Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
Цели и задачи
- Цель (SMART): К концу урока учащиеся смогут формулировать теорему Фалеса, доказывать её основную идею и применять алгоритм деления отрезка на n равных частей для решения как минимум 2-х геометрических задач.
- Образовательная задача: Познакомить с формулировкой и доказательством теоремы Фалеса, а также с понятием пропорциональных отрезков.
- Развивающая задача: Развивать навыки геометрического построения и логического вывода на основе свойств параллельных прямых.
- Воспитательная задача: Формировать культуру графического труда и умение работать в условиях поиска решения (Discovery).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания.
- Развитие готовности к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Воспитание аккуратности при выполнении геометрических чертежей.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулировку и доказательство теоремы Фалеса.
- Уметь делить отрезок на n равных частей с помощью циркуля и линейки.
- Владеть понятием пропорциональных отрезков и уметь применять теорему о пропорциональных отрезках при решении задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Самоопределение: формирование личного (эмоционального) отношения к учебной задаче.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель (чертёж).
- Логические УУД: анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заготовками отрезков (длиной 7 см, 11 см) — 15 шт. (на парту).
- Подготовить демонстрационный циркуль и линейку для работы у доски.
- Загрузить интерактивную модель GeoGebra 'Thales Theorem' на ноутбук.
- Подготовить презентацию со слайдами: 1) Проблема деления; 2) Формулировка теоремы; 3) Историческая справка о Фалесе Милетском.
- Методический ресурс: Учебник 'Геометрия 7-9' (Л.С. Атанасян), методическое пособие 'Поурочные разработки по геометрии 8 класс' (Н.Ф. Гаврилова).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: создать интеллектуальное затруднение, мотивирующее на поиск нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы начнем с практической задачи. Представьте, что вы — дизайнеры интерьера. Вам нужно разделить стену шириной ровно 7 метров на 3 абсолютно равные секции для монтажа панелей. Обычная рулетка дает погрешность, а число 7 не делится на 3 нацело. Как сделать это идеально точно, используя только длинную веревку и знание геометрии?" | Внимательно слушают, представляют ситуацию. Предлагают варианты: 'измерить точнее', 'использовать калькулятор', 'сложить веревку втрое'. |
3 мин | "Идея с веревкой хороша, но как перенести это на чертеж? Попробуйте сейчас в тетрадях разделить отрезок длиной 7 см на 3 равные части с помощью линейки. Получилось ли у вас сделать это абсолютно точно? В чем возникла сложность?" Учитель фиксирует на доске: 'Проблема: как разделить отрезок на n равных частей без вычислений?' | Пробуют делить 7 на 3, получают 2,333... Фиксируют невозможность точного деления по линейке с миллиметровыми делениями. Отвечают: 'Линейка не позволяет отметить доли миллиметра'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы столкнулись с ограничением инструментов. Но геометрия дает нам изящный способ решения. Сегодня мы откроем теорему, которая позволит нам это сделать — теорему Фалеса."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (параллельные прямые, свойства углов), необходимые для доказательства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Прежде чем совершить открытие, проверим наш багаж знаний. Вспомните, какие прямые называются параллельными? Какие углы образуются при пересечении параллельных прямых секущей? Посмотрите на чертеж на слайде и назовите пары равных углов." Учитель показывает слайд с двумя параллельными прямыми и секущей. | Отвечают: 'Прямые, которые не пересекаются'. Называют накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Указывают на чертеже соответственные углы. |
2 мин | "Верно. А теперь вспомните свойства параллелограмма. Что мы знаем о его противоположных сторонах? Это знание нам очень пригодится в доказательстве. Запишите в тетрадях заголовок темы: 'Теорема Фалеса'." | Записывают тему. Вспоминают: 'Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны'. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Багаж собран. Теперь мы готовы к доказательству теоремы, которая связывает параллельность и равенство отрезков."
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: сформулировать теорему Фалеса и рассмотреть алгоритм построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Сформулируем теорему: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки. Давайте нарисуем это. Проведем две произвольные прямые a и b." Учитель чертит на доске. | Рисуют в тетрадях две пересекающиеся прямые. Подписывают их. |
8 мин | "Теперь внимание на алгоритм решения нашей проблемы с 7 см. 1) Из начала отрезка AB проводим луч под углом. 2) На луче циркулем откладываем 3 любых, но РАВНЫХ отрезка. 3) Последнюю точку соединяем с концом B. 4) Через остальные точки проводим прямые, параллельные этой линии. Посмотрите на результат!" Учитель демонстрирует построение. | Выполняют построение вслед за учителем. Используют угольник и линейку для проведения параллельных прямых. Убеждаются визуально, что отрезок AB разделился на 3 равные части. |
Запись в тетрадях
Теорема Фалеса: \( A_1A_2 = A_2A_3 \) и \( A_1B_1 || A_2B_2 || A_3B_3 \) \( ⇒ \) \( B_1B_2 = B_2B_3 \). Алгоритм деления отрезка на n частей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили универсальный инструмент. Неважно, какая длина отрезка — мы можем разделить его на любое количество частей. Но что будет, если отрезки на первой прямой будут не равны, а пропорциональны?"
Этап 4. Введение понятия пропорциональных отрезков (8 мин)
Цель этапа: расширить понимание теоремы до общего случая пропорциональности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Запишите подзаголовок: 'Пропорциональные отрезки'. Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если \( rac{AB}{A_1B_1} = rac{CD}{C_1D_1} \). Теорема о пропорциональных отрезках гласит: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки." | Записывают определение и формулу. Рисуют угол, пересеченный параллельными прямыми. |
4 мин | "Давайте проверим это на практике. Если на одной стороне угла отрезки относятся как 1:2, то в каком отношении они будут на другой стороне? Как вы думаете?" Учитель провоцирует дискуссию. | Предполагают: 'Тоже 1:2', 'Зависит от угла'. После объяснения учителя приходят к выводу, что отношение сохраняется. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Это свойство — фундамент всей геометрии подобия, которую мы будем изучать позже. А сейчас — проверим теорему в деле."
Этап 5. Первичное закрепление и самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: отработать навык деления отрезка и решения задач на пропорциональность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Задание 1: Разделите отрезок длиной 11 см на 5 равных частей. Задание 2: На одной стороне угла отложены отрезки 3 см и 5 см. Через их концы проведены параллельные прямые. Меньший отрезок на второй стороне равен 4,5 см. Найдите второй отрезок." Учитель обходит класс, помогает индивидуально. | Самостоятельно выполняют построение в тетрадях. Решают задачу на пропорциональность. |
5 мин | "Проверьте себя по эталону на доске. В задаче на пропорциональность у вас должно получиться уравнение: \( rac{3}{5} = rac{4,5}{x} \). Чему равен x?" | Проверяют чертежи. Решают уравнение: \( 3x = 22,5 ⇒ x = 7,5 \) см. Сверяют ответы. |
Эталон решения
Задача на пропорциональность: \( rac{OA}{AB} = rac{OA_1}{A_1B_1} ⇒ rac{3}{5} = rac{4,5}{x} ⇒ x = rac{5 ⋅ 4,5}{3} = 7,5 \) (см).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось с вычислениями и чертежами. Это значит, что метод Фалеса вами освоен."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Вспомните нашу задачу с дизайнером. Теперь вы знаете, как разделить стену? Примените ли вы линейку или воспользуетесь 'веревкой Фалеса'? Что на уроке было самым трудным?" Учитель раздает 'Билеты на выход' с одним вопросом: 'Сформулируй условие теоремы Фалеса своими словами'. | Отвечают на вопросы. Заполняют краткие карточки рефлексии. Отмечают, что построение параллельных прямых — самая кропотливая часть. |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно будет дифференцированным — выберите тот уровень, который вам интересен. Спасибо за работу, сегодня вы были настоящими исследователями!" | Записывают задание в дневники, выбирают уровень сложности. |
Критерии оценивания практической работы
- '5' — Отрезок разделен на n равных частей абсолютно точно, все вспомогательные линии построения сохранены, задача на пропорциональность решена верно с записью формулы.
- '4' — Алгоритм деления соблюден, но есть небольшая погрешность в параллельности прямых (до 2 мм), задача на пропорциональность решена верно.
- '3' — Ученик понимает алгоритм, но допустил ошибки в построении или не смог верно составить пропорцию в задаче.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое геометрическое свойство лежит в основе теоремы Фалеса? | Проверка понимания связи между параллельностью и равенством. |
Сможешь ли ты разделить отрезок на 7 частей без калькулятора? | Оценка практической уверенности в методе. |
Где в жизни может пригодиться этот метод? | Развитие функциональной грамотности и связи с реальностью. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы прикоснулись к древней и очень практичной магии геометрии. Теорема Фалеса — это не просто строчки в учебнике, это инструмент, которым пользовались строители пирамид и античных храмов. Если сегодня у вас не идеально получались параллельные линии — не переживайте, это навык, который приходит с практикой. На следующем уроке мы узнаем, как эта теорема помогает находить среднюю линию треугольника. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 61, №556, №557 | Прочитать теорему, выполнить деление отрезка 9 см на 4 части. |
Средний (повышающий) | №558 + задача на карточке | Решить задачу на нахождение неизвестного отрезка в трапеции. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-проект 'Фалес' | Подготовить краткое сообщение о том, как Фалес измерил высоту пирамиды по её тени. |
Контрольный вопрос: Почему важно проводить именно ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые через точки на вспомогательном луче?