Производная: определение и геометрический смысл

ВЫБОР ОТВЕТА · 1 БАЛЛ

1. Геометрический смысл

Укажите верную интерпретацию значения производной функции в точке $x_0$ с точки зрения геометрии.

• Косинус угла между касательной и осью ординат
• Угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке
• Расстояние от начала координат до точки касания
• Абсцисса точки пересечения касательной с осью $Ox$

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

2. Свойства и правила

Проанализируйте утверждения о производной и отметьте их истинность.

1. Если функция в некоторой точке убывает, то её производная в этой точке отрицательна.ИстинаЛожь
2. Производная линейной функции $f(x)=kx+b$ всегда равна свободному члену $b$.ИстинаЛожь
3. Если касательная параллельна оси абсцисс, то производная функции в этой точке равна нулю.ИстинаЛожь

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

3. Понятие производной

Заполните пропуски в тексте определения.

Производная функции в точке — это отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что стремится к нулю.

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

4. Углы и значения

Установите соответствие между углом наклона касательной $\alpha$ и числовым значением производной.

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

5. Физический смысл

Какая физическая величина определяется как производная координаты по времени $x^{\prime }(t)$?

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

6. Вычисление в точке

Найдите значения производных для следующих функций.

РАБОТА С РИСУНКОМ · 3 БАЛЛА

7. Чтение графика

Вычислите значение производной функции в точке касания, используя геометрические данные.

1. Используя координаты точек на касательной $A(2;4)$ и $B(3;7)$, найдите $f^{\prime }(2)$.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ · 2 БАЛЛА

8. Алгоритм составления касательной

Расположите этапы составления уравнения касательной в логическом порядке.

1. Вычисление ординаты точки касания $y_0=f(x_0)$
2. Нахождение производной функции $f^{\prime }(x)$
3. Нахождение значения производной в точке $f^{\prime }(x_0)$
4. Запись финального уравнения $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

ПОШАГОВОЕ РЕШЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Производная по определению

Найдите производную функции $f(x)=5x-2$, используя формальное определение через предел.

ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

10. Уравнение касательной

Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2-4x$ в точке $x_0=3$.

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

1. Физический смысл

С точки зрения физики, что именно характеризует производная от координаты тела по времени $x^{\prime }(t)$?

ВЫБОР ОТВЕТА · 1 БАЛЛ

2. Геометрический смысл

Геометрический смысл производной функции в точке $x_0$ заключается в том, что значение $f^{\prime }(x_0)$ равно:

• Угловому коэффициенту касательной к графику в данной точке
• Значению ординаты точки касания на графике
• Расстоянию от начала координат до точки касания
• Косинусу угла наклона касательной к оси абсцисс

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

3. Углы и значения

Установите соответствие между углом наклона касательной $\alpha$ к положительному направлению оси $Ox$ и соответствующим значением производной $f^{\prime }(x_0)$.

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

4. Определение производной

Заполните пропуски в математическом определении производной.

Производной функции $f$ в точке $x_0$ называют отношения приращения функции к , когда последнее стремится к нулю.

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

5. Свойства производной

Оцените истинность утверждений, касающихся дифференцируемости и свойств производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.ИстинаЛожь
2. Производная суммы двух функций всегда равна разности их производных.ИстинаЛожь
3. Если производная в точке равна нулю, касательная в этой точке горизонтальна.ИстинаЛожь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ · 2 БАЛЛА

6. Алгоритм составления уравнения касательной

Расположите этапы нахождения уравнения касательной к графику $f(x)$ в точке $x_0$ в логическом порядке.

1. Вычислить значение функции в точке касания $f(x_0)$
2. Найти производную функции $f^{\prime }(x)$ в общем виде
3. Найти значение производной в точке касания $f^{\prime }(x_0)$
4. Подставить все найденные значения в общую формулу касательной

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Вычисление в точке

Найдите значения производных для данных функций в заданных точках.

ПОШАГОВОЕ РЕШЕНИЕ · 3 БАЛЛА

8. Производная по определению

Используя определение производной (через предел отношения приращений), найдите производную функции $f(x)=5x-4$.

РАБОТА С РИСУНКОМ · 3 БАЛЛА

9. Чтение графика

На рисунке изображен график функции и касательная к нему. Определите значение производной в точке касания.

1. Используя координаты точек $A(1,2)$ и $B(2,-1)$, лежащих на касательной, вычислите $f^{\prime }(1)$.

ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

10. Составление уравнения

Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2-3x$ в точке с абсциссой $x_0=2$.

ВЫБОР ОТВЕТА · 1 БАЛЛ

1. Геометрический смысл

Согласно геометрическому смыслу, значение производной функции в точке $x_0$ равно:

• Значению ординаты точки касания
• Тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке
• Углу наклона касательной в радианах
• Площади под графиком функции

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

2. Определение производной

Заполните пропуски в определении производной.

Производной функции $f$ в точке $x_0$ называется отношения приращения функции к при условии, что последнее стремится к нулю.

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

3. Физический смысл

Что характеризует производная функции $s(t)$, где $s$ — пройденный путь, а $t$ — время?

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

4. Углы и значения

Установите соответствие между углом наклона касательной $\alpha$ к положительному направлению оси $Ox$ и значением производной $f^{\prime }(x_0)$.

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

5. Свойства производной

Определите истинность следующих утверждений.

1. Производная любой линейной функции $f(x)=kx+b$ всегда равна константе $k$.ИстинаЛожь
2. Если касательная к графику параллельна оси $Ox$, то производная в этой точке равна 1.ИстинаЛожь
3. Если функция убывает в окрестности точки, то её производная в этой точке отрицательна.ИстинаЛожь