Многоугольники: сумма углов и количество диагоналей. Повторение признаков параллельности прямых
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут самостоятельно выводить и применять формулу количества диагоналей многоугольника, а также воспроизводить признаки параллельности прямых для решения геометрических задач.
- Образовательная задача: Актуализировать знания о выпуклых многоугольниках и сумме их углов; изучить вывод формулы количества диагоналей n-угольника.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления, умение анализировать закономерности и переходить от частных случаев к общему виду (индукция).
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в ходе дискуссии.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления через анализ собственных ошибок при выводе формул.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения многоугольника, выпуклого многоугольника, диагонали.
- Владеть формулой суммы углов выпуклого n-угольника: (n-2) * 180°.
- Уметь выводить и применять формулу количества диагоналей: d = n(n-3)/2.
- Свободно оперировать признаками и свойствами параллельных прямых.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (5 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учащихся к восприятию сложной темы через осознание практической значимости геометрии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня у нас сдвоенный урок, а значит, мы успеем не только совершить маленькое открытие в мире многоугольников, но и укрепить наш фундамент (заложенный в 7 классе) — знания о параллельных прямых. Посмотрите на окружающие нас предметы: рамы окон, плитка на полу, грани этого системного блока. Что их объединяет? Это многоугольники. Но задумывались ли вы, сколько диагоналей нужно архитектору, чтобы рассчитать жесткость конструкции моста или купола стадиона?» | Слушают учителя, настраиваются на работу. Ученики предлагают варианты: «Чтобы конструкция не деформировалась», «Для красоты», «Для расчета материалов». |
3 мин | «Сегодня мы научимся не просто считать диагонали, а выведем универсальный закон, который работает для любой фигуры — от четырехугольника до стоугольника. Но прежде чем идти вперед, нам нужно убедиться, что наш багаж знаний на месте. Откройте тетради, запишите число и тему урока: "Многоугольники. Сумма углов и количество диагоналей".» | Записывают дату и тему урока в тетради. Проверяют наличие линеек и карандашей на столах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, цели поставлены. Начнем с ревизии того, что мы уже знаем о многоугольниках из предыдущего материала.»
Этап 2. Актуализация опорных знаний (15 мин)
Цель этапа: повторить базовые определения и формулу суммы углов выпуклого многоугольника, используя текст учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте обратимся к нашему учебнику. Откройте страницу, где дается определение многоугольника. Кто готов зачитать и объяснить своими словами, что такое многоугольник и его вершины? Чем отличается соседние вершины от несоседних?» Учитель рисует на доске произвольную замкнутую ломаную и просит классифицировать её. | Один ученик читает определение из учебника. Другие дополняют: «Соседние вершины — это концы одной стороны. Несоседние — те, что не лежат на одной стороне». Подтверждают, что фигура на доске является многоугольником. |
5 мин | «Теперь самый важный вопрос: какой многоугольник мы называем выпуклым? Посмотрите на рисунки в учебнике. Как проверить выпуклость с помощью прямой, проходящей через сторону?» Учитель рисует выпуклый пятиугольник и невыпуклый («бумеранг»). | Ученики формулируют: «Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его стороны». Один ученик выходит к доске и проводит прямые через стороны обеих фигур, демонстрируя разницу. |
5 мин | «Вспомните, что мы называем диагональю многоугольника? И самое главное: по какой формуле мы вычисляем сумму углов выпуклого n-угольника? Давайте проверим её для треугольника и четырехугольника.» | Отвечают: «Диагональ — это отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины». Записывают в тетрадях формулу S = (n - 2) * 180°. Проверяют: для n=3, S=180°; для n=4, S=360°. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Многоугольник — фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные не имеют общих точек.
- Выпуклый многоугольник: весь лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.
- Диагональ: отрезок, соединяющий несоседние вершины.
- Сумма углов выпуклого n-угольника: (n - 2) * 180°.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «База готова. Мы вспомнили, как считать углы. Но как быть с линиями внутри фигуры? Переходим к проблеме.»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (7 мин)
Цель этапа: создать интеллектуальный запрос на поиск формулы количества диагоналей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Ребята, давайте проведем небольшой эксперимент. Начертите в тетрадях треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник. Проведите в них все возможные диагонали и посчитайте их количество. Заполните маленькую таблицу: n (число вершин) и d (число диагоналей).» | Чертят фигуры. Считают: треугольник — 0 диагоналей, четырехугольник — 2, пятиугольник — 5, шестиугольник — 9. |
4 мин | «А теперь представьте, что нам нужно найти количество диагоналей у 20-угольника. Или у 100-угольника. Будем ли мы их рисовать? Конечно, нет. В чем наша проблема? Нам не хватает формулы. Как вы думаете, какова цель нашей следующей части урока?» | Ученики осознают трудоемкость ручного подсчета. Формулируют цель: «Найти или вывести формулу, которая позволит быстро вычислить количество диагоналей любого многоугольника, зная только число его вершин». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Наша задача — стать на время математиками-исследователями и вывести эту формулу самостоятельно.»
Этап 4. Открытие нового знания: вывод формулы (10 мин)
Цель этапа: используя логические рассуждения, вывести формулу d = n(n-3)/2.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте рассуждать логически. Возьмем n-угольник. Выберем одну любую вершину. Со сколькими другими вершинами мы можем соединить её, чтобы получилась диагональ? Помните определение: диагональ соединяет несоседние вершины. Значит, из общего числа вершин n мы должны вычесть саму эту вершину и двух её соседей. Сколько остается?» | Ученики анализируют чертеж пятиугольника: «Из вершины А нельзя провести диагональ в А, в В и в Е. Остается две вершины». Делают общий вывод: «Из каждой вершины можно провести (n - 3) диагонали». |
2 мин | «Отлично. У нас всего n вершин. Из каждой выходит (n - 3) диагонали. Сколько всего концов у этих отрезков? Логично предположить, что n * (n - 3). Но посмотрите на диагональ AC. Мы её посчитали, когда выходили из вершины А. А когда мы считали диагонали из вершины С, мы её снова посчитали? Что это значит для нашей итоговой суммы?» | Дискутируют. Приходят к выводу: «Каждую диагональ мы посчитали дважды, так как у любого отрезка два конца. Значит, полученное произведение нужно разделить на два». |
5 мин | «Запишем итоговую формулу: d = n(n - 3) / 2. Давайте проверим её на наших данных из таблицы. Для шестиугольника: 6 * (6 - 3) / 2 = 6 * 3 / 2 = 9. Совпало? Работает ли формула для треугольника?» | Проверяют формулу для n=3: 3 * (3 - 3) / 2 = 0. Радуются, что формула работает. Записывают вывод в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь в вашем арсенале есть мощный инструмент. Давайте испытаем его на практике, решая задачи из учебника.»
Этап 5. Первичное закрепление (30 мин)
Цель этапа: отработка применения формул суммы углов и количества диагоналей при решении задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Работаем с №470. Решите задачу. Кто пойдет к доске?» Учитель следит за оформлением: Дано, Найти, Решение. | Ученик у доски решает. Класс записывает решение. |
5 мин | «А теперь задача на нашу новую формулу. Сколько диагоналей у выпуклого двенадцатиугольника? Решаем коллективно.» | Решают: 12 * (12 - 3) / 2 = 6 * 9 = 54 диагонали. |
18 мин | Работаем с № 467, 468 (обсудить сумму углов выпуклого четырехугольника) | Решат задачи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы отлично справились с многоугольниками. Вторая часть нашего занятия посвящена повторению темы, без которой немыслима геометрия 8 класса — параллельности прямых.»
Этап 6. Повторение: Параллельные прямые (20 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о признаках параллельности прямых и углах при секущей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Вспомните 7 класс. Две прямые на плоскости называются параллельными, если... ? Правильно, если они не пересекаются. А как мы можем доказать их параллельность, не уходя в бесконечность? Какие углы образуются при пересечении двух прямых третьей — секущей?» Учитель чертит две прямые a и b, секущую c, нумерует углы от 1 до 8. | Ученики называют пары углов: «Накрест лежащие (3 и 5, 4 и 6), соответственные (1 и 5, 2 и 6...), односторонние (4 и 5, 3 и 6)». |
5 мин | «Сформулируйте три признака параллельности прямых. | Ученики по очереди формулируют признаки: 1) Если накрест лежащие углы равны; 2) Если соответственные углы равны; 3) Если сумма односторонних углов равна 180°. Приводят примеры по чертежу на доске. |
10 мин | «Давайте решим задачи со слайда" | Отвечают: «В первом случае да, так как соответственные углы равны. Во втором нет, так как сумма односторонних 120+70=190°, а должна быть 180°». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Эти признаки — ваш главный инструмент в доказательствах. Не забывайте их, они встретятся нам в каждой теме 8 и 9 класса.»
Этап 7. Рефлексия (5 мин)
Цель этапа: осознание учениками своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая часть вывода формулы количества диагоналей показалась вам самой сложной? | Выявление логических затруднений в понимании комбинаторики (почему делим на 2). |
Сможете ли вы теперь без подсказки учебника найти сумму углов 10-угольника? | Проверка усвоения базовой формулы (n-2)*180. |
Какой из признаков параллельности прямых вы помните лучше всего? | Диагностика остаточных знаний по курсу 7 класса. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Мы не просто выучили готовую формулу, а прошли путь исследователей, открыв закономерность количества диагоналей. Это и есть настоящая математика — видеть систему там, где другие видят просто набор линий. Повторение параллельных прямых напомнило нам, что геометрия — это здание, которое строится этаж за этажом. Если фундамент крепок, то и новые темы будут даваться легко. Спасибо за урок, вы сегодня отлично потрудились!»