. Теорема о пересекающихся прямых

Заполните пропуски в формулировке следствия из аксиом.

Через две прямые проходит , и притом только одна.

№4 · РАБОТА С ЧЕРТЕЖОМ

КУБ · 2 БАЛЛА

4. Геометрия на гранях куба

Используя чертеж куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , проанализируйте положение точек и плоскостей.

Принадлежит ли точка $C_{1}$ плоскости $(A A_{1} D)$ ?
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $(A_{1} B_{1} C_{1})$ и $(B C C_{1})$ .

№5 · СООТВЕТСТВИЕ

2 БАЛЛА

5. Количество возможных плоскостей

Соотнесите описание объектов с количеством плоскостей, которые можно через них провести.

№6 · КАТЕГОРИИ

2 БАЛЛА

6. Структура теории

Распределите утверждения по их логическому статусу в стереометрии.

Слова для распределения: О плоскости через две пересекающиеся прямые, О плоскости через две параллельные прямые, О пересечении двух плоскостей по прямой, О принадлежности прямой плоскости, О плоскости, проходящей через три точки

Аксиомы

Следствия (теоремы)

№7 · ЗАДАЧА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО · 3 БАЛЛА

7. Прямая и плоскость

Прямая $a$ пересекает плоскость $α$ в точке $M$ . Докажите, что любая плоскость $β$ , содержащая прямую $a$ , пересекает плоскость $α$ .

№8 · ЛИШНЕЕ

1 БАЛЛ

8. Нарушение однозначности

Выберите ситуацию, в которой через объекты НЕЛЬЗЯ провести ровно одну плоскость.

Две пересекающиеся прямые
Три точки, не лежащие на одной прямой
Прямая и точка на ней
Две параллельные прямые

Ещё 25 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№9 · ТАБЛИЦА

СРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Сравнение 2D и 3D

Заполните таблицу, сравнивая геометрические факты на плоскости и в пространстве.

Геометрический факт	На плоскости (2D)	В пространстве (3D)
Количество прямых через две точки
Перпендикуляр к прямой через точку на ней
Сумма углов в треугольнике

№10 · ЗАДАЧА

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Четыре точки

Даны четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Могут ли эти точки лежать в двух различных плоскостях? Обоснуйте ответ.

№1 · ТЕСТ

1 БАЛЛ

1. Однозначное задание плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести плоскость, и притом только одну.

Через любую прямую и любую точку пространства.
Через две параллельные прямые.
Через любые три точки пространства.
Через две скрещивающиеся прямые.

№2 · ВЕРНО/НЕВЕРНО

2 БАЛЛА

2. Свойства пространственных фигур

Оцените истинность данных геометрических утверждений.

Если прямая пересекает плоскость, то она имеет с ней только одну общую точку.
Любые три точки всегда лежат в одной плоскости.
Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

№4 · РАБОТА С ЧЕРТЕЖОМ

КУБ · 2 БАЛЛА

4. Анализ вершин куба

Рассмотрите изображение куба $M N P Q M_{1} N_{1} P_{1} Q_{1}$ и ответьте на вопросы.

Принадлежит ли точка $N_{1}$ плоскости $(M_{1} P_{1} Q_{1})$ ?
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $(M N N_{1})$ и $(M QP)$ .

№5 · СООТВЕТСТВИЕ

2 БАЛЛА

5. Количество возможных плоскостей

Установите соответствие между конфигурацией объектов и количеством плоскостей, которые можно через них провести.

№6 · КАТЕГОРИИ

2 БАЛЛА

6. Классификация утверждений

Распределите утверждения по их логическому статусу в стереометрии.

Слова для распределения: О пересечении плоскостей по прямой, О плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, О плоскости, проходящей через две параллельные прямые, О плоскости, проходящей через 3 точки не на прямой, О прямой, лежащей в плоскости

Аксиомы

Следствия

№7 · ЗАДАЧА

ЛОГИКА · 3 БАЛЛА

7. Общая прямая

Две точки прямой $a$ лежат в плоскости $α$ , и эти же две точки лежат в плоскости $β$ . Каково взаимное расположение прямой $a$ и линии пересечения плоскостей $α$ и $β$ ?

№8 · ЛИШНЕЕ

1 БАЛЛ

8. Недостаточность условий

Выберите вариант, который НЕ определяет положение плоскости в пространстве однозначно.

Три точки, не лежащие на одной прямой
Прямая и точка вне её
Две пересекающиеся прямые
Прямая и точка на ней

№9 · ТАБЛИЦА

СРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Геометрия 2D vs 3D

Сравните свойства геометрических объектов на плоскости и в пространстве.

Утверждение	В планиметрии (2D)	В стереометрии (3D)
Через две точки можно провести прямую
Сумма углов треугольника равна $18 0^{\circ}$
Прямые, не имеющие общих точек, параллельны

№10 · ЗАДАЧА

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Точки в пересекающихся плоскостях

Плоскости $α$ и $β$ пересекаются. Точки $A$ и $B$ лежат в обеих плоскостях. Может ли точка $C$ , не лежащая на прямой $A B$ , одновременно принадлежать и $α$ , и $β$ ? Обоснуйте.

№1 · ТЕСТ

1 БАЛЛ

1. Задание плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести единственную плоскость.

Две произвольные точки пространства.
Две параллельные прямые.
Три точки, лежащие на одной прямой.
Прямая и точка, лежащая на этой прямой.

№2 · ВЕРНО/НЕВЕРНО

2 БАЛЛА

2. Логика пространства

Определите истинность следующих геометрических утверждений.

Через любые три точки проходит хотя бы одна плоскость.
Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Если три точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Любые две прямые в пространстве всегда лежат в одной плоскости.

№3 · ПРОПУСКИ

1 БАЛЛ

3. Вторая теорема-следствие

Заполните пропуски в формулировке следствия из аксиом стереометрии.

Через две прямые проходит , и притом только одна.

№4 · РАБОТА С ЧЕРТЕЖОМ

КУБ · 2 БАЛЛА

4. Анализ граней куба

Изучите чертеж куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и ответьте на вопросы о расположении его элементов.

Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $(A A_{1} B_{1})$ и $(A B C)$ .
Принадлежит ли точка $D_{1}$ плоскости $(A_{1} B_{1} C_{1})$ ?

№5 · СООТВЕТСТВИЕ

2 БАЛЛА

5. Количество плоскостей

Соотнесите описание объектов с максимально возможным количеством общих плоскостей, которые можно через них провести.

№6 · КАТЕГОРИИ

2 БАЛЛА

6. Классификация утверждений

Разделите предложенные утверждения на аксиомы (базовые положения) и следствия (доказуемые теоремы).

Слова для распределения: О плоскости через две параллельные прямые, О существовании четырех точек, не в одной плоскости, О том, что если две точки прямой в плоскости, то и вся прямая в ней, О плоскости через прямую и точку вне ее, О пересечении двух плоскостей по прямой

Аксиомы

Следствия

№7 · ЗАДАЧА

ЛОГИКА · 3 БАЛЛА

7. Четыре точки

Даны четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Могут ли все эти четыре точки лежать в одной плоскости?

№8 · ЛИШНЕЕ

1 БАЛЛ

8. Недостаточность условий

Выберите вариант, который НЕ гарантирует единственность проведенной плоскости.

Две пересекающиеся прямые
Три точки на одной прямой
Прямая и точка вне ее
Две параллельные прямые

№9 · ТАБЛИЦА

СРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Различия геометрий

Заполните таблицу, сравнивая поведение геометрических объектов в 2D и 3D.

Ситуация	На плоскости (2D)	В пространстве (3D)
Пересечение двух прямых
Взаимное расположение прямых
Через прямую и точку вне её

№10 · ЗАДАЧА

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Пересечение плоскостей

Две различные плоскости $α$ и $β$ имеют общие точки $M$ и $N$ . Где еще могут находиться их общие точки?

№1 · ТЕСТ

1 БАЛЛ

1. Определение плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести единственную плоскость.

Две произвольные прямые в пространстве.
Две пересекающиеся прямые.
Три точки, лежащие на одной прямой.
Прямая и точка, лежащая на этой прямой.

Соберите свой рабочий лист за минуту

ИИ сделает такой же лист по вашей теме и классу — с ответами и для печати.

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По ФГОС и школьной программеЗадания ориентированы на действующую школьную программу — можно сразу давать классу.
С ответами и готовы к печатиКаждый лист — с ключом ответов и готовой вёрсткой A4: скачивайте PDF и распечатывайте.
Свой лист за минуту в ИИ-конструктореИИ соберёт похожий лист по вашей теме, классу и нужным типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Аксиомы стереометрии и следствия»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: таблица, истина / Ложь, заполни пропуски, краткий ответ, множественный выбор, реши задачу, вопросы по картинке, соединение, распределение, найти лишнее.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 10 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

1. Способы задания плоскости

2. Логика пространственных отношений

3. Следствия из аксиом

4. Комбинаторика в пространстве

5. Пересечение трех плоскостей

6. Взаимное расположение в кубе

7. Критическое мышление

8. Основные понятия

9. Точки в тетраэдре

10. Свойства принадлежности

1. Пересечение плоскостей

2. Логика в пространстве

3. Способы задания плоскости

4. Геометрия на гранях куба

5. Конфигурации объектов

6. Классификация утверждений

7. Точка вне плоскости

8. Неопределенность плоскости

9. Различия геометрий

10. Расположение четырех точек

1. Способы задания плоскости

2. Логика пространства

3. Теорема о пересекающихся прямых

4. Геометрия на гранях куба

5. Количество возможных плоскостей

6. Структура теории

7. Прямая и плоскость

8. Нарушение однозначности

9. Сравнение 2D и 3D

10. Четыре точки

1. Однозначное задание плоскости

2. Свойства пространственных фигур

4. Анализ вершин куба

5. Количество возможных плоскостей

6. Классификация утверждений

7. Общая прямая

8. Недостаточность условий

9. Геометрия 2D vs 3D

10. Точки в пересекающихся плоскостях

1. Задание плоскости

2. Логика пространства

3. Вторая теорема-следствие

4. Анализ граней куба

5. Количество плоскостей

6. Классификация утверждений

7. Четыре точки

8. Недостаточность условий

9. Различия геометрий

10. Пересечение плоскостей

1. Определение плоскости

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы

Похожие рабочие листы