Мир параллельных линий и треугольников

Слайд 1. Мир параллельных линий и треугольников

Геометрия 7 класс: от рельсов до звёзд

Слайд 2. Что мы сегодня узнаем?

Сегодня мы погрузимся в мир линий, которые никогда не встречаются, и раскроем главную тайну любого треугольника. Мы научимся определять параллельность «на глаз» и с помощью расчётов, а также поймём, почему сумма углов треугольника всегда неизменна.

Слайд 3. Параллельные прямые: определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: $a\parallel b$.

Главное свойство: расстояние между ними всегда одинаково.

Примеры в жизни: рельсы, края тетрадного листа, струны гитары.

Слайд 4. Часть 1: Углы при пересечении прямых

Слайд 5. Что такое секущая?

Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые в двух разных точках. При этом образуется целых 8 углов! Каждый из них имеет своё название в зависимости от расположения.

Слайд 6. Виды углов при секущей

Лежат по разные стороны от секущей между прямыми (как буква Z).

Лежат по одну сторону от секущей и «смотрят» в одном направлении.

Лежат по одну сторону от секущей между двумя прямыми.

Лежат друг напротив друга в вершине пересечения.

Слайд 7. Свойства углов при $a\parallel b$

Если прямые параллельны, то:

1. Накрест лежащие углы равны.

2. Соответственные углы равны.

3. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ }$.

Слайд 8. Сравним: Накрест лежащие vs Односторонние

Они как зеркальные отражения. Если один угол $30^{\circ }$, то и второй будет $30^{\circ }$. Ищите фигуру, напоминающую букву Z или N.

Они дополняют друг друга. Если один $30^{\circ }$, то второй — $150^{\circ }$. Вместе они всегда образуют «стенку» в $180^{\circ }$.

Слайд 9. Визуальный квиз: Найди пары углов

Слайд 10. Часть 2: Признаки параллельности

Слайд 11. Как доказать параллельность?

Найти равные накрест лежащие углы.

Найти равные соответственные углы.

Проверить, что сумма односторонних равна $180^{\circ }$.

Слайд 12. Расстояние между прямыми

Если расстояние от любых двух точек одной прямой до второй прямой одинаково, то эти прямые параллельны. Это практический способ проверки, который используют строители и инженеры.

Слайд 13. Сводная таблица признаков

Слайд 14. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

— Аксиома параллельных прямых (Аксиома Евклида)

Слайд 15. Часть 3: Сумма углов треугольника

Слайд 16. Великое число 180

В любом треугольнике на плоскости сумма всех его внутренних углов всегда равна $180^{\circ }$. Неважно, маленький он или огромный, острый или тупой.

Слайд 17. Почему это так? (Идея доказательства)

Проведём через вершину треугольника прямую, параллельную основанию. Углы при вершине и углы у основания станут накрест лежащими.

Вместе три угла при вершине образуют развёрнутый угол, который равен $180^{\circ }$. Значит, и сумма углов треугольника — $180^{\circ }$.

Слайд 18. Распределение углов в разных треугольниках

Заметьте: в равностороннем треугольнике все углы по $60^{\circ }$. В сумме — всегда $180^{\circ }$.

Слайд 19. Важные следствия

1. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых и один тупой/прямой.

2. У треугольника не может быть двух тупых или двух прямых углов.

3. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^{\circ }$.

Слайд 20. Часть 4: Внешний угол треугольника

Слайд 21. Что такое внешний угол?

Это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника. Чтобы его увидеть, просто продлите одну из сторон треугольника за вершину.

Слайд 22. Свойство внешнего угла

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Формула: ${\angle }_{ext}=\alpha +\beta$.

Это позволяет находить углы, не зная третьего внутреннего угла.

Слайд 23. Сравнение углов

Внутренние углы: всегда в сумме $180^{\circ }$.

Внешний угол: всегда больше любого не смежного с ним внутреннего.

Слайд 24. Практические задачки

Углы треугольника $40^{\circ }$ и $60^{\circ }$. Найдите третий угол.

Внешний угол равен $110^{\circ }$. Один из внутренних не смежных — $50^{\circ }$. Найдите второй.

Может ли в треугольнике быть угол $181^{\circ }$?

Сумма двух углов $120^{\circ }$. Чему равен внешний угол при третьей вершине?

Слайд 25. История изучения параллельности

300 лет до н.э.

Средние века

XIX век

Евклид пишет «Начала», формулируя пятый постулат.

Математики Востока пытаются доказать постулат через другие свойства.

Лобачевский и Бойяи создают неевклидову геометрию.

Слайд 26. Проверка параллельности на практике

В инженерии параллельность — это залог устойчивости зданий и плавности хода механизмов. Малейшее отклонение в $1^{\circ }$ на большой длине может привести к катастрофе.

Слайд 27. Какой факт самый удивительный?

Большинство учеников считают магию числа $180$ самым интересным открытием в 7 классе.

Слайд 28. Главные выводы урока

Параллельные прямые никогда не пересекаются.

При пересечении параллельных прямых секущей возникают равные углы (накрест лежащие и соответственные).

Сумма углов любого треугольника — ровно $180^{\circ }$.

Внешний угол треугольника — это сумма двух внутренних, не стоящих рядом с ним.

Слайд 29. Домашнее задание

1. Найти вокруг себя 3 примера параллельных прямых.

2. Нарисовать произвольный треугольник, измерить его углы транспортиром и проверить, получается ли в сумме $180^{\circ }$.

3. Решить задачи №124 и №128 из учебника.

Слайд 30. Геометрия — это порядок в мире хаоса. Спасибо за урок!