Задание 14 ОГЭ: Мир прогрессий

Слайд 1. Задание 14 ОГЭ: Мир прогрессий

Разбор всех прототипов, формулы и лайфхаки для успешной сдачи экзамена

Слайд 2. Введение: Что нас ждёт в 14-м задании?

Слайд 3. Арифметическая прогрессия

Это последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$.

Основная формула:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Где $d$ — разность прогрессии. Если $d>0$, прогрессия растёт, если $d<0$ — убывает.

Слайд 4. Главные формулы для ОГЭ

n-ый член: $a_n=a_1+d(n-1)$

Сумма первых $n$ членов: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Вторая формула суммы: $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Характеристическое свойство: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Слайд 5. Визуализация: Рост арифметической прогрессии

На графике видно, что арифметическая прогрессия представляет собой линейную зависимость. Точки лежат на одной прямой.

Слайд 6. Геометрическая прогрессия

Это последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q\ne 0$.

Основная формула:

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Здесь $q$ — знаменатель прогрессии. Она растёт гораздо быстрее арифметической!

Слайд 7. Формулы геометрической прогрессии

n-ый член: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Сумма первых $n$ членов: $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, при $q\ne 1$

Характеристическое свойство: $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

Слайд 8. Сравнение скоростей роста

Геометрическая прогрессия (при $q=2$) удваивает значения на каждом шаге. Это взрывной рост!

Слайд 9. Прототип 1: Задачи про амфитеатр и ряды

Слайд 10. Условие задачи (Амфитеатр)

В амфитеатре 20 рядов.

В первом ряду 15 мест.

В каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем.

Вопрос: Сколько мест в 10-м ряду?

Слайд 11. Решение задачи про ряды

1. Это арифметическая прогрессия, так как прибавляется одно и то же число.

2. Дано: $a_1=15$, $d=2$, $n=10$.

3. Используем формулу $a_n=a_1+d(n-1)$.

4. $a_{10}=15+2\cdot (10-1)=15+2\cdot 9=15+18=33$.

Ответ: 33 места.

Слайд 12. Прототип 2: Задачи про бактерии и деление

Слайд 13. Условие задачи (Бактерии)

В чашке Петри было 2 бактерии.

Каждые 30 минут их число удваивается.

Вопрос: Сколько бактерий будет через 3 часа?

Слайд 14. Решение задачи про бактерии

1. Это геометрическая прогрессия, так как число умножается.

2. $b_1=2$, $q=2$.

3. Время: 3 часа = 180 минут. Количество делений: $180/30=6$.

4. Важно: через 3 часа мы ищем 7-й член прогрессии (начальное состояние + 6 шагов).

5. $b_7=b_1\cdot q^6=2\cdot 2^6=2\cdot 64=128$.

Ответ: 128 бактерий.

Слайд 15. Прототип 3: Физические задачи (свободное падение)

Слайд 16. Падение камня в колодец

Условие: При свободном падении тело в первую секунду проходит 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше, чем в предыдущую.

Вопрос: Какую глубину пролетит тело за 5 секунд?

Здесь нужно найти СУММУ первых 5 членов прогрессии.

Слайд 17. Решение задачи на сумму

1. Дано: $a_1=5$, $d=10$, $n=5$.

2. Сначала найдем $a_5$: $a_5=5+10\cdot 4=45$.

3. Теперь сумма: $S_5=\frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5=\frac{5+45}{2}\cdot 5=25\cdot 5=125$.

Ответ: 125 метров.

Слайд 18. Шпаргалка: Как отличить типы прогрессий?

Слайд 19. Алгоритм решения любой задачи 14

Определите тип прогрессии по ключевым словам ('на' или 'в').

Выпишите данные: первый член, разность/знаменатель и номер члена.

Выберите формулу (n-ый член или сумма) и подставьте значения.

Слайд 20. Ловушки, на которых теряют баллы

Часто путают n и n+1 (например, в задачах про время).

Внимательно читайте: нужно найти значение в ряду или ВСЕГО.

Если прогрессия убывает, не забывайте минус в расчетах.

Геометрическая прогрессия быстро растет — перепроверяйте умножение.

Слайд 21. Проверь себя: Какая это прогрессия?

Условие: 'Улитка ползет, увеличивая расстояние на 2 см каждый час'. Большинство учеников верно определяют это как арифметическую прогрессию.

Слайд 22. Математика — это язык, на котором написана книга природы.

— Галилео Галилей

Слайд 23. План подготовки к заданию 14

День 1

День 2

День 3

День 4

Выучить формулы и понять смысл разности и знаменателя.

Решить 10 задач на арифметическую прогрессию (амфитеатры, лестницы).

Решить 10 задач на геометрическую прогрессию (бактерии, распад).

Тренировка комбинированных задач на сумму членов.

Слайд 24. Итоги занятия

Задание 14 — это всегда про закономерности.

Главное — правильно определить $a_1$ и $d$ (или $b_1$ и $q$).

Не бойтесь считать 'руками' первые несколько членов, если забыли формулу.

Внимательно читайте вопрос: 'сколько в ряду' или 'сколько всего'.

Практика — лучший способ перестать бояться прогрессий!

Слайд 25. Удачи на ОГЭ! У вас всё получится!