Электромагнитные колебания. Формула Томсона: решение задач
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся решат не менее четырёх задач на применение формулы Томсона, вычисление периода и частоты собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре, а также объяснят выбор расчётной формулы и выполнят самопроверку.
- Закрепить связь между индуктивностью катушки, ёмкостью конденсатора, периодом и частотой собственных электромагнитных колебаний.
- Отработать преобразование формулы Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$ и формулы частоты $\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ для нахождения различных физических величин.
- Развивать умение анализировать условие задачи, переводить величины в СИ, оценивать порядок ответа и находить ошибки в вычислениях.
- Формировать ответственное отношение к точности расчётов и понимание практического значения колебательных контуров для радиотехники и средств связи.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическое значение электромагнитных колебаний для радиосвязи, настройки приёмников и электронных устройств.
- Проявляют готовность проверять достоверность собственного результата, а не принимать первое полученное число без анализа.
- Связывают освоение расчётных методов с дальнейшим изучением физики и возможными инженерными и техническими профессиями.
- Развивают учебную самостоятельность при выборе способа решения и объяснении допущенных ошибок.
Метапредметные
- Анализируют условие физической задачи, выделяют известные и искомые величины, устанавливают их функциональную связь.
- Планируют последовательность решения: перевод в СИ, выбор формулы, преобразование, подстановка, оценка результата.
- Используют таблицу физических величин и калькулятор для проверки вычислений, сопоставляя результат с порядком величин.
- Аргументированно обсуждают решения в парах, формулируют вопросы и корректно оценивают способ решения одноклассника.
Предметные
- Знают формулу Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$ и формулу собственной частоты $\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
- Умеют определять период, частоту, индуктивность или ёмкость колебательного контура по известным данным.
- Умеют переводить микрофарады и миллигенри в единицы СИ и проверять размерность результата.
- Умеют решать расчётные задачи на электромагнитные колебания и объяснять физический смысл полученного ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на колебательный контур и формулируют индивидуальную учебную цель.
- Осознают ценность аккуратной математической записи и проверки единиц измерения в физике.
- Проявляют познавательный интерес к применению колебательных контуров в технике связи.
- Сохраняют работоспособность при решении задачи повышенной сложности и воспринимают ошибку как источник для коррекции.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения задачи и соотносят его с условием и искомой величиной.
- Контролируют перевод величин в СИ, правильность преобразования формулы и единицы измерения ответа.
- Сравнивают собственное решение с эталоном, выявляют место ошибки и исправляют его.
- Оценивают степень достижения цели урока по количеству самостоятельно решённых задач.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные задачи и отбрасывают информацию, не влияющую на расчёт.
- Преобразуют формулу Томсона и используют математическую модель колебательного контура.
- Сравнивают влияние увеличения индуктивности и ёмкости на период и частоту колебаний.
- Проверяют результат оценкой порядка величины и анализом зависимости между параметрами контура.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре, объясняя не только результат, но и выбор формулы.
- Задают уточняющие вопросы о переводе единиц, преобразовании формулы и последовательности вычислений.
- Представляют решение у доски в форме краткого физического комментария.
- Осуществляют взаимопроверку по заданным критериям, формулируя конкретное замечание и способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $T=2\pi\sqrt{LC}$ и $\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, обозначениями величин и единицами СИ.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые задачи на период и частоту, задачи на нахождение $L$ или $C$, задачи повышенного уровня на сравнение двух контуров — по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать лист взаимопроверки с алгоритмом: «СИ — формула — преобразование — вычисления — единица — оценка ответа» — по одному листу на парту.
- Подготовить отдельный эталон решения для учителя и карточки с типичными ошибками: отсутствие $2\pi$, неверный перевод микрофарад, перепутаны период и частота.
- Вывести на экран или записать таблицу приставок: $1\ \text{мкФ}=10^{-6}\ \text{Ф}$, $1\ \text{мГн}=10^{-3}\ \text{Гн}$, $1\ \text{кГц}=10^3\ \text{Гц}$.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для практических заданий и стикеры трёх цветов для рефлексии.
- Организовать на партах тетради, ручки, линейки и калькуляторы; предупредить, что каждое решение должно содержать формулу и единицу измерения.
- Подобрать из используемого учебного материала по теме электромагнитных колебаний задания, аналогичные карточкам, без привязки к номерам страниц и упражнений.
- Подготовить слайд с проблемным вопросом: «Как изменить параметры контура, чтобы увеличить частоту собственных колебаний в два раза?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и обозначить значение формулы Томсона для настройки колебательного контура.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем долго повторять теорию: основное время посвятим решению задач. Проверьте, что у вас есть тетрадь, ручка, калькулятор и лист взаимопроверки. Все решения записываем так, чтобы другой человек мог восстановить ход рассуждений." | Проверяют оборудование, открывают тетради, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске вопрос: "Колебательный контур имеет определённую частоту собственных колебаний. Если нам нужно настроить радиоприёмник на другую частоту, что можно изменить в контуре? Предложите гипотезы, а затем проверим их расчётом." Учитель фиксирует ответы без немедленной оценки. | Формулируют гипотезы: "Можно изменить ёмкость конденсатора", "Можно изменить индуктивность катушки"; предполагают: "При увеличении параметров частота уменьшится". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши гипотезы расчётом. Сначала быстро восстановим формулы и единицы, а затем будем действовать как инженеры: выбирать модель, вычислять и оценивать результат."
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднений (6 мин)
Цель этапа: восстановить необходимые формулы, обозначения и правила перевода единиц перед самостоятельным решением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Блиц-опрос": "Запишите без подсказки формулу периода собственных электромагнитных колебаний. Рядом укажите, что обозначают $L$ и $C$. Через минуту сравните запись с соседом и найдите расхождения." | Индивидуально записывают $T=2\pi\sqrt{LC}$, указывают, что $L$ — индуктивность, а $C$ — ёмкость, затем сравнивают записи в парах. |
2 мин | Учитель показывает таблицу единиц: "Назовите единицы периода, частоты, индуктивности и ёмкости в СИ. Почему в формулу нельзя сразу подставлять микрофарады и миллигенри?" Учитель просит одного ученика объяснить перевод $4\ \text{мкФ}$, другого — перевод $6\ \text{мГн}$. | Отвечают: "Период измеряется в секундах, частота — в герцах, индуктивность — в генри, ёмкость — в фарадах"; записывают $4\ \text{мкФ}=4\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$ и $6\ \text{мГн}=6\cdot10^{-3}\ \text{Гн}$. |
2 мин | Учитель предлагает два утверждения: "Первое: при увеличении $L$ период увеличивается. Второе: частота и период прямо пропорциональны. Отметьте верное утверждение и исправьте неверное." | Отмечают первое утверждение как верное, второе исправляют: "Частота и период связаны обратно пропорционально: $\nu=1/T$". |
Запись в тетрадях
$T=2\pi\sqrt{LC}$; $\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Величины $L$ и $C$ перед подстановкой переводятся в единицы СИ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы и единицы восстановлены. Теперь главное затруднение будет не в запоминании формулы, а в выборе нужного преобразования и аккуратной работе с единицами. Перейдём к алгоритму решения."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и алгоритм решения (4 мин)
Цель этапа: сформировать общий алгоритм решения задач на формулу Томсона и определить критерии качественного ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: "В колебательном контуре индуктивность катушки равна $25\ \text{мГн}$, а ёмкость конденсатора — $4\ \text{мкФ}$. Найдите период собственных колебаний." Учитель спрашивает: "С какого действия начнём? Что запишем после перевода величин?" | Называют последовательность: "Запишем дано, переведём $L$ и $C$ в СИ, выберем формулу Томсона, подставим значения и запишем ответ с единицей". |
2 мин | Учитель оформляет на доске алгоритм и комментирует: "В каждой задаче проверяем пять пунктов: данные в СИ, подходящая формула, преобразование, вычисления, физический смысл результата. Если пропущен хотя бы один пункт, решение нельзя считать полностью завершённым." | Переписывают алгоритм, задают вопросы о порядке округления и отмечают в листе взаимопроверки пять критериев. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас есть универсальный маршрут решения. Сейчас я покажу один образец с полным оформлением, а затем вы примените этот маршрут к новым условиям самостоятельно."
Этап 4. Разбор образца и первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: закрепить применение формулы Томсона на типовой задаче и предупредить наиболее распространённые ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель разбирает задачу: "В колебательном контуре $L=25\ \text{мГн}$ и $C=4\ \text{мкФ}$. Найдите период и частоту собственных колебаний. Сначала переводим: $L=25\cdot10^{-3}\ \text{Гн}$, $C=4\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$. Используем $T=2\pi\sqrt{LC}$, затем найдём частоту по формуле $\nu=1/T$. Следим за тем, чтобы квадратный корень распространялся на произведение $LC$." | Записывают решение по шагам, вычисляют $LC=25\cdot10^{-3}\cdot4\cdot10^{-6}=10^{-7}$, находят $T\approx1{,}99\cdot10^{-3}\ \text{с}$ и $\nu\approx503\ \text{Гц}$. |
3 мин | Учитель предлагает приём "Найди ошибку": показывает запись ученика: $T=2\pi\sqrt{25\cdot4}=20\pi\ \text{с}$. "В этой записи есть две ошибки. Найдите их и объясните, почему полученный период нереалистичен для указанного контура." | Находят ошибки: величины не переведены в СИ и неверно обработан множитель $10^{-3}\cdot10^{-6}$. Объясняют: "Период должен быть порядка миллисекунд, а не десятков секунд". |
Эталон решения
$L=25\ \text{мГн}=25\cdot10^{-3}\ \text{Гн}$; $C=4\ \text{мкФ}=4\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$. $T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{25\cdot10^{-3}\cdot4\cdot10^{-6}}=2\pi\sqrt{10^{-7}}\approx1{,}99\cdot10^{-3}\ \text{с}$. Затем $\nu=\frac{1}{T}\approx\frac{1}{1{,}99\cdot10^{-3}}\approx503\ \text{Гц}$. Ответ: $T\approx2{,}0\ \text{мс}$, $\nu\approx5{,}0\cdot10^2\ \text{Гц}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что главные источники ошибок — единицы СИ, скобки под корнем и связь периода с частотой. Теперь каждый применит алгоритм к своей карточке, а сосед поможет обнаружить техническую ошибку, но не будет выполнять решение вместо вас."
Этап 5. Практическая работа в парах «Подумай — обсуди в паре» (10 мин)
Цель этапа: отработать вычисление периода и частоты, а также нахождение параметра контура по заданному периоду.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки базового и повышающего уровня: "Сначала решите задачу индивидуально в течение трёх минут. Затем две минуты сравнивайте решения в паре и отметьте по листу взаимопроверки, выполнены ли все пять критериев." | Получают карточки, читают условие, самостоятельно выделяют данные и искомую величину. |
4 мин | Учитель предлагает базовую задачу: "Конденсатор ёмкостью $2\ \text{мкФ}$ соединён с катушкой индуктивностью $8\ \text{мГн}$. Найдите период и частоту собственных колебаний контура. Запишите полный ход решения." Учитель наблюдает, задаёт уточняющие вопросы: "В каких единицах записаны $L$ и $C$? Где находится множитель $2\pi$?" | Решают задачу, переводят $C=2\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$ и $L=8\cdot10^{-3}\ \text{Гн}$, получают примерно $T=7{,}95\cdot10^{-4}\ \text{с}$ и $\nu\approx1{,}26\cdot10^3\ \text{Гц}$. |
5 мин | Учитель предлагает повышающую задачу: "Период собственных колебаний контура равен $2\ \text{мс}$, индуктивность катушки — $20\ \text{мГн}$. Определите ёмкость конденсатора. После решения объясните, почему при увеличении ёмкости период возрастает." Учитель организует взаимопроверку двух пар. | Преобразуют формулу: $C=\frac{T^2}{4\pi^2L}$, подставляют $T=2\cdot10^{-3}\ \text{с}$ и $L=20\cdot10^{-3}\ \text{Гн}$, получают примерно $C=5{,}1\cdot10^{-8}\ \text{Ф}$. Объясняют зависимость через формулу $T\sim\sqrt C$. |
Эталон решения
Для первой задачи: $L=8\cdot10^{-3}\ \text{Гн}$, $C=2\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$. $T=2\pi\sqrt{8\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-6}}=2\pi\sqrt{1{,}6\cdot10^{-8}}\approx7{,}95\cdot10^{-4}\ \text{с}$; $\nu=1/T\approx1{,}26\cdot10^3\ \text{Гц}$. Для второй задачи: $T=2\pi\sqrt{LC}$, поэтому $C=\frac{T^2}{4\pi^2L}$. $C=\frac{(2\cdot10^{-3})^2}{4\pi^2\cdot20\cdot10^{-3}}\approx5{,}1\cdot10^{-8}\ \text{Ф}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы не просто получили числа, а проверили структуру решения. Теперь выполним индивидуальную работу: каждый покажет, может ли самостоятельно выбрать формулу и оценить результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение формулой Томсона на задачах разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные варианты: "Решите две задачи самостоятельно. Задача 1 обязательна для всех: в контуре $L=50\ \text{мГн}$ и $C=0{,}8\ \text{мкФ}$, найдите частоту. Задача 2: частоту контура увеличили в два раза, не изменяя индуктивность. Во сколько раз нужно изменить ёмкость? Записывайте не только ответ, но и обоснование." | Решают задачи индивидуально. Для первой задачи переводят величины в СИ и используют $\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Во второй задаче анализируют зависимость $\nu\sim1/\sqrt C$ и делают вывод, что ёмкость нужно уменьшить в четыре раза. |
4 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Сверьте решение по каждому пункту: СИ, формула, преобразование, вычисления, единица и вывод. Ошибку не стирайте полностью: подчеркните место, где она возникла, и рядом запишите исправление." | Проверяют работу по эталону, отмечают совпавшие пункты, исправляют ошибки другим цветом, ставят себе предварительный результат по критериям. |
Эталон решения
$L=50\cdot10^{-3}\ \text{Гн}$, $C=0{,}8\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$. $\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{50\cdot10^{-3}\cdot0{,}8\cdot10^{-6}}}\approx796\ \text{Гц}$. Для второй задачи: $\nu\sim\frac{1}{\sqrt C}$. Если $\nu_2=2\nu_1$, то $\frac{\nu_2}{\nu_1}=\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}=2$, следовательно, $C_2=C_1/4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, умеете ли вы самостоятельно пройти весь алгоритм. Осталось зафиксировать, что именно стало понятнее, где возникло затруднение и как вы будете его устранять."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результаты практической работы, определить точки затруднений и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если вы уверенно применяете формулу Томсона; жёлтую — если затрудняетесь в преобразовании или единицах; красную — если пока не можете начать решение без подсказки. На стикере допишите одно конкретное действие, которое поможет вам улучшить результат." | Показывают карточку, записывают: "повторю перевод мкФ в Ф", "потренирую преобразование формулы", "проверю связь $T$ и $\nu$". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшнего результата. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: какая величина определяет период вместе с ёмкостью? Как изменится частота при увеличении $L$? Почему единицы нужно переводить в СИ?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания, устно отвечают: "$L$ — индуктивность", "частота уменьшится", "формула согласована с единицами СИ". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили не только формулу Томсона, но и полный физический способ решения задачи: от анализа условия до проверки результата. Ошибки в единицах и множителе $2\pi$ теперь должны стать заметными на этапе самопроверки. На следующем уроке мы продолжим применять модель колебательного контура к более сложным задачам и графикам."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе задачи индивидуальной работы и не менее одной задачи парной работы; величины переведены в СИ, формулы выбраны и преобразованы корректно, вычисления и единицы измерения указаны, физический вывод сформулирован.
- «4» — верно решены обязательная индивидуальная задача и одна задача парной работы, но допущена одна несущественная вычислительная ошибка или неточность в округлении при правильном ходе решения.
- «3» — записана формула Томсона и начат алгоритм решения, правильно выполнен перевод хотя бы одной величины в СИ, но допущены ошибки в преобразовании, вычислениях или определении связи периода и частоты.
- Ниже базового уровня — отсутствует связное решение, не выполнен перевод величин в СИ или не различаются период и частота; требуется повторная работа по алгоритму с опорой на эталон.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения задач на формулу Томсона теперь выполняется вами уверенно? | Выявление освоенных элементов алгоритма и осознание личного прогресса. |
На каком месте возникло затруднение: перевод единиц, преобразование формулы или вычисления? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как изменится частота, если увеличить индуктивность в четыре раза? Объясните без вычислений. | Проверка понимания функциональной зависимости $\nu\sim1/\sqrt L$. |
Что вы проверите в своей тетради перед сдачей любой задачи? | Формирование привычки к самоконтролю по критериям качества решения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили формулу Томсона и научились использовать её не механически, а как физическую модель колебательного контура. Самая частая ошибка — подставить микрофарады и миллигенри без перевода в единицы СИ или потерять множитель $2\pi$. Поэтому перед сдачей решения всегда проверяйте единицы, формулу и порядок величины ответа. На следующем уроке мы применим эти зависимости к анализу изменения параметров контура и более сложным практическим задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на вычисление периода и частоты колебательного контура по заданным $L$ и $C$, включая величины в миллигенри и микрофарадах. В каждой задаче оформить «дано», перевод в СИ, формулу и ответ. | Закрепляет прямое применение формулы Томсона и перевод единиц; при проверке смотреть на наличие множителя $2\pi$ и единиц ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение индуктивности или ёмкости по заданному периоду либо частоте, предварительно преобразовав формулу Томсона. Одну задачу сопроводить проверкой размерности или оценкой порядка величины. | Формирует умение преобразовывать математическую модель и контролировать достоверность результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить задачу о настройке колебательного контура: определить, как изменить ёмкость при изменении частоты в 2 или 3 раза при постоянной индуктивности. Записать краткое объяснение зависимости без подстановки конкретных чисел. | Развивает исследовательское и функциональное мышление, умение выводить зависимость $\nu\sim1/\sqrt C$ и применять её к технической ситуации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается формула Томсона?», «В каких единицах должны быть выражены $L$ и $C$?», «Как связаны период и частота?», «Во сколько раз изменится частота при увеличении ёмкости в четыре раза?»
