Теорема Фалеса. Средняя линия трапеции и пропорциональные отрезки
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понимание теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках, научить применять их при нахождении средней линии трапеции.
- Образовательная задача: Изучить формулировку и доказательство теоремы Фалеса, вывести свойства средней линии трапеции.
- Развивающая задача: Развивать навыки геометрического моделирования, логического мышления и умения работать с чертежом.
- Воспитательная задача: Формировать культуру графического труда и аккуратность при построении геометрических фигур.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критичности мышления при анализе геометрических доказательств.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Навыки смыслового чтения при работе с текстом учебника и выделение главного в теореме.
- Способность организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулировку теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках.
- Уметь делить отрезок на n равных частей с помощью циркуля и линейки.
- Владеть понятием средней линии трапеции и уметь вычислять её длину по основаниям.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение в учебной деятельности на основе понимания практической значимости геометрии.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно ставить цели и планировать пути их достижения.
- Самоконтроль правильности выполнения чертежей и вычислений.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков пропорциональности.
- Построение логической цепи рассуждений при доказательстве свойств трапеции.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою точку зрения при обсуждении этапов построения.
- Адекватное использование речевых средств для дискуссии.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими чертежами (деление отрезка на части).
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 15 комплектов.
- Проверить наличие демонстрационного циркуля, линейки и угольника для работы у доски.
- Открыть учебник (Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9) на странице 101.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на продуктивную работу, создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверьте, чтобы на столах были учебники, тетради, циркуль и линейка — сегодня они нам жизненно необходимы. Готовы? Начнем с загадки: как разделить шоколадку на три равные части, если на ней нет делений, а у вас есть только палочка и песок?" | Приветствуют учителя, проверяют готовность мест. Задумываются над вопросом, предлагают варианты (на глаз, взвесить). |
2 мин | "В древности строителям часто приходилось делить отрезки на равные части без точных инструментов. Сегодня мы узнаем метод, который придумал Фалес Милетский более 2500 лет назад. Этот метод поможет нам не только в делении отрезков, но и в понимании устройства трапеции." | Слушают учителя, записывают дату и тему урока в тетрадь: «Теорема Фалеса. Средняя линия трапеции». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, наша цель сегодня — освоить инструмент Фалеса и применить его к трапеции."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить необходимые понятия (параллельные прямые, трапеция) и выявить дефицит знаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним: какие прямые называются параллельными? Что такое трапеция? Начертите в тетради произвольный отрезок AB длиной 7 см. Попробуйте разделить его на 3 абсолютно равные части, используя только циркуль и линейку без делений. Получится ли у вас это сделать точно?" | Отвечают на вопросы. Пытаются разделить отрезок. Сталкиваются с проблемой: 7 на 3 нацело не делится, линейка с миллиметрами дает погрешность. |
2 мин | "Вижу, что возникло затруднение. Мы не можем точно отметить 2,333... см. В чем причина? Нам не хватает геометрического способа, не зависящего от чисел. Давайте обратимся к теореме Фалеса." | Фиксируют причину затруднения: отсутствие алгоритма точного деления отрезка на n частей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы решить эту задачу, нам нужно изучить свойство параллельных прямых, отсекающих отрезки на сторонах угла."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: изучение теоремы Фалеса и определения средней линии трапеции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Откройте учебник на стр. 101. Найдите формулировку теоремы Фалеса. Прочитайте её про себя. Теперь давайте разберем её вместе. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то что произойдет на второй прямой?" | Читают текст учебника. Отвечают: "На второй прямой отложатся также равные между собой отрезки". Записывают формулировку и чертят схему в тетрадь. |
4 мин | "Теперь применим это к трапеции. Начертите трапецию ABCD. Отметьте середину боковой стороны AB — точку M. Проведите через неё прямую, параллельную основаниям. Где она пересечет сторону CD? Примените теорему Фалеса. Как мы назовем такой отрезок?" | Выполняют чертеж. Анализируют: так как прямые параллельны и AM=MB, то по теореме Фалеса на второй стороне отсекутся равные отрезки (CN=ND). Формулируют определение средней линии трапеции. |
3 мин | "Запишем определение: Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме. Давайте докажем формулу: l = (a + b) / 2." | Записывают определение и формулу в тетрадь. Участвуют в эвристической беседе по доказательству (через разбиение трапеции диагональю на два треугольника). |
Запись в тетрадях
Теорема Фалеса: Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Средняя линия трапеции (MN): MN || AD, MN || BC; MN = (AD + BC) / 2.
Средняя линия трапеции (MN): MN || AD, MN || BC; MN = (AD + BC) / 2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили мощный инструмент. Теперь проверим его в действии на задачах."
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма деления отрезка и применения формулы средней линии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Вернемся к нашей задаче: разделить отрезок 7 см на 3 части. Посмотрите на экран (алгоритм). 1) Проводим луч из конца отрезка под острым углом. 2) Циркулем откладываем на луче 3 равных отрезка произвольной длины. 3) Соединяем последнюю точку с концом нашего отрезка. 4) Проводим параллельные прямые. Попробуйте сами!" | Выполняют построение в тетрадях строго по алгоритму. Контролируют параллельность прямых с помощью угольника и линейки. |
4 мин | "Решим задачу из учебника №384. Основания трапеции равны 7 см и 11 см. Найдите среднюю линию. Кто пойдет к доске?" | Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях. Применяют формулу: (7+11)/2 = 9 см. |
Эталон решения
Дано: трапеция ABCD, AD = 11 см, BC = 7 см. MN — средняя линия.
Найти: MN.
Решение: По свойству средней линии трапеции $MN = \frac{AD + BC}{2}$.
$MN = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ (см).
Ответ: 9 см.
Найти: MN.
Решение: По свойству средней линии трапеции $MN = \frac{AD + BC}{2}$.
$MN = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ (см).
Ответ: 9 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что с базовыми вычислениями вы справляетесь. Усложним задачу."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы, дифференциация обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Раздаю карточки. У вас есть выбор: уровень А (базовый), Б (средний) или В (повышенный). Выберите один и решите за 5 минут. На карточках задачи на нахождение оснований по средней линии и деление отрезка." | Выбирают уровень сложности. Самостоятельно решают задачи. Уровень А: найти l, если a=5, b=9. Уровень Б: найти a, если l=10, b=4. Уровень В: задача на пропорциональные отрезки в трапеции. |
2 мин | "Время вышло. Откройте следующий слайд с ответами. Проверьте себя. Если всё верно — поставьте себе '+' на полях. Если есть ошибка — обведите её в кружок, мы разберем её позже." | Сверяют свои решения с эталоном на экране. Проводят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите руки те, кто выбрал уровень Б и справился без ошибок. Молодцы!"
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, фиксация результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Наш урок подходит к концу. Вспомните нашу шоколадку. Теперь вы знаете, как её разделить? Какой приём мы использовали для самопроверки? Заполните короткую анкету на листах самооценки." | Отвечают на вопросы. Заполняют листы самооценки (что узнал, что было трудно). |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Обратите внимание на творческий пункт для тех, кто хочет '5'. Спасибо за работу!" | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно выполнен чертеж деления отрезка на 5 частей, правильно решены 2 задачи на среднюю линию трапеции (включая обратную задачу), работа оформлена аккуратно.
- "4" — Допущена одна неточность в построении или одна вычислительная ошибка в задаче, при этом алгоритм решения верный.
- "3" — Верно решена только базовая задача на нахождение средней линии по формуле, деление отрезка выполнено с существенными нарушениями алгоритма параллельности.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В каком шаге алгоритма деления отрезка можно допустить самую опасную ошибку? | Осознание важности точности построения параллельных прямых. |
Как изменится средняя линия, если одно основание увеличить на 2 см, а другое уменьшить на 2 см? | Проверка понимания формулы и зависимости величин. |
Где в реальной жизни может пригодиться теорема Фалеса? | Связь геометрии с практикой (дизайн, строительство, навигация). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы прикоснулись к мудрости античности. Теорема Фалеса — это не просто строчки в учебнике, а фундамент для подобия треугольников, которое мы начнем изучать совсем скоро. Помните: в геометрии точность чертежа — это половина успеха. Если сегодня у кого-то прямые не вышли параллельными, не расстраивайтесь: это навык, который приходит с практикой. На следующем уроке мы узнаем, как эти знания помогают измерять высоту пирамид по их тени."
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 45, №385, №386 | Выучить теорему Фалеса, решить задачи на нахождение средней линии. |
Средний (повышающий) | №387, №389 | Задачи на нахождение периметра трапеции через её среднюю линию. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Подготовить мини-доклад или презентацию (3 слайда) о жизни Фалеса Милетского и его открытиях. |
Контрольный вопрос: Может ли средняя линия трапеции быть короче обоих её оснований? Почему?