Системы счисления: алфавит, основание и перевод чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться определять алфавит и основание позиционной системы счисления, переводить целые числа от 0 до 1024 из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную и выполнять обратный перевод десятичных чисел в двоичную систему.
- Сформировать представление о различиях между позиционными и непозиционными системами счисления и объяснить значение позиции цифры в записи числа.
- Освоить алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.
- Развивать умение анализировать запись числа, выбирать подходящий алгоритм и проверять результат обратным переводом.
- Воспитывать аккуратность при записи вычислений, интерес к применению систем счисления в информатике и уважение к аргументированному мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают связь систем счисления с устройством компьютеров, программированием и цифровыми профессиями.
- Проявляют познавательный интерес к способам представления информации.
- Понимают ценность аккуратности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Готовы принимать ошибку как основание для коррекции способа действия.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность действий при переводе чисел.
- Извлекают информацию из таблицы соответствий и алгоритма, представленного на экране.
- Сравнивают позиционные и непозиционные системы, выявляют основания классификации.
- Работают в паре, аргументируют ответ и используют взаимопроверку по эталону.
- Осуществляют самоконтроль и коррекцию вычислительных ошибок.
Предметные
- Знать понятия «алфавит системы счисления», «основание системы счисления», «позиционная система счисления».
- Уметь определять допустимые цифры в системах с основаниями 2, 8, 10 и 16.
- Уметь переводить числа из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную.
- Уметь переводить целые десятичные числа от 0 до 1024 в двоичную систему методом деления на 2.
- Уметь проверять результат перевода вычислением и находить ошибку в готовой записи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный интерес к теме через связь с кодированием данных и компьютерными технологиями.
- Осознают необходимость точности при работе с формальными языками и кодами.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения в переводе числа.
- Планируют действия по разрядам или по остаткам от деления.
- Сверяют промежуточные результаты с эталоном.
- Исправляют ошибку, устанавливая, на каком шаге нарушен алгоритм.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и билету на выход.
Познавательные УУД
- Классифицируют системы счисления по признаку зависимости значения цифры от позиции.
- Строят разложение числа по степеням основания.
- Используют таблицу соответствий шестнадцатеричных цифр и двоичных тетрад.
- Преобразуют информацию из одной знаковой формы в другую.
- Выдвигают гипотезу о связи основания системы и количества цифр в её алфавите.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и уточняют способ действия у одноклассника.
- Распределяют роли при парной проверке: решающий и контролёр.
- Обосновывают ответ через запись степеней основания и промежуточных вычислений.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
- Согласуют общий вывод после обсуждения разных вариантов решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную таблицу с алфавитами систем счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.
- Вывести на доску шпаргалку: $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$, $F=15$; таблицу степеней 2 от $2^0$ до $2^{10}$.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Распечатать карточки для работы в парах с примерами перевода — по одной карточке на парту.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «определяю основание», «перевожу в десятичную», «перевожу делением на 2», «проверяю результат».
- Подготовить стикеры двух цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, компьютер и таймер на 2–4 минуты.
- Раздать или открыть на экране краткую памятку алгоритма перевода десятичного числа в двоичную систему.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость разных систем счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как исследователи цифрового мира. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка. В конце урока каждый сможет оценить, какой способ перевода уже выполняет уверенно." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят тетради и карточки. |
2 мин | Учитель показывает на экране записи $1011_2$, $17_8$, $2A_{16}$ и спрашивает: "Как вы думаете, это числа или наборы символов? Почему одинаковая цифра в разных записях может иметь разное значение? Где такие записи встречаются в компьютере?" Учитель фиксирует гипотезы без оценки. | Рассматривают записи, предполагают: "Это числа в разных системах", "компьютер использует двоичную систему", "основание влияет на значение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что запись числа зависит от правил системы. Сейчас выясним, какие это правила и как переводить такую запись в привычную десятичную форму."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия разряда, степени и состава числа, необходимые для открытия нового способа перевода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $572$ и спрашивает: "Какова роль цифры 7 в этом числе? Почему она означает 70, а не 7? Запишите число как сумму разрядных слагаемых." | Отвечают: "Значение цифры зависит от позиции"; записывают $572=5\cdot10^2+7\cdot10^1+2\cdot10^0$. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Определите, какие цифры можно использовать в системе с основанием 2, 8 и 16. Сначала подумайте самостоятельно, затем сравните ответ с соседом. Объясните, почему цифра 8 недопустима в восьмеричной системе." | Самостоятельно записывают варианты, обсуждают в парах и формулируют: "В системе с основанием $p$ используются цифры от 0 до $p-1$; цифра 8 недопустима в восьмеричной системе". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что позиция определяет вес цифры, и установили связь между основанием и алфавитом. Теперь проверим, можно ли применить это правило к непривычным записям."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Попробуйте без готового алгоритма определить десятичное значение числа $1011_2$. Не просто назовите ответ, а запишите рассуждение. Что вызывает затруднение?" Учитель принимает разные способы и фиксирует вопрос: «Как переводить числа между системами?» | Решают индивидуально или в паре, записывают варианты $11$ или рассуждение по разрядам, называют затруднение: "Не знаем, какие степени использовать и в каком порядке считать". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какую цель поставим? Какие действия помогут её достичь? Нужно ли изучить только двоичную систему или сравнить её с восьмеричной и шестнадцатеричной?" На доске оформляется план: алфавит и основание — разложение по степеням — алгоритм деления — проверка. | Формулируют цель: "Научиться переводить числа из разных систем в десятичную и обратно". Предлагают план действий и записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нам нужен универсальный способ чтения записи числа и отдельный алгоритм обратного перевода. Переходим к открытию правил."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правила позиционных систем и освоить перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему: "В позиционной системе значение числа равно сумме произведений цифр на степени основания. Для основания $p$ запись $a_na_{n-1}...a_0$ означает $a_n\cdot p^n+...+a_1\cdot p^1+a_0\cdot p^0$. Посмотрите на пример $1011_2$: разряды справа налево имеют веса $1,2,4,8$." | Переписывают схему, называют веса разрядов и вычисляют $1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Переведём $347_8$. Записываем: $3\cdot8^2+4\cdot8^1+7\cdot8^0=192+32+7=231$. Обратите внимание: цифры 3, 4 и 7 допустимы, потому что основание равно 8." | Записывают решение, проговаривают порядок действий и формулируют ответ: "$347_8=231_{10}$". |
2 мин | Учитель показывает таблицу шестнадцатеричных символов: "В шестнадцатеричной системе после 9 используются A, B, C, D, E, F. Рассмотрим $2A_{16}$: $2\cdot16^1+10\cdot16^0=42$. Почему A нельзя считать цифрой 1?" | Используют таблицу, отвечают: "A обозначает десять", записывают $2A_{16}=42_{10}$. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как выполнить обратный перевод, например $13_{10}$ в двоичную систему? Разложение по степеням подходит, но как быстро подобрать цифры?" Показывает последовательное деление на 2 и поясняет правило чтения остатков снизу вверх. | Наблюдают за алгоритмом, называют действия: делить на 2, записывать остаток, продолжать до нуля, читать остатки снизу вверх. |
Запись в тетрадях
Записывают: «В позиционной системе значение цифры зависит от её позиции. Перевод в десятичную систему: разложить число по степеням основания и сложить. Перевод десятичного числа в двоичную: последовательно делить на 2, записывать остатки, прочитать остатки снизу вверх».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два взаимосвязанных алгоритма: разложение по степеням и последовательное деление. Теперь применим их сначала вместе с классом, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать перевод чисел по образцу и научиться объяснять каждый шаг алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Выполните перевод $1101_2$ и $52_8$ в десятичную систему. Один ученик решает, второй контролирует соответствие цифр основанию и порядок степеней. Через две минуты поменяйтесь ролями." | В парах записывают $1101_2=1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1=13$ и $52_8=5\cdot8+2=42$, сверяют вычисления. |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить решение у доски и задаёт вопросы: "Почему справа степень равна нулю? Почему в восьмеричной записи нет цифры 8?" | Представляют решение, отвечают: "Крайний правый разряд имеет вес $p^0=1$"; "цифры должны быть меньше основания". |
2 мин | Учитель предлагает обратный перевод: "Переведите $13_{10}$ в двоичную систему методом деления. Сверьте решение с соседом и выполните обратную проверку." | Делят: $13:2=6$ ост. 1; $6:2=3$ ост. 0; $3:2=1$ ост. 1; $1:2=0$ ост. 1. Читают снизу вверх: $1101_2$, проверяют: $8+4+1=13$. |
Эталон решения
$1101_2=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=8+4+0+1=13_{10}$. Для обратного перевода $13_{10}$: остатки при делении на 2 снизу вверх дают $1101_2$. Проверка: $1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1=13$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы перевели числа в обе стороны и проверили ответы обратным действием. Сейчас каждый выполнит небольшой вариант самостоятельно, а затем сравнит результат с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмами и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Выберите карточку по готовности. Минимум — два перевода в десятичную систему; базовый — три задания; повышенный — задания с анализом ошибки. Выбор уровня не является оценкой ваших способностей: он показывает, какая поддержка нужна сегодня." | Выбирают карточку, подписывают её и читают критерии выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Минимум: $1010_2$, $34_8$. Базовый: $11101_2$, $2F_{16}$ и перевод $25_{10}$ в двоичную систему. Повышенный: найти ошибку в записи $123_8=1\cdot8^2+2\cdot8^1+3=91$ и исправить её объяснением. | Решают индивидуально, записывают степени основания и промежуточные вычисления. Повышенный вариант объясняет, что ошибка — в вычислении: $64+16+3=83$, а не 91. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $1010_2=10$, $34_8=28$, $11101_2=29$, $2F_{16}=47$, $25_{10}=11001_2$, $123_8=83_{10}$. Просит отметить ошибки цветом и заполнить лист самооценки. | Сверяют ответы, исправляют ошибки, отмечают выполненные умения: зелёный — могу сам, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь. |
Эталон решения
$11101_2=1\cdot16+1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1=29$. $2F_{16}=2\cdot16+15=47$. $25_{10}$: $25:2=12$ ост. 1; $12:2=6$ ост. 0; $6:2=3$ ост. 0; $3:2=1$ ост. 1; $1:2=0$ ост. 1, поэтому $25_{10}=11001_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без пошаговой подсказки. Ошибки чаще всего возникают при выборе степени или чтении остатков, поэтому в рефлексии мы отдельно проверим именно эти действия."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно перевести двоичное число в десятичное; жёлтую — если нужен образец; красную — если пока не понимаете, с чего начать. Объясните соседу один шаг алгоритма." | Показывают карточки, формулируют: "Нужно умножить цифру на степень основания" или "При обратном переводе остатки читаются снизу вверх". |
2 мин | Учитель задаёт билет на выход: "Запишите одним предложением, что такое основание системы счисления, и переведите $10101_2$ в десятичную систему. Сдайте листок при выходе." | Пишут: "Основание — количество цифр алфавита системы"; выполняют $10101_2=21_{10}$ и сдают билет. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень, а при уверенности добавьте повышающий или дополнительный. При проверке важны не только ответы, но и запись алгоритма." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за записью числа её основание и переводить числа между системами. Сохраните алгоритмы в тетради: они понадобятся при изучении кодирования информации и представления данных в компьютере."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, указаны основания и степени, обратный перевод $25_{10}$ выполнен без ошибок, результат проверен.
- «4» — верно выполнены основные переводы, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом выбран правильно.
- «3» — выполнены не менее двух базовых переводов, но есть ошибки в степенях, остатках или чтении числа; ученик исправляет их по эталону.
- Ниже базового уровня — работа требует повторного выполнения с опорой на таблицу алфавитов и пошаговый алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое основание системы счисления и как оно связано с алфавитом? | Проверка понимания ключевого определения и связи количества символов с основанием. |
Какой шаг перевода в десятичную систему оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения в выборе степеней и вычислении разрядных слагаемых. |
Почему при переводе десятичного числа в двоичную систему остатки читают снизу вверх? | Проверка осознания логики алгоритма последовательного деления. |
Какое задание вы готовы выполнить самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что число — это не только набор цифр, а запись, подчинённая основанию и правилам системы. Вы научились переводить двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа в десятичную систему и выполнять обратный перевод десятичных чисел в двоичную. Типичная ошибка — забыть, что крайний правый разряд имеет степень ноль или прочитать остатки в прямом порядке. На следующем уроке мы продолжим работать с кодированием чисел и применим системы счисления к представлению данных в компьютере."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 перевода из двоичной и восьмеричной систем в десятичную, используя числа длиной 3–5 цифр; записать разложение по степеням основания. | Закрепляет определение основания, работу с алфавитом и перевод в десятичную систему; проверять правильность степеней и вычислений. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную и перевести 3 целых числа от 0 до 64 из десятичной системы в двоичную методом последовательного деления. | Формирует применение таблицы A–F и устойчивое владение обратным алгоритмом; проверять запись остатков и итоговую проверку. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить таблицу соответствий для чисел от 0 до 31 в десятичной и двоичной системах, а также объяснить, почему одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам. | Развивает моделирование и объяснение связи систем счисления; проверять полноту таблицы и аргументированность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить основание системы по её алфавиту?», «Как перевести $1011_2$ в десятичную систему?», «В каком порядке читаются остатки при переводе из десятичной системы в двоичную?», «Какие символы используются после 9 в шестнадцатеричной системе?»
