Вписанные и описанные четырёхугольники
Цели и задачи
- Цель: формулирование знаний, что четырёхугольник является вписанным или описанным, и применение этих знаний для решения задач базового и повышенного уровней.
- Образовательная задача: вывести свойства и признаки вписанного и описанного четырёхугольника через исследовательскую деятельность.
- Развивающая задача: развивать навыки гипотетико-дедуктивного мышления, умение анализировать геометрические конфигурации в динамической среде (GeoGebra).
- Воспитательная задача: формировать культуру группового взаимодействия и ответственного отношения к принятию коллективных решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Навыки использования ИКТ-средств (динамическая геометрия) для визуализации и проверки гипотез.
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения вписанного и описанного четырёхугольника.
- Владеть теоремой о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника.
- Владеть теоремой о суммах противоположных сторон описанного четырёхугольника.
- Уметь применять данные свойства при решении геометрических задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценности здорового и безопасного образа жизни.
- Развитие эстетического сознания через освоение геометрических форм.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Владение основами самоконтроля и самооценки в процессе выполнения практической работы.
Познавательные УУД
- Давать определение понятиям, создавать обобщения.
- Преобразовывать информацию из одной формы в другую (текст в чертёж, чертёж в формулу).
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров при выработке общего решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить файл в GeoGebra с интерактивными моделями четырёхугольников и окружностей.
- Распечатать карточки для групповой работы (Приложение 1: "Лаборатория исследования сторон", Приложение 2: "Лаборатория исследования углов") — 15 комплектов.
- Проверить работу проектора и ноутбуков для групп.
- Подготовить на доске шаблоны таблиц для фиксации результатов измерений.
- Распечатать листы самооценки для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к исследовательской деятельности и создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы с вами превратимся в детективов-геометров. Перед вами на слайде — логотип известной компании, вписанный в квадрат, и старинный витраж. Скажите, часто ли в жизни мы видим, как одни фигуры тесно обнимают другие?» Учитель демонстрирует слайд с примерами вписанных фигур в архитектуре и дизайне. | Приветствуют учителя, рассматривают изображения на слайде, приводят свои примеры (колесо, мишень, орнаменты). |
2 мин | «Мы уже знаем всё о вписанных и описанных треугольниках. Как вы думаете, если мы возьмём любой четырёхугольник, сможем ли мы так же легко подружить его с окружностью? Всегда ли это возможно? Сегодня мы это выясним сами». | Высказывают предположения: «Наверное, всегда», «Нет, если он слишком вытянутый». Фиксируют в уме вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваши догадки интересны, но в геометрии верят не словам, а доказательствам. Давайте подготовим почву для нашего исследования».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия, необходимые для открытия новых свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним: какая окружность называется вписанной в многоугольник? А какая — описанной? Прошу одного из вас выйти к доске и схематично изобразить окружность, описанную около произвольного четырёхугольника. Где должны лежать его вершины?» | Отвечают: «Вписанная касается всех сторон, описанная проходит через все вершины». Ученик у доски рисует окружность и четырёхугольник, вершины которого лежат на линии окружности. |
2 мин | «Вспомните свойство касательных, проведённых из одной точки. Это нам очень поможет. И ещё: чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?» | Отвечают: «Отрезки касательных равны», «Сумма углов равна 360 градусов». Записывают эти факты в углу тетради как опорные. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Багаж знаний собран. Теперь — к самому интересному. Разделимся на две лаборатории».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (Групповая работа) (15 мин)
Цель этапа: путём эксперимента и измерения выявить закономерности сторон описанного и углов вписанного четырёхугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека. Группы 1-й категории (Лаборатория Углов) получают задание исследовать вписанные четырёхугольники в GeoGebra. Группы 2-й категории (Лаборатория Сторон) — описанные. «Ваша задача: менять форму четырёхугольника, измерять его параметры и найти то, что остаётся неизменным. Результаты занесите в таблицу на карточке». | Распределяют роли в группах: «Координатор», «Измеритель», «Протоколист», «Спикер». Запускают ноутбуки или работают с бумажными моделями и циркулем. |
8 мин | Учитель курсирует между группами, применяя метод Сократовского диалога: «Посмотрите на суммы противоположных углов. Что вы замечаете? А если я сдвину эту вершину? Сумма изменилась?». Для второй группы: «Сложите длины верхней и нижней сторон. Теперь — боковых. Видите магию чисел?» | Проводят измерения. Группа 1 замечает: 110 + 70 = 180, 125 + 55 = 180. Группа 2 замечает: AB + CD = 10, BC + AD = 10. Начинают формулировать гипотезы в группах. |
5 мин | «Время вышло! Прошу спикеров от каждой лаборатории представить свои открытия. Запишем их на доске как гипотезы». Учитель помогает оформить мысли в строгие математические формулировки. | Спикеры выходят к доске. Формулируют: 1) «У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°». 2) «У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны». |
Запись в тетрадях
Теорема 1: В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Теорема 2: В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Теорема 2: В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы совершили открытие! Но помните: в геометрии измерение — это лишь повод для доказательства. Доказательство этих теорем мы проведём, опираясь на свойства вписанных углов и касательных (краткий разбор по учебнику)».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: научиться применять полученные свойства в стандартных ситуациях с опорой на учебник.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на странице 182. Давайте решим задачу №702 устно. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если его углы равны 90, 120, 90 и 60 градусов?» | Проверяют условие: 90 + 90 = 180, 120 + 60 = 180. Отвечают: «Да, можно, так как суммы противоположных углов равны 180 градусам». |
4 мин | «Теперь задача на стороны. Четырёхугольник описан около окружности. Его стороны по порядку равны 5 см, 8 см, 9 см. Чему равна четвёртая сторона?» Учитель вызывает ученика к доске. | Ученик на доске пишет: a + c = b + d. 5 + 9 = 8 + x. 14 = 8 + x. x = 6. Ответ: 6 см. |
Эталон решения
Пусть стороны описанного четырёхугольника $a, b, c, d$. По свойству: $a + c = b + d$.
Дано: $a=5, b=8, c=9$.
$5 + 9 = 8 + d \implies 14 = 8 + d \implies d = 6$ см.
Дано: $a=5, b=8, c=9$.
$5 + 9 = 8 + d \implies 14 = 8 + d \implies d = 6$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, основы вы усвоили. Пришло время проверить себя в одиночку».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала, дифференциация по уровню сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Перед вами карточки с тремя уровнями заданий. Выберите тот, который вам по силам. Зелёный — базовый, Жёлтый — средний, Красный — для профи. У вас 5 минут». | Выбирают уровень и приступают к решению в тетрадях. |
5 мин | Учитель выводит на экран эталоны решений для всех трёх уровней. «Время вышло. Возьмите зелёную ручку и проверьте себя. Если всё верно — ставьте плюс». | Сверяют свои решения с эталоном на слайде. Фиксируют ошибки, если они есть. Заполняют листы самооценки. |
1 мин | «Поднимите руки те, кто выбрал красный уровень и справился? А кто решил жёлтый без ошибок?» | Поднимают руки, демонстрируя уровень успешности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибки — это наши точки роста. Главное, что теперь вы знаете, на что обратить внимание дома».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок-исследование подходит к концу. Давайте вернёмся к нашему вопросу: любой ли четырёхугольник можно вписать в окружность? Теперь мы знаем точный ответ. Используем приём "Билет на выход": напишите на маленьком листке одно самое важное условие, которое вы сегодня открыли, и сдайте мне». | Пишут краткие ответы («Сумма противоположных углов 180», «a+c=b+d») и сдают учителю. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. «Запишите в дневники. Обратите внимание на творческое задание — оно для тех, кто хочет увидеть геометрию в искусстве». | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик активно участвовал в групповом исследовании, верно выполнил самостоятельную работу (уровень средний или профи), не допустил ошибок в формулировках теорем.
- «4» — ученик участвовал в работе группы, выполнил базовый уровень самостоятельной работы без ошибок или средний уровень с 1-й недочётом.
- «3» — ученик выполнил базовый уровень самостоятельной работы с подсказками, ориентируется в определениях, но затрудняется в применении свойств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое из двух свойств (для сторон или для углов) показалось вам более простым и почему? | Выявление субъективной сложности материала для корректировки следующих уроков. |
В какой момент исследования вы почувствовали «ага-эффект» (момент открытия)? | Анализ эмоциональной вовлечённости и эффективности метода открытия. |
Где в реальном мире может пригодиться знание о вписанном четырёхугольнике? | Связь с практикой и функциональной грамотностью. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы не просто выучили параграф, вы прошли путь настоящих учёных: от наблюдения к гипотезе и доказательству. Мы узнали, что окружность — очень капризная фигура, она соглашается дружить только с теми четырёхугольниками, которые соблюдают строгий баланс углов и сторон. На следующем уроке мы узнаем, как эти знания помогают строить идеальные парковые беседки и рассчитывать прочность конструкций. Спасибо за работу, вы — отличная команда!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: §3, п. 72-73, №704, №708. | Выучить формулировки теорем, решить задачи на прямое применение свойств. |
Средний (повышающий) | №712 + доказать свойство вписанного прямоугольника. | Требуется логический вывод: почему любой прямоугольник можно вписать в окружность? |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект: «Геометрия в логотипах». | Найти 3 логотипа известных брендов, где используются вписанные или описанные четырёхугольники, и проверить их свойства измерениями. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Может ли ромб, не являющийся квадратом, быть вписанным в окружность? Подумайте об этом по дороге домой».