Решение уравнений

Слайд 1. Решение уравнений

Алгебра, 9 класс: основные методы и алгоритмы

Слайд 2. Классификация уравнений

Линейные уравнения: $ax+b=0$

Квадратные уравнения: $a{x}^2+bx+c=0$

Дробно-рациональные уравнения

Уравнения высших степеней

Уравнения с модулем

Слайд 3. Линейные уравнения

Уравнение вида $ax+b=0$ называется линейным.

1. Если $a\ne 0$, уравнение имеет один корень: $x=-\frac{b}{a}$.

2. Если $a=0$ и $b=0$, то $x$ — любое число.

3. Если $a=0$ и $b\ne 0$, корней нет.

На графике корень — это точка пересечения прямой с осью $Ox$.

Слайд 4. Квадратные уравнения: Дискриминант

$a{x}^2+bx+c=0$

Коэффициенты $a,b,c$ — числа, причем $a\ne 0$.

$D=b^2-4ac$

$D>0$: два корня

$D=0$: один корень

$D<0$: корней нет

Слайд 5. Для приведённого квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$.

— Теорема Виета

Слайд 6. Алгоритм решения квадратного уравнения

Привести уравнение к стандартному виду

Найти дискриминант $D$

Определить количество корней

Вычислить корни по формуле $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Записать ответ

Слайд 7. Дробно-рациональные уравнения

Уравнение вида $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ равносильно системе:

1. $P(x)=0$ (числитель равен нулю)

2. $Q(x)\ne 0$ (знаменатель не равен нулю)

Алгоритм: найти корни числителя и исключить те, которые обращают знаменатель в ноль.

Слайд 8. Уравнения с модулем

Простейшее уравнение $|x|=a$:

— Если $a>0$, то $x=a$ или $x=-a$.

— Если $a=0$, то $x=0$.

— Если $a<0$, корней нет.

Метод интервалов:

Для решения уравнений вида $|x-a|+|x-b|=c$ нужно разбить числовую прямую на промежутки, где выражения под модулем сохраняют знак.

Слайд 9. Проверь себя: практические задания

Решите уравнение $x^2-7x+10=0$ через дискриминант.

Найдите корни уравнения $x^2+5x=0$ методом вынесения за скобки.

Решите уравнение $|x-4|=3$.

При каком значении $D$ уравнение имеет ровно один корень?

Определите ОДЗ для уравнения $\frac{x-1}{x+2}=0$.

Слайд 10. Итоги урока

Выбор метода зависит от вида уравнения.

Дискриминант — универсальный инструмент для квадратных уравнений.

Всегда проверяйте ОДЗ в дробных уравнениях.

Теорема Виета ускоряет поиск корней приведённых уравнений.

Проверка найденных корней — лучший способ избежать ошибок.