Комбинация параллелограмма и вписанной окружности
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие вписанности окружности в параллелограмм, а также применять его для решения задач на нахождение сторон и радиуса.
- Образовательная задача: Вывести свойство описанного четырехугольника и доказать, что вписанный в окружность параллелограмм является ромбом.
- Развивающая задача: Развивать навыки аналитического мышления через использование динамических геометрических моделей (ИКТ) и умение аргументировать свою позицию в паре.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и аккуратность при выполнении геометрических построений.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Развитие критического мышления через анализ собственных гипотез.
- Умение вести конструктивный диалог с одноклассниками в процессе совместной деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно ставить цели обучения и планировать пути их достижения.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность в парах.
Предметные
- Знать теорему о суммах противоположных сторон описанного четырехугольника.
- Уметь доказывать, что если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм — ромб.
- Владеть навыком нахождения радиуса вписанной окружности через высоту ромба.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Волевая саморегуляция при возникновении затруднений в решении.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в учебнике.
- Моделирование геометрических объектов в цифровой среде (GeoGebra).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить файл в программе GeoGebra с динамическим параллелограммом и окружностью.
- Распечатать карточки для парной работы (3 уровня сложности) — по 8 комплектов на класс.
- Проверить исправность проектора и ноутбука.
- Заготовить на доске чертеж произвольного четырехугольника для актуализации знаний.
- Учебник: Геометрия 7–9 класс (Л.С. Атанасян и др.), открыть на стр. 182.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к общению и создать ситуацию успеха через визуальный 'крючок'.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «"Здравствуйте, друзья! Садитесь. Сегодня мы будем работать в роли исследователей-геометров. Посмотрите на экран. Перед вами логотипы известных брендов и элементы архитектуры. Что общего между ними с точки зрения геометрии?"» Учитель показывает слайд с ромбовидными орнаментами и вписанными в них кругами. | Рассматривают изображения, отвечают: «"Везде используются четырехугольники и круги внутри них"», «"Это похоже на вписанные окружности"». |
2 мин | «"Верно. Но задумывались ли вы, в любой ли параллелограмм можно вписать круг? Например, в дизайн-проекте окна или логотипа? Сегодня мы это выясним. Откройте тетради, запишите дату и тему: 'Параллелограмм и вписанная окружность'."» | Записывают дату и тему урока в тетради. Настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Чтобы разгадать этот секрет, нам нужно вспомнить, что мы уже знаем об окружностях, 'живущих' внутри многоугольников."»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти базовые свойства параллелограмма и определение вписанной окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «"Давайте проведем блиц-опрос. Какие свойства сторон параллелограмма вы знаете?"», «"Какая окружность называется вписанной в многоугольник?"», «"Где лежит центр вписанной окружности?"» | Отвечают: «"Противоположные стороны равны и параллельны"», «"Окружность, которая касается всех сторон многоугольника"», «"В точке пересечения биссектрис углов"». |
2 мин | Учитель рисует на доске произвольный четырехугольник ABCD и вписанную в него окружность. «"Вспомните свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Что можно сказать о суммах сторон AB + CD и BC + AD?"» | Вспоминают свойство (или находят в учебнике): «"Суммы длин противоположных сторон равны"». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Отлично! Мы вспомнили фундаментальное правило: в четырехугольник можно вписать окружность только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Теперь применим это к нашему главному герою — параллелограмму."»
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: через ИКТ-инструмент продемонстрировать невозможность вписать окружность в произвольный параллелограмм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель открывает GeoGebra. На экране — параллелограмм с меняющимися сторонами. Учитель пытается «втиснуть» окружность внутрь вытянутого параллелограмма. «"Посмотрите, я меняю длину сторон. Почему окружность касается только двух сторон, а до остальных не достает или выходит за границы? Попробуйте сформулировать проблему."» | Наблюдают за деформацией фигуры. Формулируют проблему: «"Не в каждый параллелограмм можно вписать окружность. Нужно понять, каким именно он должен быть"». |
2 мин | «"Верно. Итак, наша задача на сегодня — вывести математическое условие. Давайте выдвинем гипотезу. Как вы думаете, какой параллелограмм 'согласится' принять в себя окружность?"» | Выдвигают гипотезы: «"Наверное, это квадрат"», «"Может быть, ромб"». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Гипотезы есть. Настало время доказательств. Переходим в режим исследователей."»
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: математически доказать, что вписанный в окружность параллелограмм — это ромб.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «"Работаем по алгоритму. Пусть ABCD — параллелограмм, в который вписана окружность. Обозначим стороны AB = a, BC = b. Чему равны стороны CD и AD?"» Учитель записывает на доске: AB=a, BC=b, CD=?, AD=?. «"Теперь примените свойство описанного четырехугольника, которое мы вспомнили в начале урока."» | Отвечают: «"CD = a, AD = b, так как у параллелограмма противоположные стороны равны"». Записывают в тетрадь уравнение: $a + a = b + b$ или $2a = 2b$. |
5 мин | «"Какой вывод следует из уравнения 2a = 2b? Что это говорит нам о сторонах параллелограмма?"» Учитель помогает достроить логическую цепь: «"Если все стороны параллелограмма равны, то как называется такая фигура?"» | Делают вывод: «"a = b. Значит, все стороны равны"». Радостно восклицают: «"Это ромб!"». Записывают теорему: «"Если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм — ромб"». |
Запись в тетрадях
1. Свойство: В четырехугольник можно вписать окружность $\Leftrightarrow a+c=b+d$.
2. Для параллелограмма: $a+a=b+b \Rightarrow 2a=2b \Rightarrow a=b$.
3. Вывод: Параллелограмм, в который вписана окружность — это ромб.
4. Радиус: $r = h/2$ (где $h$ — высота ромба).
2. Для параллелограмма: $a+a=b+b \Rightarrow 2a=2b \Rightarrow a=b$.
3. Вывод: Параллелограмм, в который вписана окружность — это ромб.
4. Радиус: $r = h/2$ (где $h$ — высота ромба).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы только что доказали важную теорему. Теперь мы знаем: если видим в задаче фразу 'в параллелограмм вписана окружность', мы сразу понимаем, что перед нами ромб. Давайте проверим это на практике."»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение нового знания на стандартной задаче из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «"Откройте учебник на странице 182, задача №695. Прочитайте условие. Кто готов прокомментировать первый шаг решения?"» Учитель вызывает одного ученика к доске для оформления краткой записи и чертежа. | Читают: 'Периметр параллелограмма, описанного около окружности, равен 24 см. Найдите его стороны'. Ученик у доски пишет: «"Так как в параллелограмм вписана окружность, то это ромб. У ромба все стороны равны. $P = 4a = 24$. Значит, $a = 6$ см"». |
Эталон решения
Дано: ABCD — параллелограмм, окр(O, r) вписана. $P = 24$ см.
Найти: AB, BC, CD, AD.
Решение:
1) Т.к. в параллелограмм вписана окружность, то ABCD — ромб (по доказанному).
2) У ромба $AB = BC = CD = AD$.
3) $P = 4 \cdot AB = 24 \Rightarrow AB = 6$ см.
Ответ: 6 см, 6 см, 6 см, 6 см.
Найти: AB, BC, CD, AD.
Решение:
1) Т.к. в параллелограмм вписана окружность, то ABCD — ромб (по доказанному).
2) У ромба $AB = BC = CD = AD$.
3) $P = 4 \cdot AB = 24 \Rightarrow AB = 6$ см.
Ответ: 6 см, 6 см, 6 см, 6 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"С базовой задачей справились легко. А теперь — испытание для настоящих профи. Работаем в парах."»
Этап 6. Самостоятельная работа в парах (8 мин)
Цель этапа: дифференциация обучения и развитие навыков сотрудничества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «"На ваших столах лежат карточки трех цветов. Зеленая — база, желтая — средний уровень, красная — повышенный. Обсудите с напарником и выберите ОДНУ карточку, которую вы решите вместе за 5 минут. Время пошло!"» | Обсуждают в парах, выбирают уровень сложности. Распределяют роли (кто чертит, кто вычисляет). |
5 мин | Учитель курсирует по классу, консультирует пары, использующие 'желтые' и 'красные' карточки. «"Помните, что радиус окружности — это половина высоты ромба. Как высота связана с площадью?"» | Решают задачи. Записывают решение в одну тетрадь на двоих. Используют приемы взаимопомощи. |
2 мин | «"Стоп! Обменяйтесь тетрадями с соседней партой. На экране — ответы и краткие решения для всех уровней. Проверьте работу товарищей по принципу 'две звезды и одно пожелание'."» | Проводят взаимопроверку по эталону на слайде. Пишут короткий отзыв на полях. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Вижу много зеленых отметок — значит, большинство пар справились. Те, у кого возникли вопросы по 'красным' задачам, подойдите на перемене или разберем их в начале следующего урока."»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «"Наше исследование подходит к концу. Подведем итоги. Я буду начинать фразу, а вы — хором заканчивать. Параллелограмм, в который вписана окружность — это..."», «"Радиус этой окружности равен половине..."» | Отвечают хором: «"Ромб!"», «"Высоты!"». Затем заполняют индивидуальные листы самооценки (прием 'Светофор'). |
3 мин | «"Запишите домашнее задание. Оно тоже на выбор, как и наши карточки сегодня. И не забудьте про творческий бонус!"» Учитель поясняет пункты ДЗ. | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно решена задача высокого или среднего уровня, решение логически обосновано, чертеж выполнен аккуратно с указанием всех элементов.
- «4» — Верно решена задача базового уровня без ошибок или среднего уровня с одной вычислительной ошибкой при верном ходе рассуждения.
- «3» — Решена задача базового уровня, но допущены неточности в формулировках свойств или оформлении чертежа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое математическое открытие ты сделал сегодня сам? | Осознание субъектности в обучении (discovery method). |
В какой момент урока тебе понадобилась помощь напарника? | Выявление коммуникативных дефицитов и оценка парной работы. |
Сможешь ли ты объяснить младшему брату, почему в школьную тетрадь в клетку нельзя вписать одну большую окружность? | Проверка понимания связи теории с практикой (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
«"Сегодня вы отлично поработали. Мы не просто выучили формулу, а прошли путь от визуальной догадки до строгого доказательства. Помните: в геометрии, как и в жизни, гармония (вписанная окружность) требует определенной симметрии и равенства (сторон ромба). На следующем уроке мы проверим, работает ли это правило в обратную сторону — для описанных окружностей. Всем спасибо, урок окончен!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №696, №697 | Задачи на прямое применение свойства сторон описанного четырехугольника. |
Средний (повышающий) | Учебник, №700 + доп. вопрос | Найти радиус вписанной окружности, если известны диагонали ромба (12 и 16 см). |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект в GeoGebra | Создать апплет, который автоматически вычисляет площадь ромба по радиусу вписанной окружности и углу. |
Контрольный вопрос: «Как изменится радиус вписанной окружности, если все стороны ромба увеличить в 3 раза, не меняя его углы?»