Периметр и площадь составной фигуры
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить периметр и площадь фигуры, составленной из двух-трёх прямоугольников или квадратов, выбирая удобный способ разбиения и проверяя результат.
- Закрепить умение вычислять периметр и площадь прямоугольника и квадрата, применять единицы измерения длины и площади.
- Сформировать умение разбивать составную фигуру на простые части, составлять план решения и объяснять последовательность действий.
- Развивать навыки сотрудничества в парах и группах, математическую речь, самоконтроль и умение выбирать задание по уровню сложности.
- Воспитывать интерес к математике через игровой сюжет проектирования площадки и ответственное отношение к точности измерений.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к практическому применению периметра и площади при проектировании реальных объектов.
- Осознают значение аккуратности, точности измерений и проверки вычислений.
- Принимают учебную задачу, оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Понимают, что одну задачу можно решить несколькими способами, и уважительно относятся к иному мнению.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения составной задачи и выделяют известные и неизвестные величины.
- Используют схему, чертёж, таблицу и экранную модель для представления математической информации.
- Сравнивают способы решения, находят и исправляют ошибки в вычислениях.
- Формулируют ответ полным предложением, аргументируют выбор способа и взаимодействуют в паре и группе.
Предметные
- Знать формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата.
- Уметь находить периметр составной фигуры по внешнему контуру.
- Уметь находить площадь составной фигуры как сумму площадей частей.
- Уметь выполнять необходимые измерения по чертежу, записывать вычисления с единицами измерения и проверять разумность ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться вычислять размеры составной фигуры без ошибок.
- Проявляют познавательный интерес к созданию плана игровой площадки.
- Оценивают значение взаимопомощи и честного распределения ролей в группе.
- Развивают уверенность через выбор посильного уровня задания.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, составляют план решения практической задачи.
- Проверяют вычисления сложением, обратным действием или сравнением с чертежом.
- Обнаруживают ошибку в выборе сторон внешнего контура и корректируют решение.
- Оценивают результат по критериям и формулируют, что ещё необходимо потренировать.
Познавательные УУД
- Выделяют прямоугольники и квадраты, из которых составлена фигура.
- Моделируют задачу с помощью разметки, чертежа и цветового выделения частей.
- Сравнивают нахождение площади сложением и способом дополнения до большого прямоугольника.
- Устанавливают связь между длинами сторон, периметром и площадью.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и группе: измеритель, вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы и объясняют, почему внутренняя линия не входит в периметр.
- Согласуют общий вариант решения и аргументируют его перед классом.
- Используют математические термины: «внешний контур», «часть фигуры», «периметр», «площадь».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображением составной фигуры, пошаговым выделением двух-трёх прямоугольников и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по одному комплекту на каждую группу.
- Подготовить для каждой группы набор цветных прямоугольников и квадратов из бумаги, линейку, клей-карандаш, маркер и лист формата А4.
- Вывесить на доске памятку: $P=2(a+b)$, $P=4a$, $S=a\cdot b$, $S=a^2$; «Периметр — только внешний контур».
- Подготовить маршрут игрового задания «Архитекторы площадки» с тремя станциями: «Измерь», «Вычисли», «Проверь».
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить короткую интерактивную модель фигуры для фронтальной работы и таймер на экране.
- Освободить место между рядами для физкультминутки, подготовить карточки с командами «длина», «ширина», «периметр», «площадь».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить детей в учебную деятельность через игровой сюжет и сформулировать практическую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы становимся архитекторами. На экране вы видите план необычной площадки, составленной из нескольких прямоугольных зон. Нам нужно узнать, сколько ограждения понадобится и какую площадь займёт площадка. Проверьте, что на парте есть тетрадь, линейка и ручка." | Проверяют готовность, рассматривают схему на экране, формулируют предположение: "Нужно измерить стороны и что-то вычислить". |
2 мин | Учитель показывает цветной план и задаёт проблемный вопрос: "Можно ли сразу назвать эту фигуру прямоугольником? Какие части вы в ней видите? Как узнать длину ограждения и площадь покрытия? Сегодня мы найдём способ, который поможет решать такие задачи без догадок." Учитель фиксирует тему на доске. | Называют прямоугольники и квадраты, предполагают: "Для ограждения нужен периметр, а для покрытия — площадь", записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что перед нами не один простой прямоугольник, а составная фигура. Сейчас вспомним известные формулы и выясним, какие линии учитывать при вычислении."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата и подготовить основу для нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата. Сначала подумайте молча, затем обсудите с соседом и выберите формулировку, которую сообщите классу." | Индивидуально вспоминают формулы, затем в парах сверяют записи и готовят ответ. |
2 мин | Учитель показывает на доске прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см: "Назовите его периметр и площадь. Объясните, какую величину измеряет каждый результат." | Решают устно: "$P=2\cdot(6+3)=18$ см", "$S=6\cdot3=18$ кв. см"; объясняют, что периметр — длина границы, площадь — размер поверхности. |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с утверждениями: «В периметр входят все линии чертежа», «Площадь измеряется в квадратных единицах», «У квадрата все стороны равны». Просит поднять зелёную карточку для верного утверждения и красную — для неверного, затем объяснить выбор. | Отмечают утверждения, исправляют ошибочное: "В периметр составной фигуры входят только стороны внешнего контура". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы простых фигур мы вспомнили. Теперь нам предстоит понять, как использовать их, если фигура состоит сразу из нескольких частей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при нахождении периметра составной фигуры и определить план открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран Г-образную фигуру из двух прямоугольников со сторонами внешнего контура 8 см, 3 см, 4 см, 2 см, 4 см и 5 см: "Попробуйте назвать, какие отрезки нужно сложить для периметра. Внимательно смотрите: какие линии являются границей всей фигуры, а какие появились только после разбиения?" | Работают в парах, обводят пальцем внешний контур, отвечают: "Нужно складывать только внешние стороны; внутренняя линия не является границей фигуры". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как можно найти площадь? Можно ли разделить фигуру на прямоугольники? Как проверить ответ другим способом? Составьте план из трёх шагов." Учитель записывает предложения на доске. | Формулируют план: «Разделить фигуру на простые части; найти площадь каждой части и сложить; для периметра сложить стороны внешнего контура; проверить ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: площадь можно находить по частям, а периметр — по внешней границе. Проверим этот план на конкретной задаче и сами откроем правило."
Этап 4. Открытие нового знания и групповая работа (9 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм нахождения периметра и площади составной фигуры на практической модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель объединяет детей в группы по четыре человека и распределяет роли: "Каждая группа получает детали бумажной площадки. Сложите фигуру по образцу на экране, выделите два прямоугольника разными цветами. Измеритель проверяет стороны, вычислитель записывает, проверяющий ищет ошибку, докладчик готовит объяснение." | Собирают модель из бумажных частей, выделяют два прямоугольника, распределяют роли, измеряют стороны. |
3 мин | Учитель сопровождает работу вопросами: "Какие размеры нужны для площади первой части? Что сделаем с площадью второй части? Почему общая граница между частями не входит в периметр?" На доске фиксирует алгоритм: 1) разбиение; 2) площади частей; 3) сумма площадей; 4) внешний контур для периметра. | Вычисляют площади частей, складывают их, показывают внутреннюю линию и объясняют: "Она находится внутри фигуры, поэтому в периметр не входит". |
3 мин | Учитель просит докладчиков представить решение: "Расскажите не только ответ, но и порядок действий. Сравните результаты групп. Если способы разные, определите, почему ответы должны совпасть." | Докладчики объясняют решение. Остальные сверяют записи, задают вопросы, формулируют вывод: «Площадь составной фигуры равна сумме площадей частей, а периметр равен сумме длин внешних сторон». |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) разделить фигуру на прямоугольники и квадраты; 2) найти площадь каждой части; 3) сложить площади; 4) для периметра сложить длины сторон внешнего контура; 5) записать единицы измерения и проверить ответ.
Эталон решения
Для фигуры с внешними сторонами 8 см, 3 см, 4 см, 2 см, 4 см и 5 см: $P=8+3+4+2+4+5=26$ см. Если фигура разделена на прямоугольники площадью $8\cdot3=24$ кв. см и $4\cdot2=8$ кв. см, то $S=24+8=32$ кв. см. Ответ: периметр — 26 см, площадь — 32 кв. см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два связанных, но разных способа рассуждения. Площадь считаем внутри фигуры по частям, а периметр прослеживаем снаружи. Теперь потренируемся применять алгоритм точно и быстро."
Этап 5. Физкультминутка «Геометрические команды» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить различие между длиной стороны, периметром и площадью через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Если я называю длину стороны, покажите один отрезок руками. Если слышите слово «периметр», обведите руками границу воображаемой фигуры. Если слышите «площадь», широко разведите руки, показывая поверхность. Будьте внимательны: команда меняется быстро." | Выполняют движения по командам, при слове «квадрат» изображают его руками, при слове «прямоугольник» показывают вытянутую фигуру. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и ещё раз различили границу фигуры и её поверхность. Возвращаемся к рабочим местам и проверяем, насколько уверенно умеем действовать самостоятельно."
Этап 6. Первичное закрепление и самостоятельная работа с выбором уровня (14 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях разной сложности, обеспечить практику и формирующее оценивание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает обязательное задание для всех: "Начните с карточки базового уровня. Фигура составлена из прямоугольников со сторонами 6 см и 3 см, а также 2 см и 3 см. Найдите площадь каждой части и площадь всей фигуры. Затем обведите внешний контур и найдите его периметр по указанным на чертеже сторонам. Работайте индивидуально, после этого сравните первый шаг с соседом." | Размечают фигуру, вычисляют площади частей, находят сумму, затем складывают стороны внешнего контура. В паре сверяют план, но не переписывают решение. |
4 мин | Учитель предлагает базовый и повышающий уровни: "Кто закончил, выбирает карточку «Исследователь». Сравните два способа нахождения площади: разбиение на части и дополнение до большого прямоугольника. Запишите оба выражения и объясните, почему ответы одинаковы." Учитель адресно помогает детям, которым трудно. | Решают: «площадь большого прямоугольника минус площадь выреза», сравнивают выражения, объясняют равенство результатов. |
3 мин | Учитель даёт творческое задание группам: "Спроектируйте на листе фигуру игровой площадки из двух-трёх прямоугольников. Подпишите размеры, раскрасьте части, составьте вопрос о периметре или площади для другой группы." | В группах создают чертёж, подписывают размеры, вычисляют один показатель, формулируют задачу и передают её соседней группе. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям на доске: «Есть разбиение; площади сложены; в периметр включён внешний контур; единицы записаны». Просит поставить знак «+» или «?» напротив каждого критерия. | Проверяют работу товарища, ставят отметки по четырём критериям, записывают один совет: «Проверь единицы» или «Обведи внешний контур». |
Эталон решения
При проверке учитель обращает внимание на порядок: сначала ребёнок показывает разбиение, затем записывает формулы площадей частей, складывает их и отдельно вычисляет периметр внешней границы. Типичная ошибка — прибавление внутреннего отрезка к периметру. В этом случае нужно предложить обвести фигуру пальцем по границе и повторить сложение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не только решали готовые задачи, но и создавали собственные фигуры. Выберите в листе самооценки один пункт, который уже выполняете уверенно, и один пункт, который потренируете дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознать способ решения, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно разделить фигуру и найти её площадь; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока трудно. Объясните выбор соседу по парте." | Показывают карточку, формулируют: "Мне легко находить площадь по частям, но нужно повторить периметр" или "Я умею обводить внешний контур". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: что входит в периметр составной фигуры и как найти её площадь? Приведите короткий пример действия." | Заполняют билет: «В периметр входят внешние стороны; площадь равна сумме площадей частей», приводят собственный пример. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень, ориентируясь на свою самооценку. Проверьте, чтобы в каждом ответе были вычисления, единицы измерения и пояснение способа." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть в сложной фигуре знакомые прямоугольники и квадраты. Площадь нашли по частям, а периметр — по внешнему контуру. На следующем уроке будем решать более сложные задачи с неизвестными сторонами и проверять разные способы рассуждения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены обязательное задание и выбранное задание повышенного или творческого уровня; фигура верно разделена на части, вычисления записаны последовательно, единицы измерения указаны.
- «4» — правильно найден один из показателей и в целом выбран верный алгоритм, но допущена одна вычислительная ошибка или пропущено пояснение.
- «3» — выполнено обязательное задание с существенной помощью учителя или допущены две ошибки, однако ученик различает площадь и периметр и показывает внешний контур.
- Ниже базового уровня — требуется дополнительная работа с моделью прямоугольника, выделением внешней границы и повторением формул.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать первым, если фигура составлена из нескольких прямоугольников? | Проверить понимание начала алгоритма и умение планировать решение. |
Почему внутренняя линия между двумя частями не входит в периметр? | Выявить понимание различия между внешним контуром и линиями разбиения. |
Какой способ нахождения площади оказался для вас удобнее: сложение площадей частей или дополнение до большого прямоугольника? | Определить осознанность выбора способа и готовность сравнивать решения. |
Какое задание оказалось самым сложным и какая помощь была бы полезна? | Выявить индивидуальные точки затруднения для последующей дифференциации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали как настоящие проектировщики: измеряли, чертили, вычисляли и проверяли друг друга. Главное правило урока такое: площадь составной фигуры можно найти по частям, а периметр нужно считать по её внешней границе. Не забывайте подписывать единицы измерения и проверять, не включили ли вы внутренний отрезок в периметр. На следующем уроке мы продолжим работу с составными фигурами и будем находить неизвестные длины сторон."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение периметра и площади фигур, составленных из двух прямоугольников или квадратов, по готовым чертежам. В каждой задаче выделить части и записать единицы измерения. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на разбиение фигуры, внешний контур и правильность единиц. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи, в которых одна сторона составной фигуры неизвестна и её нужно найти по данным чертежа, затем вычислить периметр и площадь. | Развивает применение известных формул в изменённой ситуации; проверить обоснование найденной длины. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать на клетчатой бумаге собственную фигуру из двух-трёх прямоугольников или квадратов, подписать размеры, вычислить её периметр и площадь, а также составить задачу для одноклассника. | Развивает творческое мышление и умение конструировать математическую задачу; проверить точность чертежа и согласованность размеров. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое периметр составной фигуры? Какие стороны входят в его вычисление? Как найти площадь фигуры, составленной из двух-трёх прямоугольников? В каких единицах записывают периметр и площадь?»
