Корни и степени с рациональным показателем

4 ПРИМЕРА · 1 БАЛЛ

1. Вычисление степеней

Найдите значение выражения, используя определение степени с рациональным показателем:

ВЫБОР ОТВЕТА · 1 БАЛЛ

2. Свойства степеней

Какое из приведенных ниже выражений тождественно равно степени $a^{0,75}$ при $a>0$?

• $\sqrt[3]{a^4}$
• $\sqrt[4]{a^3}$
• $\frac{1}{a^3}$
• $\sqrt{a^{0,75}}$

ПРОПУСКИ · 1 БАЛЛ

3. Определения и свойства

Заполните пропуски в формулах свойств степеней.

1) $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{\underline{}}}$
2) $(a^p{)}^q=a^{\underline{}}$
3) $a^p\cdot a^q=a^{\underline{}}$

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Умножение корней

Вычислите значение числового выражения: $\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{27}$

РЕШЕНИЕ · 2 БАЛЛА

5. Иррациональное уравнение

Решите уравнение $\sqrt{x+2}=x$. В ответе укажите только корень, прошедший проверку.

УПРОЩЕНИЕ · 2 БАЛЛА

6. Преобразование буквенных выражений

Упростите выражения, полагая, что переменные принимают только положительные значения:

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

7. Прикладная задача (Закон Кеплера)

Третий закон Кеплера гласит, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит: $T^2=a^3$, где $T$ — период в земных годах, а $a$ — расстояние в астрономических единицах. Найдите период обращения планеты (в годах), если ее расстояние от Солнца составляет $a=4$ а.е.

СЛОЖНОЕ УПРОЩЕНИЕ · 3 БАЛЛА

8. Извлечение вложенного корня

Упростите выражение $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Представьте подкоренное выражение в виде полного квадрата.

СРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Сравнение чисел

Сравните числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$. В ответе запишите большее из них.

УРАВНЕНИЕ · 4 БАЛЛА

10. Уравнение с заменой переменной

Решите уравнение $x^{2/3}+x^{1/3}-6=0$.

1 БАЛЛ

1. Определение корня

Выберите верное значение выражения, используя определение корня n-ой степени.

• $-3$
• $3$
• $\pm 3$
• Не существует

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Устный счёт

Вычислите значения корней.

1 БАЛЛ

3. Переход к дробной степени

Заполните пропуски в определении степени с рациональным показателем.

Для $a>0$: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[\underline{}]{a^{\underline{}}}$

2 ПАРА · 2 БАЛЛА

4. Сравнение чисел

Сравните значения выражений, приведя корни к общему показателю.

2 БАЛЛА

5. Чтение графика

По графику функции $y=\sqrt{x}$ определите значение $y$ при $x=4$.

3 БАЛЛА

6. Преобразование выражений

Упростите выражение, используя свойства степеней.

4 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

7. Таблица соответствий

Заполните пустые ячейки таблицы, переводя записи из одной формы в другую.