Квадратный корень. Действительные числа

12 СЛОВ · 4 БАЛЛА

1. Терминология и история

Разгадай кроссворд, вспомнив основные понятия теории действительных чисел и извлечения корней.

6 СТРОК · 3 БАЛЛА

2. Свойства корня и переменные

Заполни таблицу, упростив выражения при заданных условиях. Будь внимателен со знаком модуля.

4 ПАРЫ · 3 БАЛЛА

3. Вложенные радикалы

Соедини выражение с его упрощенным значением, используя формулу сложного корня.

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

4. Вычисления повышенной сложности

Вычисли значения выражений, не используя калькулятор.

ТЕОРЕМА · 3 БАЛЛА

5. Доказательство иррациональности

Вставь пропущенные слова и символы в фрагмент доказательства того, что $\sqrt{2}$ не является рациональным числом.

Предположим, что $\sqrt{2}$ — число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$. Возведя в квадрат, получим $2=\frac{m^2}{n^2}$, откуда $m^2=2n^2$. Значит, число $m^2$ — , следовательно, и $m$ делится на 2. Пусть $m=2k$, тогда $4k^2=2n^2$, или $n^2=2k^2$. Это означает, что $n$ также на 2. Мы пришли к противоречию с условием дроби.

8 СЛОВ · 5 БАЛЛОВ

6. Множества и структура

Реши второй кроссворд, посвященный классификации чисел и их свойствам на числовой прямой.

СРАВНЕНИЕ · 4 БАЛЛА

7. Сравнение иррациональных выражений

Сравни числа без вычисления их точных значений. В ответе используй знаки <, > или =.

ГРАФИКИ · 4 БАЛЛА

8. Функция $y=\sqrt{x}$

Установи соответствие между функцией и её областью определения.

ЗНАМЕНАТЕЛЬ · 3 БАЛЛА

9. Освобождение от иррациональности

Преобразуй дроби так, чтобы в знаменателе не осталось знака корня.

ИТОГИ · 2 БАЛЛА

10. Структура числовых множеств

Заполни пропуски в определениях, описывающих иерархию чисел.

Объединение множеств рациональных и чисел образует множество чисел, которое обозначается символом . Любое такое число можно представить в виде десятичной дроби.

1 БАЛЛ

1. Найди лишнее число

Выберите число, которое отличается от остальных по своей природе (принадлежности к числовому множеству).

1. $\sqrt{1,44}$
2. $\sqrt{1\frac{7}{9}}$
3. $\sqrt{0,04}$
4. $\sqrt{0,4}$

2 БАЛЛА

2. Ранжирование значений

Расположите числа в порядке возрастания, предварительно внеся множители под знак корня.

1. $4\sqrt{2}$
2. $3\sqrt{3}$
3. $\sqrt{33}$
4. $2\sqrt{10}$

3 ВЫРАЖЕНИЯ

3. Сравнение иррациональных выражений

Сравните значения выражений, не используя калькулятор.

ПРОПУСКИ

4. Определение и свойства

Дополните математические утверждения.

Для любого действительного числа $a$ справедливо тождество $\sqrt{a^2}=$ . Если же $a<0$, то значение выражения $\sqrt{a^2}$ будет равно .

КРАТКИЙ ОТВЕТ

5. Целая часть числа

Найдите наибольшее целое число, которое не превосходит значение выражения $\sqrt{130}-1$.

С ПОДВОХОМ

6. Упрощение с модулем

Выберите верный результат упрощения выражения $\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$.

• $5-2\sqrt{7}$
• $1$
• $2\sqrt{7}-5$
• $-1$

3 ПРИМЕРА

7. Преобразование корней

Вычислите значения выражений, используя свойства арифметического квадратного корня.

ВЕРНО/НЕВЕРНО

8. Анализ высказываний

Определите истинность утверждений о действительных числах.

1. Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.ИстинаЛожь
2. Сумма двух иррациональных чисел всегда является числом иррациональным.ИстинаЛожь
3. Число $\pi$ является иррациональным.ИстинаЛожь

5 БАЛЛОВ

9. Решение уравнения с выделением квадрата

Решите уравнение, используя определение корня и модуля: $\sqrt{x^2-10x+25}=4$.

ИНТЕРВАЛЫ

10. Число и его границы

Установите соответствие между иррациональным числом и промежутком, которому оно принадлежит.