Системы счисления: непозиционные и позиционные. Развёрнутая форма записи числа
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут классифицировать системы счисления на позиционные и непозиционные, определять их алфавит и основание, а также представлять числа в развёрнутой форме записи.
- Образовательная задача: изучить историю возникновения систем счисления, правила записи чисел в римской системе и десятичной позиционной системе.
- Развивающая задача: развить логическое мышление через сравнение способов кодирования числовой информации и выявление преимуществ позиционного принципа.
- Воспитательная задача: способствовать формированию навыков командной работы в парах и интереса к истории развития информационных технологий.
- Межпредметная задача: проследить связь между историей (римские цифры), математикой (степени числа) и информатикой (кодирование данных).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
- Понимание роли информационных процессов в современном мире и истории человечества.
- Осознанное, уважительное и доброжелательное отношение к мнению другого человека при работе в парах.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии и причинно-следственные связи.
- Навыки смыслового чтения текстов различных стилей и жанров (исторические справки, правила записи).
- Умение использовать ИКТ-компетенции для визуализации математических моделей (развёрнутая форма числа).
Предметные
- Знание определений «система счисления», «алфавит», «основание», «разряд».
- Умение различать позиционные и непозиционные системы счисления.
- Владение навыком записи чисел в развёрнутой форме в десятичной системе счисления.
- Умение читать и записывать числа в римской системе счисления, понимая принципы сложения и вычитания.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие критического мышления при анализе удобства различных способов записи чисел.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно планировать пути достижения целей.
- Осуществление контроля своей деятельности в процессе достижения результата (самопроверка по эталону).
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из учебного текста.
- Структурирование знаний в виде сравнительных таблиц и схем.
Коммуникативные УУД
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с партнёром.
- Аргументация своей позиции при выборе наиболее эффективного способа решения задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить мультимедийную презентацию со слайдами: «Древние способы счёта», «Римская система», «Развёрнутая форма числа».
- Распечатать карточки для работы в парах «Дешифровщик: Римские числа» (15 экземпляров).
- Подготовить интерактивный тест или онлайн-тренажёр (например, на платформе LearningApps или аналогичной) для этапа закрепления.
- Проверить работоспособность проектора и компьютеров/планшетов для учеников.
- Выписать на доску ключевые понятия: Алфавит, Основание, Разряд, Вес разряда.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и «Крючок» (3 мин)
Цель этапа: заинтересовать учащихся необычным фактом, создать эмоциональный настрой на изучение истории чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы начнём с загадки. Представьте, что вы — археологи, нашедшие древний свиток. На нём написано число: три палочки, две дуги и один лотос. Как вы думаете, сколько это? Люди всегда искали способ записать количество добычи, воинов или звёзд. Почему мы сейчас пишем "100", а не рисуем лотос? Сегодня мы пройдём путь от древних египтян до программистов и поймём, в чём магия позиционной записи». Учитель выводит на экран изображения египетских иероглифов. | Слушают учителя, рассматривают слайд. Выдвигают гипотезы о значении символов (палочка — 1, дуга — 10, лотос — 1000). Включаются в обсуждение вопроса о том, удобно ли было бы записывать большие числа такими знаками. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что способов записи много. Но все они делятся на две большие группы. Давайте узнаем, на какие именно».
Этап 2. Актуализация и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать разницу между значением цифры в зависимости от её места в числе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель пишет на доске два числа: III и 111. «Ребята, посмотрите на эти записи. В обоих случаях использованы три одинаковых знака. Означают ли они одно и то же число? В чём принципиальная разница между первой и второй записью? Попробуйте сформулировать правило: как меняется значение единицы в числе 111, если мы передвинем её на одну позицию влево?» | Отвечают: «Нет, III — это 3, а 111 — это сто одиннадцать». Анализируют: в римской системе палочка всегда единица, а в нашей системе цифра 1 может означать единицу, десяток или сотню в зависимости от места. Формулируют затруднение: мы пользуемся этим каждый день, но не знаем научного названия этого принципа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Совершенно верно. Место цифры — это её позиция. Отсюда и названия двух типов систем счисления».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания: Непозиционные системы и Римская система (10 мин)
Цель этапа: изучить правила непозиционных систем на примере римской, выявить их недостатки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Запишем определение: Система счисления — это способ записи чисел с помощью набора специальных знаков (цифр). В непозиционных системах значение цифры не зависит от её позиции. Самый яркий пример — Римская система. Давайте вспомним её алфавит». Учитель рисует таблицу соответствий: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. «Существуют правила: если меньшая цифра стоит после большей, они складываются (VI = 5+1=6), если перед — вычитаются (IV = 5-1=4)». | Записывают определение в тетрадь. Зарисовывают таблицу римских цифр. Выполняют устное задание учителя: перевести числа IX, XL, MC в десятичную систему. |
5 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Ребята, а попробуйте в уме умножить CLXXIV на XIX. Удобно? Почему непозиционные системы почти исчезли из науки и торговли?» | Пытаются считать, приходят к выводу, что это крайне сложно. Формулируют недостатки: сложность выполнения арифметических действий, необходимость введения новых знаков для очень больших чисел. |
Запись в тетрадях
- Система счисления (СС) — способ записи чисел.
- Непозиционная СС: значение цифры постоянно (Римская: I, V, X, L, C, D, M).
- Правила: VI (5+1), IV (5-1).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Непозиционные системы красивы, но для вычислений неудобны. Поэтому человечество пришло к позиционным системам, которыми мы пользуемся в математике и информатике».
Этап 4. Позиционные системы и развёрнутая форма числа (12 мин)
Цель этапа: ввести понятия «основание» и «алфавит», научить представлять число как сумму степеней основания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «В позиционных системах всё иначе. У каждой системы есть Алфавит (набор цифр) и Основание (количество цифр). Наша привычная система — десятичная. Почему? Потому что её основание — 10. Давайте запишем число 2548. Каждая цифра здесь стоит в своём разряде». Учитель показывает на доске: 2 — тысячи, 5 — сотни, 4 — десятки, 8 — единицы. «Мы можем записать это так: 2*1000 + 5*100 + 4*10 + 8*1. А теперь вспомним математику: 1000 — это 10 в какой степени?» | Отвечают: «В третьей». Работают в тетрадях: записывают число 2548 в виде суммы степеней десятки: 2*10^3 + 5*10^2 + 4*10^1 + 8*10^0. Осознают, что разряды нумеруются справа налево, начиная с нуля. |
6 мин | «Это и есть развёрнутая форма записи числа. Она универсальна. Если бы у нас была пятеричная система, мы бы умножали на степени 5. Запишем общую формулу». Учитель выводит формулу: N = a_n*q^n + ... + a_0*q^0, где q — основание. | Записывают формулу. Пробуют самостоятельно записать в развёрнутой форме число 307,2. Обсуждают, как быть с запятой (степени становятся отрицательными). |
Эталон решения
Для числа 2548,12 (десятичная система):
2548,12_{10} = 2 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2}
2548,12_{10} = 2 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2}
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы видите структуру числа "изнутри". Это ключ к пониманию того, как компьютер понимает наши числа».
Этап 5. Первичное закрепление и работа в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать навыки перевода из римской системы и записи развёрнутой формы в режиме сотрудничества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Применим метод "Think-Pair-Share". У вас на партах карточки. Задание 1: Расшифруйте дату основания Москвы (MCLXVII) и год первого полёта человека в космос (MCMLXI). Задание 2: Запишите число 403,59 в развёрнутой форме. Сначала решите сами (1 мин), затем обсудите с соседом и придите к общему ответу». Учитель обходит класс, консультирует. | Работают индивидуально, затем в парах. Сверяют ответы. Один ученик из пары озвучивает результат: «1147 год и 1961 год». Другой пишет на доске развёрнутую форму числа. Оценивают работу друг друга по принципу «Две звезды и пожелание». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично! Вы справились с ролью дешифровщиков и математиков. Осталось проверить, как вы усвоили теорию».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, провести самооценку и поставить задачи на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает ученикам ответить на вопросы «Билета на выход» (устно или на стикерах): «Что было самым сложным?», «Чем позиционная система лучше непозиционной?». Также просит поднять «Светофор»: зелёный — всё понятно, жёлтый — есть вопросы по развёрнутой форме, красный — римская система осталась загадкой. | Анализируют свою деятельность. Поднимают карточки самооценки. Отвечают: «Сложно было с отрицательными степенями», «Позиционная система удобнее, потому что в ней легче считать столбиком». |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание, акцентируя внимание на творческом уровне. «На следующем уроке мы узнаем, почему компьютер понимает только 0 и 1. До свидания!» | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно переведены оба римских числа, развёрнутая форма записи составлена без ошибок, включая дробную часть.
- «4» — Допущена одна ошибка в определении римского числа ИЛИ в показателе степени развёрнутой формы.
- «3» — Верно выполнено только одно задание из двух, есть существенные пробелы в понимании разрядов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Могу ли я объяснить разницу между позицией цифры в числе 555? | Проверка осознания принципа позиционности. |
Какой алгоритм я использую, чтобы перевести число из римской системы? | Рефлексия регулятивных действий (алгоритмизация). |
Где в жизни я встречаю римские цифры, кроме уроков истории? | Связь с реальным контекстом (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы совершили путешествие во времени — от палочек на песке до формул, описывающих структуру числа. Мы поняли, что позиционная система — это величайшее изобретение, позволившее нам автоматизировать расчёты. Если сегодня развёрнутая форма записи показалась вам немного громоздкой — не пугайтесь, это фундамент. На следующем уроке именно этот фундамент поможет нам понять язык современных гаджетов — двоичный код. Вы отлично поработали в парах, спасибо за урок!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Параграф 1.1, упр. 1-3. | Ответить на вопросы в конце параграфа, выучить определения алфавита и основания. |
Средний (повышающий) | Записать в развёрнутой форме: 1024,75; 333,3; 5005. | Отработка навыка работы с нулевыми разрядами и дробной частью. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование «Славянская кириллическая система счисления». | Подготовить 3-4 слайда о том, как записывали числа на Руси до Петра I (межпредметная связь). |
Контрольный вопрос перед уходом: «Сколько цифр в алфавите восьмеричной системы счисления и какая самая большая из них?»