Корни и степени с рациональным показателем

10 класс · средний

35 заданий · реши примеры, множественный выбор, заполни пропуски, краткий ответ, реши задачу, сравни числа, математический рисунок, таблица, найти лишнее, соединение, истина / Ложь, последовательность

Ф.И.
Класс

Вспомним свойства корней и степеней, чтобы легко преобразовывать сложные алгебраические выражения. Пройди путь от базовых вычислений до уравнений повышенной сложности.

№1 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

4 ПРИМЕРА · 1 БАЛЛ

1. Вычисление степеней

Найдите значение выражения, используя определение степени с рациональным показателем:

1 6^{1/2}

2 7^{2/3}

62 5^{0, 25}

8 1^{- 0, 25}

№2 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

ВЫБОР ОТВЕТА · 1 БАЛЛ

2. Свойства степеней

Какое из приведенных ниже выражений тождественно равно степени $a^{0, 75}$ при $a > 0$ ?

$3 a^{4}$
$4 a^{3}$
$\frac{1}{a ^{3}}$
$a^{0, 75}$

№3 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

ПРОПУСКИ · 1 БАЛЛ

3. Определения и свойства

Заполните пропуски в формулах свойств степеней.

1) $a^{\frac{m}{n}} = n a^{\underline{ab c}}$
2) $(a^{p})^{q} = a^{\underline{ab c}}$
3) $a^{p} \cdot a^{q} = a^{\underline{ab c}}$

№4 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Умножение корней

Вычислите значение числового выражения: $43 \cdot 427$

№5 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

РЕШЕНИЕ · 2 БАЛЛА

5. Иррациональное уравнение

Решите уравнение $x + 2 = x$ . В ответе укажите только корень, прошедший проверку.

№6 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

УПРОЩЕНИЕ · 2 БАЛЛА

6. Преобразование буквенных выражений

Упростите выражения, полагая, что переменные принимают только положительные значения:

\frac{x ^{1, 5} \cdot x ^{0, 5}}{x}

(a^{1/3} \cdot b^{2/3})^{3}

№7 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

7. Прикладная задача (Закон Кеплера)

Третий закон Кеплера гласит, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит: $T^{2} = a^{3}$ , где $T$ — период в земных годах, а $a$ — расстояние в астрономических единицах. Найдите период обращения планеты (в годах), если ее расстояние от Солнца составляет $a = 4$ а.е.

№8 · ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ

СЛОЖНОЕ УПРОЩЕНИЕ · 3 БАЛЛА

8. Извлечение вложенного корня

Упростите выражение $7 - 43$ . Представьте подкоренное выражение в виде полного квадрата.

№9 · ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ

СРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Сравнение чисел

Сравните числа $35$ и $3$ . В ответе запишите большее из них.

№10 · ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ

УРАВНЕНИЕ · 4 БАЛЛА

10. Уравнение с заменой переменной

Решите уравнение $x^{2/3} + x^{1/3} - 6 = 0$ .

№1 · ТЕОРИЯ

1 БАЛЛ

1. Определение корня

Выберите верное значение выражения, используя определение корня n-ой степени.

$- 3$
$3$
$\pm 3$
Не существует

№2 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Устный счёт

Вычислите значения корней.

327

416

5 - 32

№3 · ФОРМУЛЫ

1 БАЛЛ

3. Переход к дробной степени

Заполните пропуски в определении степени с рациональным показателем.

Для $a > 0$ : $a^{\frac{m}{n}} = \underline{ab c} a^{\underline{ab c}}$

№4 · СРАВНЕНИЕ

2 ПАРА · 2 БАЛЛА

4. Сравнение чисел

Сравните значения выражений, приведя корни к общему показателю.

35

624

2

44

№5 · ГРАФИК

2 БАЛЛА

5. Чтение графика

По графику функции $y = x$ определите значение $y$ при $x = 4$ .

График функции $y = x$

№6 · УПРОЩЕНИЕ

3 БАЛЛА

6. Преобразование выражений

Упростите выражение, используя свойства степеней.

№7 · СИСТЕМАТИЗАЦИЯ

4 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

7. Таблица соответствий

Заполните пустые ячейки таблицы, переводя записи из одной формы в другую.

Степень	Корень	Значение
$2 5^{1/2}$
$8^{1/3}$
$8 1^{0.25}$
$3 2^{0.2}$

№8 · ЛОГИКА

1 БАЛЛ

8. Лишнее число

Найдите число, которое не равно остальным.

$2^{1/2}$
$2$
$4^{1/4}$
$2^{2}$

№9 · СВОЙСТВА

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

9. Сопоставление свойств

Соедините левую и правую части тождеств для $a, b > 0$ .

№10 · УРАВНЕНИЯ

3 БАЛЛА

10. Иррациональное уравнение

Найдите корень уравнения $x + 2 = 3$ .

№11 · ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ

2 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

11. Дробный отрицательный показатель

Вычислите значения выражений.

1 6^{- 0.25}

2 7^{- 1/3}

Ещё 17 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№12 · ИСТИННОСТЬ

1 БАЛЛ

12. Анализ утверждений

Отметьте, какие из утверждений верны для любого действительного $a$ .

$a^{2} = a$
$3 a^{3} = a$
$4 a$ существует только при $a \geq 0$

№13 · СОКРАЩЕНИЕ

4 БАЛЛА

13. Сокращение дробей

Сократите дробь, используя формулы сокращенного умножения.

№14 · АЛГОРИТМ

2 БАЛЛА

14. Порядок решения

Расставьте этапы решения уравнения $2 x - 1 = x - 2$ в правильном порядке.

Записать условие $x - 2 \geq 0$ и $2 x - 1 \geq 0$
Возвести обе части в квадрат
Решить полученное квадратное уравнение
Выполнить проверку корней по условиям

№15 · ФУНКЦИЯ

2 БАЛЛА

15. График кубического корня

Рассмотрите график функции $y = x^{1/3}$ (корень кубический). Каким свойством симметрии он обладает?

$y = 3 x$

Симметричен относительно оси ординат (четная)
Симметричен относительно начала координат (нечетная)
Не обладает симметрией

№1 · ПРИМЕРЫ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Вычисление корней

Найдите точное значение арифметического корня.

481

3 - 64

532

№2 · ПРОПУСКИ

ПРАВИЛО · 1 БАЛЛ

2. Свойства корней

Заполните пропуск в формуле свойства корня из произведения.

Для $a \geq 0, b \geq 0$ верно: $n a \cdot b = n a \cdot$

№3 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ · 1 БАЛЛ

3. Переход к степени

Представьте радикальное выражение $5 x^{3}$ в виде степени с рациональным показателем.

№4 · ПРИМЕРЫ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

4. Дробная степень

Вычислите значения чисел в дробной степени.

4 9^{1/2}

12 5^{1/3}

1 6^{0.25}

№5 · ПРОПУСКИ

ПРАВИЛО · 1 БАЛЛ

5. Возведение в степень

Заполните пропуск в правиле возведения степени в степень.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^{p})^{q} = a^{\underline{ab c}}$

№6 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ВЫЧИСЛЕНИЕ · 1 БАЛЛ

6. Произведение степеней

Найдите значение выражения $5^{1.2} \cdot 5^{0.8}$ .

№7 · ПРИМЕРЫ

2 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

7. Отрицательный показатель

Вычислите значения выражений с отрицательной дробной степенью.

3 6^{- 1/2}

8^{- 1/3}

№8 · ПРОПУСКИ

СВОЙСТВА · 1 БАЛЛ

8. Деление степеней

Заполните пропуск в формуле деления степеней с одинаковыми основаниями.

$\frac{a ^{p}}{a ^{q}} = a^{\underline{ab c}}$

№9 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

УПРОЩЕНИЕ · 1 БАЛЛ

9. Степень степени

Упростите выражение $(b^{1/4})^{8}$ и запишите результат в виде степени с основанием $b$ .

№10 · ПРИМЕРЫ

2 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

10. Десятичные дроби

Вычислите значения, представив десятичные дроби в виде обыкновенных.

0.0 4^{0.5}

0.00 1^{1/3}

Соберите свой рабочий лист за минуту

ИИ сделает такой же лист по вашей теме и классу — с ответами и для печати.

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По ФГОС и школьной программеЗадания ориентированы на действующую школьную программу — можно сразу давать классу.
С ответами и готовы к печатиКаждый лист — с ключом ответов и готовой вёрсткой A4: скачивайте PDF и распечатывайте.
Свой лист за минуту в ИИ-конструктореИИ соберёт похожий лист по вашей теме, классу и нужным типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Корни и степени с рациональным показателем»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 35 заданий: реши примеры, множественный выбор, заполни пропуски, краткий ответ, реши задачу, сравни числа, математический рисунок, таблица, найти лишнее, соединение, истина / Ложь, последовательность.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 10 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

1. Вычисление степеней

2. Свойства степеней

3. Определения и свойства

4. Умножение корней

5. Иррациональное уравнение

6. Преобразование буквенных выражений

7. Прикладная задача (Закон Кеплера)

8. Извлечение вложенного корня

9. Сравнение чисел

10. Уравнение с заменой переменной

1. Определение корня

2. Устный счёт

3. Переход к дробной степени

4. Сравнение чисел

5. Чтение графика

6. Преобразование выражений

7. Таблица соответствий

8. Лишнее число

9. Сопоставление свойств

10. Иррациональное уравнение

11. Дробный отрицательный показатель

12. Анализ утверждений

13. Сокращение дробей

14. Порядок решения

15. График кубического корня

1. Вычисление корней

2. Свойства корней

3. Переход к степени

4. Дробная степень

5. Возведение в степень

6. Произведение степеней

7. Отрицательный показатель

8. Деление степеней

9. Степень степени

10. Десятичные дроби

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы

Похожие рабочие листы