Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция»
Цели и задачи
- Цель: совершенствование навыков применения свойств и признаков параллелограмма и трапеции при решении вычислительных и доказательных задач повышенной сложности.
- Образовательная задача: закрепить умение использовать свойства биссектрисы угла параллелограмма, средней линии треугольника и трапеции, а также теорему Фалеса.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через построение цепочек доказательств и анализ геометрических конфигураций.
- Воспитательная задача: формировать культуру математической речи и графическую грамотность при выполнении чертежей.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно и точно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие критического мышления при анализе правильности решения задач.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Способность выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от условий.
- Владение навыками самоконтроля и коррекции своих действий.
Предметные
- Знать определения, свойства и признаки параллелограмма, трапеции (в том числе равнобедренной и прямоугольной).
- Уметь находить периметр и углы фигур, используя свойства биссектрис и высот.
- Владеть приемами доказательства параллельности отрезков через признаки параллелограмма.
- Уметь применять теорему Фалеса и свойства средних линий для решения комбинированных задач.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (5 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к интенсивной практической работе, создать проблемную ситуацию через реальный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте! Сегодня у нас необычный урок — урок-практикум. Мы не будем изучать новую теорию, мы будем превращать знания в инструмент. Посмотрите на экран (слайд с рис. 194 из учебника). Перед вами два колеса тепловоза. Стержень AB передает движение. Как вы думаете, почему он всегда остается параллельным линии центров колес? Геометрия здесь — это не просто буквы на бумаге, а залог того, что поезд не сойдет с рельсов». | Слушают учителя, рассматривают изображение колес тепловоза на экране. Высказывают предположения о том, что четырехугольник $O_1ABO_2$ является параллелограммом. |
3 мин | «Сегодня мы разберем задачи разного уровня сложности: от классических расчетов до доказательств, которые легли в основу инженерных расчетов. Наша задача — решить максимум задач из предложенного списка, работая вместе. Откройте тетради, запишите дату и тему урока: "Практикум по решению задач: параллелограмм и трапеция"». | Записывают дату и тему урока в тетради. Настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Прежде чем переходить к сложным механизмам, давайте проверим наш "багаж" инструментов — вспомним основные свойства фигур».
Этап 2. Актуализация опорных знаний (10 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти ключевые свойства параллелограмма и трапеции, необходимые для решения задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте быстро пройдемся по фактам. Чему равна сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма? Как называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции? Почему биссектриса угла параллелограмма всегда отсекает от него равнобедренный треугольник? Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом, имея только данные о его диагоналях?» | Отвечают на вопросы. «Сумма равна 180 градусам». «Средняя линия». «При пересечении параллельных сторон биссектрисой образуются накрест лежащие углы, которые равны...». «Если диагонали точкой пересечения делятся пополам». |
5 мин | «Посмотрите на задачу №476 (а, б). Устно: если угол A равен $84^\circ$, чему равны остальные углы? А если разность углов A и B равна $55^\circ$, как мы составим уравнение?» Учитель фиксирует схему уравнения на доске: $x + (x + 55) = 180$. | Устно вычисляют: $\angle C = 84^\circ, \angle B = \angle D = 180 - 84 = 96^\circ$. Для пункта (б) диктуют уравнение: $2x = 125, x = 62.5^\circ$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Инструменты проверены, переходим к практике на бумаге. Работаем с задачей №474».
Этап 3. Практический блок: Параллелограмм (25 мин)
Цель этапа: отработать применение свойств биссектрисы и высоты параллелограмма в вычислительных задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Задача №474. Биссектриса угла A пересекает BC в точке K. $BK=15$ см, $KC=9$ см. Найдите периметр. Кто готов пойти к доске сделать чертеж? Помните про свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых». Учитель направляет ученика у доски вопросами: «Какой треугольник получился? Почему он равнобедренный?» | Ученик у доски строит чертеж. Класс записывает «Дано» и «Решение». Ученик доказывает, что $\angle BAK = \angle KAD$ (биссектриса) и $\angle BKA = \angle KAD$ (накрест лежащие), следовательно $AB=BK=15$ см. $BC = 15+9=24$ см. $P = 2(15+24)=78$ см. |
15 мин | «Теперь усложним. Задача №477. Здесь у нас и перпендикуляр, и угол в $30^\circ$. Вспомните свойство катета, лежащего против угла в $30^\circ$. 2 минуты думаем сами, 3 минуты обсуждаем с соседом, затем проверяем на доске». Учитель проходит по рядам, контролируя процесс. | Работают в парах. В треугольнике $MNH$: $\angle MNH = 30^\circ, \angle H = 90^\circ \Rightarrow \angle M = 60^\circ$. Находят катет $MH=3$, значит гипотенуза $MN = 6$ см. $MQ = MH+HQ = 3+5=8$ см. Углы: $60^\circ$ и $120^\circ$. |
Эталон решения задачи №477
1. В $\triangle MNH$ ($\angle H=90^\circ$): $\angle M = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Катет $MH = 3$ см лежит против угла $30^\circ$? Нет, против $30^\circ$ лежит $MH$ в условии? Нет, $\angle MNH=30^\circ$, значит $MH$ — катет против него. $MN = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6$ см.
3. $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см.
4. Стороны: 6 см и 8 см. Углы: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.
2. Катет $MH = 3$ см лежит против угла $30^\circ$? Нет, против $30^\circ$ лежит $MH$ в условии? Нет, $\angle MNH=30^\circ$, значит $MH$ — катет против него. $MN = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6$ см.
3. $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см.
4. Стороны: 6 см и 8 см. Углы: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, как свойства треугольников помогают решать задачи на параллелограмм. Теперь перейдем к более абстрактным фигурам — средним линиям».
Этап 4. Практический блок: Средние линии и доказательства (20 мин)
Цель этапа: разобрать применение теоремы Вариньона и свойств средней линии треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Задача №486. Это знаменитая теорема Вариньона. Докажите, что середины сторон любого четырехугольника — это вершины параллелограмма. Подсказка: проведите диагональ исходного четырехугольника. Что вы видите?» Учитель рисует на доске произвольный четырехугольник и отмечает середины сторон. | Ученики делают чертеж. Проводят диагональ $AC$. Замечают, что отрезки, соединяющие середины сторон, являются средними линиями треугольников $ABC$ и $ADC$. Делают вывод: они параллельны $AC$ и равны ее половине, значит, параллельны и равны между собой. |
10 мин | «Задача №487. Диагональ равнобедренной трапеции равна $a$. Найдите периметр четырехугольника, образованного серединами сторон этой трапеции. Используйте результат предыдущей задачи». | Ученики применяют теорему Вариньона. Понимают, что стороны нового четырехугольника равны половине диагоналей трапеции. Так как диагонали равнобедренной трапеции равны ($a$), то все стороны нового четырехугольника равны $a/2$. Периметр $P = 4 \cdot (a/2) = 2a$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Красота геометрии в том, что сложная фигура часто распадается на простые треугольники. Последний рывок — трапеция».
Этап 5. Практический блок: Трапеция и задачи на построение (20 мин)
Цель этапа: отработать свойства углов трапеции и познакомиться с алгоритмом построения фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Задача №490. Углы A и C трапеции даны: $36^\circ$ и $117^\circ$. Найдите углы B и D. Какие углы в трапеции в сумме дают $180^\circ$? Только те, что прилежат к боковой стороне! Не перепутайте с параллелограммом». | Решают задачу: $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$. $\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$. Записывают ответ. |
10 мин | Задача №491 и 492 (ввести как новый материал) | Слушают учителя, отвечают на вопросы, делают записи в тетрадях |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы успели разобрать основные типы задач. Вы отлично поработали в парах и у доски».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (10 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень усвоения материала и дать инструкции по выполнению домашнего задания.
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство параллелограмма сегодня «спасало» нас чаще всего? | Осознание наиболее универсальных методов решения. |
В какой задаче вы почувствовали самое большое затруднение и почему? | Выявление «зон роста» и типичных ошибок. |
Сможете ли вы теперь объяснить, почему стержень колес тепловоза параллелен рельсам? | Проверка понимания прикладного аспекта темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы с вами провели большую работу. Мы увидели, что параллелограмм и трапеция — это не просто фигуры из учебника, а основа для инженерной мысли и логических построений. Особенно порадовало, как вы справились с теоремой Вариньона — это уже уровень серьезной геометрии. Спасибо за урок, вы молодцы!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый | №475, №493 | Задачи на периметр параллелограмма и углы равнобедренной трапеции. Отработка базовых формул. |
Средний | №483, №495 (а) | Доказательство свойств параллелограмма и расчет сторон прямоугольной трапеции с углом $60^\circ$. |
Продвинутый | №494 | Творческое задание: доказать, что из равнобедренных трапеций можно составить паркет. Требуется графическое обоснование. |