Четырёхугольник и его элементы. Сумма углов четырёхугольника
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут дать определение четырёхугольника, назвать его элементы и самостоятельно вывести формулу суммы углов выпуклого четырёхугольника, применив её для решения задач.
- Образовательные: ввести понятия «четырёхугольник», «выпуклый/невыпуклый», «диагональ»; доказать теорему о сумме углов четырёхугольника.
- Развивающие: развивать навыки логического мышления, умение проводить аналогии и классифицировать объекты, формировать навыки исследовательской деятельности.
- Воспитательные: воспитывать культуру математической речи, умение работать в паре и аргументированно отстаивать свою точку зрения.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления через анализ геометрических конструкций.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения и устанавливать аналогии.
- Навыки смыслового чтения при работе с текстом учебника и условиями задач.
- Способность организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение четырёхугольника, его вершин, сторон и диагоналей.
- Уметь различать выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.
- Владеть доказательством теоремы о сумме углов четырёхугольника и применять её при решении вычислительных задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (понимание значимости геометрии в архитектуре и дизайне).
- Смыслообразование (установление связи между целью изучения и её практическим применением).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё предстоит узнать.
- Планирование последовательности действий при доказательстве теоремы.
Познавательные УУД
- Моделирование (построение чертежей четырёхугольников).
- Логические действия (анализ свойств фигур, синтез знаний о треугольниках для изучения четырёхугольников).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску и мел двух цветов (если есть); заранее записать тему урока и план действий.
- Подготовить на доске или в тетради несколько простых изображений четырёхугольников: квадрат, прямоугольник, трапецию и вогнутый четырёхугольник.
- Подготовить крупную запись алгоритма решения задач: 1) выписать сумму углов; 2) подставить известные углы; 3) выполнить вычисления; 4) записать ответ с пояснением.
- Заранее продумать короткие вопросы для устного опроса и примеры для решения у доски; карточки, презентация и раздаточный материал не используются.
- Проверить наличие у учеников тетрадей, ручек, линеек и карандашей. Транспортир для урока не требуется.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и заинтересовать учеников через визуальный образ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель приветствует класс и рисует на доске несколько простых фигур: квадрат, прямоугольник, треугольник и произвольный четырёхугольник. Затем говорит: «Здравствуйте, восьмиклассники! Посмотрите на рисунки. Какие геометрические фигуры вы узнали? Какая фигура имеет четыре стороны и четыре угла? Где в окружающих нас предметах можно встретить такие формы?» После ответов учитель задаёт загадку: «У неё 4 угла, 4 вершины, и она не всегда квадрат. О чём речь?» При необходимости помогает вопросами: «Сколько сторон у этой фигуры? Как связаны её название и число сторон?» | Ученики рассматривают рисунки на доске, называют квадрат, прямоугольник, треугольник и четырёхугольник. Приводят примеры из жизни: окно, дверь, тетрадь, плитка, книга. Отвечают: «Это четырёхугольник». Объясняют, что четырёхугольники часто встречаются в предметах вокруг нас. |
1 мин | Учитель просит учеников сформулировать, что они будут изучать на уроке: «Сегодня мы разберём, из каких элементов состоит четырёхугольник, научимся отличать выпуклую фигуру от невыпуклой и выясним, чему равна сумма его углов». Записывает на доске краткий план: 1) элементы четырёхугольника; 2) выпуклые и невыпуклые фигуры; 3) сумма углов; 4) решение задач. | Ученики называют предполагаемые цели урока, переписывают план с доски и задают вопросы, если не понимают новые слова. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Верно, мы начинаем изучение четырёхугольников. Запишите тему урока: 'Четырёхугольник и его элементы'"».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: спокойно повторить базовые понятия устно и через записи на доске. Учитель заранее пишет на доске заголовок «Повторяем определения» и оставляет место для ключевых слов.
1. Определение многоугольника. Учитель спрашивает: «Что называют многоугольником?» После ответов записывает полную формулировку: многоугольник — это простая замкнутая ломаная линия вместе с ограниченной ею частью плоскости. Затем уточняет: «Почему ломаная называется замкнутой?» Ожидаемый ответ: «Её конец совпадает с началом». «Почему она простая?» Ожидаемый ответ: «Её звенья не пересекаются, кроме соседних в общих вершинах». Учитель показывает на доске замкнутую ломаную из пяти звеньев и отмечает вершины и стороны.
2. Элементы многоугольника. Учитель записывает: вершины — точки, в которых соединяются соседние стороны; стороны — отрезки, соединяющие соседние вершины; углы многоугольника — углы, образованные соседними сторонами. Просит ученика у доски показать эти элементы на пятиугольнике ABCDE.
3. Определение диагонали. Учитель спрашивает: «Как называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника?» После ответа записывает: диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. На четырёхугольнике ABCD ученик показывает диагонали AC и BD, а затем объясняет, почему AB, BC, CD и DA диагоналями не являются: они соединяют соседние вершины и являются сторонами.
Вопросы классу: 1) Чем многоугольник отличается от незамкнутой ломаной? 2) Сколько сторон и вершин у четырёхугольника? 3) Является ли отрезок AC диагональю в четырёхугольнике ABCD? 4) Сколько диагоналей у четырёхугольника? 5) Чему равна сумма углов треугольника?
Если ученики затрудняются, учитель ведёт их по записи: «Диагональ соединяет две… вершины». После ответов на доске остаются опорные слова: замкнутая ломаная — вершины — стороны — углы — несоседние вершины — диагональ — 180°.
1. Определение многоугольника. Учитель спрашивает: «Что называют многоугольником?» После ответов записывает полную формулировку: многоугольник — это простая замкнутая ломаная линия вместе с ограниченной ею частью плоскости. Затем уточняет: «Почему ломаная называется замкнутой?» Ожидаемый ответ: «Её конец совпадает с началом». «Почему она простая?» Ожидаемый ответ: «Её звенья не пересекаются, кроме соседних в общих вершинах». Учитель показывает на доске замкнутую ломаную из пяти звеньев и отмечает вершины и стороны.
2. Элементы многоугольника. Учитель записывает: вершины — точки, в которых соединяются соседние стороны; стороны — отрезки, соединяющие соседние вершины; углы многоугольника — углы, образованные соседними сторонами. Просит ученика у доски показать эти элементы на пятиугольнике ABCDE.
3. Определение диагонали. Учитель спрашивает: «Как называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника?» После ответа записывает: диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. На четырёхугольнике ABCD ученик показывает диагонали AC и BD, а затем объясняет, почему AB, BC, CD и DA диагоналями не являются: они соединяют соседние вершины и являются сторонами.
Вопросы классу: 1) Чем многоугольник отличается от незамкнутой ломаной? 2) Сколько сторон и вершин у четырёхугольника? 3) Является ли отрезок AC диагональю в четырёхугольнике ABCD? 4) Сколько диагоналей у четырёхугольника? 5) Чему равна сумма углов треугольника?
Если ученики затрудняются, учитель ведёт их по записи: «Диагональ соединяет две… вершины». После ответов на доске остаются опорные слова: замкнутая ломаная — вершины — стороны — углы — несоседние вершины — диагональ — 180°.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель устно задаёт вопросы и записывает ответы на доске: 1) Сколько сторон и вершин у треугольника? 2) Как проверить, что угол тупой? 3) Сколько градусов составляет развёрнутый угол? 4) Чему равна сумма углов треугольника? 5) Что такое диагональ? После каждого ответа кратко уточняет формулировку. | Ученики отвечают по цепочке, сверяют ответы с записью на доске, при необходимости исправляют определения в тетрадях. |
2 мин | Учитель показывает на доске треугольник ABC и спрашивает: «Если один угол равен 50°, а второй 60°, как найти третий?» Записывает: 180° − 50° − 60° = 70°. | Ученик у доски объясняет вычисление. Остальные записывают решение и называют правило: из 180° вычитаем известные углы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Переход к новой теме: «Мы умеем находить неизвестный угол треугольника, потому что сумма его углов равна 180°. Сегодня научимся действовать так же с четырёхугольником. Важно не запоминать число без доказательства, а понять, откуда оно берётся». На доске учитель оставляет опорную запись: треугольник → 180°.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель рисует на доске два четырёхугольника: выпуклый и невыпуклый (вогнутый). «"Посмотрите на эти две фигуры. Обе — четырёхугольники. Чем они принципиально отличаются? Попробуйте провести прямую через любую сторону фигуры. Что происходит с самой фигурой?"» Учитель подводит к определению выпуклости. «"Главный вопрос урока: мы знаем сумму углов треугольника. А чему равна сумма углов четырёхугольника? Будет ли она разной для этих двух фигур?"» | Ученики пробуют провести прямые. Замечают: «"В первом случае фигура лежит по одну сторону от прямой, а во втором — прямая разрезает фигуру"». Формулируют цель: «"Узнать сумму углов четырёхугольника и научиться её находить"». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Итак, наша задача — провести исследование и вывести формулу. Работаем в парах"».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести сумму углов четырёхугольника вместе с классом, используя только доску, мел и уже известное свойство треугольника.
Важно для слабого класса: не переходите к формальной записи сразу. Сначала нарисуйте фигуру, проведите одну диагональ, посчитайте получившиеся треугольники и только потом запишите формулу. Каждый шаг проговаривайте и просите учеников повторять ключевой вывод.
Важно для слабого класса: не переходите к формальной записи сразу. Сначала нарисуйте фигуру, проведите одну диагональ, посчитайте получившиеся треугольники и только потом запишите формулу. Каждый шаг проговаривайте и просите учеников повторять ключевой вывод.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель рисует на доске выпуклый четырёхугольник ABCD, подписывает вершины и проводит диагональ AC. Спрашивает: «На сколько треугольников разделилась фигура? Какова сумма углов каждого треугольника?» На доске появляются записи: ABCD → △ABC и △ACD; 180° + 180° = 360°. | Отвечают: «На два треугольника», «В каждом треугольнике сумма углов 180°». Один ученик выходит к доске и обводит мелом два треугольника. |
4 мин | Учитель показывает, как внутренние углы двух треугольников составляют все четыре угла четырёхугольника. Записывает: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180° + 180° = 360°. Объясняет, что части угла A и C после проведения диагонали складываются в полные углы A и C. | Ученик у доски повторяет объяснение по рисунку: «Диагональ разделила четырёхугольник на два треугольника, поэтому сумма углов равна 360°». Класс записывает вывод. |
4 мин | Учитель предлагает проверить вывод на простом примере: рисует прямоугольник и подписывает три угла по 90°. Спрашивает: «Как найти четвёртый угол?» Записывает: 360° − 90° − 90° − 90° = 90°. Затем формулирует теорему. | Ученик вычисляет неизвестный угол у доски. Остальные формулируют правило: сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360°. |
Запись в тетрадях
- Определение: Четырёхугольник — фигура, состоящая из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), соединяющих их так, что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой, а не соседние не пересекаются.
- Элементы: Вершины (A, B, C, D), Стороны (AB, BC, CD, DA), Диагонали (AC, BD).
- Теорема: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы совершили открытие: любой выпуклый четырёхугольник — это 'сиамские близнецы' треугольники. Значит, его сумма углов всегда в два раза больше"».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить полученные знания в типовых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске задачу 1: «Углы четырёхугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите углы». Решает первый шаг вместе с классом: пусть углы равны x, 2x, 3x и 4x; тогда x + 2x + 3x + 4x = 360°. Просит ученика продолжить. | Ученик у доски получает 10x = 360°, x = 36°. Записывает ответ: 36°, 72°, 108°, 144°. Класс проверяет сумму: 36° + 72° + 108° + 144° = 360°. |
2 мин | Учитель записывает задачу 2: «Три угла равны 70°, 80° и 110°. Найдите четвёртый». Напоминает алгоритм: сначала сложить известные углы, затем вычесть сумму из 360°. | Ученик у доски записывает: 70° + 80° + 110° = 260°; 360° − 260° = 100°. Формулирует ответ полным предложением. |
2 мин | Учитель даёт задачу 3 для общего решения: «Два угла четырёхугольника равны 90° и 120°, третий угол на 30° больше второго. Найдите углы, если четвёртый равен 80°». Помогает составить уравнение: 90° + 120° + (120° + 30°) + 80° = 440°. Обсуждает, почему такие данные невозможны. | Ученики замечают противоречие: сумма уже равна 440°, а должна быть 360°. Делают вывод: по условию такого выпуклого четырёхугольника не существует. |
Эталон решения задачи №1
Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда углы равны $k, 2k, 3k, 4k$.
Составим уравнение: $k + 2k + 3k + 4k = 360^\circ$
$10k = 360^\circ$
$k = 36^\circ$.
Углы: $36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ$.
Составим уравнение: $k + 2k + 3k + 4k = 360^\circ$
$10k = 360^\circ$
$k = 36^\circ$.
Углы: $36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Отлично, формулу применять научились. Теперь проверим, как вы справитесь самостоятельно"».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель пишет на доске три коротких задания. 1) Найдите четвёртый угол, если остальные равны 80°, 90° и 100°. 2) Верно ли утверждение: сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180°? Объясните. 3) Могут ли углы выпуклого четырёхугольника быть равны 90°, 90°, 90° и 100°? Проверьте суммой. | Ученики решают самостоятельно в тетрадях. Для первого задания записывают 360° − 80° − 90° − 100° = 90°. Во втором исправляют 180° на 360° и ссылаются на разбиение диагональю. В третьем находят сумму 370° и делают вывод, что такие углы невозможны. |
2 мин | Учитель разбирает ответы на доске по шагам. Просит не просто назвать число, а показать действие и единицу измерения. Если есть ошибки, предлагает ученику найти неверный шаг и исправить его. | Ученики сверяют решения, исправляют ошибки и подчёркивают правило: неизвестный угол равен 360° минус сумма трёх известных углов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Поднимите руки, у кого нет ни одной ошибки. Молодцы! У кого одна — не страшно, мы ещё потренируемся"».
Этап 7. Вывод суммы углов выпуклого n-угольника (7 мин)
Цель этапа: вывести формулу суммы внутренних углов выпуклого n-угольника и научиться применять её в простых задачах.
1. Подготовка рисунка. Учитель рисует на доске выпуклый пятиугольник ABCDE и предлагает посчитать, на сколько треугольников его можно разделить диагоналями, проведёнными из одной вершины A. Ученик у доски проводит диагонали AC и AD. Класс видит три треугольника: ABC, ACD и ADE.
2. Переход к общему случаю. Учитель предлагает сравнить число сторон и число получившихся треугольников: у треугольника 3 стороны — получается 1 треугольник; у четырёхугольника 4 стороны — 2 треугольника; у пятиугольника 5 сторон — 3 треугольника. Учитель подчёркивает: при проведении диагоналей из одной вершины выпуклый n-угольник делится на n − 2 треугольника.
3. Вывод формулы. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а треугольников всего n − 2. Поэтому сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°. Учитель записывает на доске: S = (n − 2) · 180°. Ученики проговаривают формулу вслух и записывают её в тетрадь.
4. Проверка на известных фигурах. Ученик у доски проверяет формулу: для четырёхугольника (4 − 2) · 180° = 360°; для пятиугольника (5 − 2) · 180° = 540°; для шестиугольника (6 − 2) · 180° = 720°. Учитель обращает внимание: с увеличением числа сторон на одну сторону сумма углов увеличивается на 180°.
5. Короткая задача. Учитель спрашивает: «Чему равна сумма углов выпуклого семиугольника?» Ученик записывает: S = (7 − 2) · 180° = 5 · 180° = 900°. Ответ: 900°. Затем учитель задаёт обратный вопрос: «Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 1080°?» Ученик составляет уравнение: (n − 2) · 180° = 1080°, получает n − 2 = 6, n = 8. Ответ: восьмиугольник.
Итог этапа: чтобы найти сумму внутренних углов выпуклого n-угольника, нужно из числа его сторон вычесть 2 и результат умножить на 180°.
1. Подготовка рисунка. Учитель рисует на доске выпуклый пятиугольник ABCDE и предлагает посчитать, на сколько треугольников его можно разделить диагоналями, проведёнными из одной вершины A. Ученик у доски проводит диагонали AC и AD. Класс видит три треугольника: ABC, ACD и ADE.
2. Переход к общему случаю. Учитель предлагает сравнить число сторон и число получившихся треугольников: у треугольника 3 стороны — получается 1 треугольник; у четырёхугольника 4 стороны — 2 треугольника; у пятиугольника 5 сторон — 3 треугольника. Учитель подчёркивает: при проведении диагоналей из одной вершины выпуклый n-угольник делится на n − 2 треугольника.
3. Вывод формулы. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а треугольников всего n − 2. Поэтому сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°. Учитель записывает на доске: S = (n − 2) · 180°. Ученики проговаривают формулу вслух и записывают её в тетрадь.
4. Проверка на известных фигурах. Ученик у доски проверяет формулу: для четырёхугольника (4 − 2) · 180° = 360°; для пятиугольника (5 − 2) · 180° = 540°; для шестиугольника (6 − 2) · 180° = 720°. Учитель обращает внимание: с увеличением числа сторон на одну сторону сумма углов увеличивается на 180°.
5. Короткая задача. Учитель спрашивает: «Чему равна сумма углов выпуклого семиугольника?» Ученик записывает: S = (7 − 2) · 180° = 5 · 180° = 900°. Ответ: 900°. Затем учитель задаёт обратный вопрос: «Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 1080°?» Ученик составляет уравнение: (n − 2) · 180° = 1080°, получает n − 2 = 6, n = 8. Ответ: восьмиугольник.
Итог этапа: чтобы найти сумму внутренних углов выпуклого n-угольника, нужно из числа его сторон вычесть 2 и результат умножить на 180°.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно выполнил все задания самостоятельной работы, активно участвовал в выводе формулы, правильно решил обе задачи на закрепление.
- «4» — допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях в самостоятельной работе, задачи на закрепление решены верно.
- «3» — ученик верно определил элементы четырёхугольника, но затруднился в применении формулы суммы углов или допустил более 2 ошибок в тестах.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового о четырёхугольниках вы узнали сегодня, чего не знали раньше? | Осознание приращения знаний (отличие от треугольника). |
Какой момент урока был самым трудным для понимания? | Диагностика зон затруднения (обычно определение выпуклости). |
Где в жизни вам может пригодиться знание о сумме углов? | Связь с практикой и функциональной грамотностью. |
Завершающее слово учителя
«"Ребята, сегодня мы сделали важный шаг в изучении геометрии. Мы узнали, что даже сложные фигуры подчиняются простым правилам, если уметь видеть в них знакомые треугольники. Вы сегодня отлично поработали исследователями. На следующем уроке мы узнаем, какие 'титулованные' родственники есть у обычного четырёхугольника — начнём знакомство с параллелограммом. До встречи!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, п. 40-42, № 364, 365 (а, б), 368 | Выучить определения и теорему, решить задачи на прямой поиск углов. |
