Линейное уравнение и его корни
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать линейные уравнения, находить их корни с помощью равносильных преобразований и проверять полученный результат.
- Сформировать представление о линейном уравнении с одной переменной и его корне.
- Научиться переносить слагаемые из одной части уравнения в другую с изменением знака и приводить подобные слагаемые.
- Развивать умение планировать решение, обнаруживать и исправлять ошибки, аргументировать выбранный способ преобразования.
- Воспитывать ответственность за запись решения, интерес к применению уравнений в практических и профессиональных задачах.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что уравнение является математической моделью реальной ситуации и используется в экономике, инженерии и программировании.
- Проявляют готовность проверять собственный результат и спокойно относиться к исправлению ошибки.
- Развивают учебную самостоятельность через выбор уровня задания и способа представления решения.
- Понимают ценность точной записи и последовательного рассуждения при решении математических задач.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и составляют алгоритм решения линейного уравнения.
- Извлекают информацию из условия, математической записи и схемы преобразований.
- Сравнивают два решения, находят ошибочный переход и объясняют причину ошибки.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ математическими терминами.
Предметные
- Знают определения уравнения, корня уравнения и линейного уравнения с одной переменной.
- Умеют распознавать линейные уравнения вида $ax+b=cx+d$.
- Умеют выполнять равносильные преобразования: переносить слагаемые и делить обе части уравнения на ненулевой коэффициент.
- Умеют находить корень линейного уравнения и выполнять проверку подстановкой.
- Умеют описывать случаи единственного корня, отсутствия корней и бесконечного множества корней на простых примерах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения решать уравнения для дальнейшего изучения алгебры.
- Проявляют познавательный интерес к поиску нескольких способов решения.
- Осознают ответственность за достоверность ответа после проверки.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют последовательность преобразований уравнения.
- Сверяют промежуточные записи с алгоритмом и эталоном.
- Оценивают результат, выявляют ошибку и вносят коррективы.
Познавательные УУД
- Выделяют левую и правую части уравнения, неизвестное и коэффициенты.
- Устанавливают, почему одинаковое действие над обеими частями сохраняет множество корней.
- Моделируют решение цепочкой равносильных преобразований.
- Классифицируют уравнения по количеству корней.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг решения.
- Формулируют вопросы к ошибочному рассуждению.
- Согласовывают общий ответ в паре и представляют его классу.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с проблемным примером $3x+5=2x+11$, определениями и алгоритмом решения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для работы в парах — по одной на парту.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные стикеры или карточки для приёма «Светофор» — зелёные, жёлтые и красные на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «Раскрыть скобки — перенести слагаемые — привести подобные — разделить на коэффициент — проверить».
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа условия и эталона решения.
- Заранее записать на доске тему урока, оставив место для цели и общего алгоритма.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность линейных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка, линейка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только вычислительная аккуратность, но и умение объяснять каждый шаг." | Проверяют готовность, записывают дату, оставляют свободное место для темы и цели урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: "Для школьного проекта нужно купить несколько одинаковых наборов материалов. После покупки трёх наборов и доставки стоимость составила 560 рублей, а доставка стоила 140 рублей. Как найти цену одного набора? Сегодня мы увидим, как такую задачу записать и решить с помощью уравнения." | Предполагают способ решения, называют неизвестную величину: «цену одного набора», предлагают составить выражение и уравнение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что неизвестную величину можно выразить не только подбором, но и строгой математической моделью. Сейчас вспомним, что уже умеем делать с уравнениями, и найдём место затруднения."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия уравнения, корня и свойства равенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный блиц: "Что называется уравнением? Что такое корень уравнения? Как проверить, является ли число корнем? Посмотрите на запись $2x+7=15$: назовите левую и правую части." | Формулируют ответы: «Уравнение — равенство с переменной»; «корень — значение переменной, превращающее уравнение в верное равенство»; называют части уравнения и способ проверки подстановкой. |
3 мин | Учитель предлагает решить знакомое уравнение: "Решите индивидуально $x+9=14$. Затем сравните ответ с соседом. Объясните, какое действие выполнили с обеими частями равенства и почему оно допустимо." | Решают: $x=5$. В парах объясняют: «Из обеих частей вычли 9». Выполняют проверку $5+9=14$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить неизвестное, когда оно встречается один раз. Но в новом уравнении переменная может находиться в обеих частях. Зафиксируем, почему привычного одного шага становится недостаточно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать цель открытия нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: $3x+5=2x+11$ и говорит: "Попробуйте решить уравнение так, как вы решали предыдущее. Что мешает? Можно ли собрать все слагаемые с переменной в одной части? Обсудите 30 секунд самостоятельно и одну минуту в паре." | Пытаются решить, обсуждают затруднение, формулируют: «Переменная находится в обеих частях», «нужно перенести слагаемое $2x$ или $3x$». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый предложит шаг, затем пара выберет наиболее понятную последовательность. Нам нужно ответить на вопрос: какие преобразования сохраняют корни уравнения?" Учитель фиксирует предложения на доске. | Предлагают алгоритм: перенести слагаемые, привести подобные, разделить обе части на коэффициент при переменной, проверить ответ. Формулируют цель: «Научиться решать линейные уравнения и проверять их корни». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: переменную нужно собрать в одной части, числа — в другой, не нарушив равенство. Теперь откроем способ, который превращает сложную запись в простой вид $ax=b$."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения линейного уравнения через равносильные преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает проблемный пример: "Посмотрите на уравнение $3x+5=2x+11$. Перенесём $2x$ в левую часть, а число $5$ — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется: $3x-2x=11-5$. Это не произвольное правило: мы вычитаем $2x$ из обеих частей и затем вычитаем 5 из обеих частей." | Записывают преобразования, проговаривают: «При переносе слагаемого знак меняется». Приводят подобные: $x=6$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Получили $x=6$. Проверим корень подстановкой в исходное уравнение: левая часть равна $3\cdot6+5=23$, правая часть равна $2\cdot6+11=23$. Равенство верно, значит, $6$ — корень." | Записывают проверку, делают вывод: «Корень найден верно, потому что обе части имеют одинаковое значение». |
3 мин | Учитель формулирует общий алгоритм и записывает его на доске: "Первый шаг — раскрыть скобки, если они есть. Второй — перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа в другую. Третий — привести подобные слагаемые. Четвёртый — разделить обе части на коэффициент при переменной. Пятый — выполнить проверку." | Переписывают алгоритм, задают уточняющие вопросы, приводят пример допустимой проверки. |
Запись в тетрадях
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида $ax+b=cx+d$, где $a$, $b$, $c$, $d$ — числа, а $x$ — переменная. Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Алгоритм: раскрыть скобки; перенести слагаемые; привести подобные; разделить на коэффициент при переменной; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили общий алгоритм и увидели, почему каждый шаг сохраняет корни. Теперь проверим его сначала вместе, проговаривая действия вслух, а затем вы примените его самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на уравнениях с постепенным усложнением и научиться объяснять преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя уравнениями: $5x-7=2x+8$ и $4(x-2)=2x+10$. Инструкция: "Решите первое уравнение вместе, распределив роли: один ученик выполняет запись, второй контролирует шаги и называет действие. Затем поменяйтесь ролями." | В парах решают уравнения, вслух называют перенос и приведение подобных, записывают проверку первого уравнения. |
2 мин | Учитель вызывает пару к доске и просит объяснить решение: "Не просто назовите ответ, а поясните, почему после раскрытия скобок можно перенести слагаемые и разделить обе части." | Представляют решение: $5x-7=2x+8$, $3x=15$, $x=5$. Для второго: $4x-8=2x+10$, $2x=18$, $x=9$. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись: $6x+4=3x+16$, $6x-3x=16+4$, $3x=20$, $x=20$. Вопрос: "На каком шаге появилась ошибка? Как исправить решение?" | Находят ошибку в переносе числа: должно быть $16-4$, исправляют: $3x=12$, $x=4$, выполняют проверку. |
Эталон решения
Для уравнения $6x+4=3x+16$: $6x-3x=16-4$; $3x=12$; $x=4$. Проверка: $6\cdot4+4=28$, $3\cdot4+16=28$. Корень равен $4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились не только получать ответ, но и контролировать знак каждого перенесённого слагаемого. Следующий шаг — индивидуальная работа, чтобы проверить, насколько алгоритм уже стал вашим собственным способом действия."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбор уровня: "Выполните обязательное задание, а затем выберите базовый или повышенный уровень. Работайте самостоятельно, записывайте преобразования по строкам. Обязательное уравнение: $7x-5=4x+13$. Базовое: $3(2x-1)=x+12$. Повышенное: $2(3x-4)-x=10+x$." | Решают выбранные уравнения, подчёркивают найденный корень и выполняют проверку хотя бы в одном уравнении. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: $7x-5=4x+13$; $3x=18$; $x=6$. Затем напоминает: "Сравните не только ответ, но и порядок преобразований. Если есть расхождение, найдите первую строку, в которой записи стали различаться." | Сверяют решение построчно, исправляют ошибки другим цветом, отмечают причину затруднения. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете решить уравнение без подсказки; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока не понимаете перенос слагаемых. Это не оценка, а сигнал для планирования помощи." | Показывают карточку, формулируют вопрос или называют конкретный шаг, который требует объяснения. |
Эталон решения
$7x-5=4x+13$; переносим $4x$ в левую часть, $-5$ — в правую: $7x-4x=13+5$; $3x=18$; $x=6$. Проверка: $7\cdot6-5=37$, $4\cdot6+13=37$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять самостоятельно. Осталось связать его с количеством корней и убедиться, что мы понимаем не только действия, но и смысл полученного результата."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, классифицировать простые случаи и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три записи: $2x+3=11$, $4x+2=4x+9$, $5x-10=5(x-2)$. Спрашивает: "Решите или преобразуйте каждое уравнение. Что можно сказать о количестве корней?" | Определяют: первое имеет единственный корень $x=4$; второе не имеет корней, так как после сокращения получается $2=9$; третье имеет бесконечно много корней, так как обе части тождественно равны. |
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "Запишите два предложения: какое правило сегодня стало понятнее и на каком шаге вы ещё можете ошибиться?" | Пишут личный вывод, называют типичную ошибку: неверный знак при переносе или отсутствие проверки. |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Решите $2x+7=x+12$ и допишите фразу: «Проверка нужна, чтобы…»" | Решают: $x=5$, записывают: «Проверка нужна, чтобы убедиться в истинности равенства и отсутствии ошибки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли алгоритм решения линейного уравнения, научились проверять корень и увидели, что уравнение может иметь один, ноль или бесконечно много корней. Домашняя работа позволит закрепить алгоритм и выбрать уровень сложности."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательное и выбранные задания, все преобразования записаны последовательно, выполнена проверка, объяснена причина исправления ошибочного решения.
- «4» — верно решены обязательное задание и одно задание выбранного уровня, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- «3» — верно выполнено обязательное уравнение с помощью алгоритма, но допущены ошибки в переносе слагаемых, приведении подобных или проверке; ход решения частично сохранён.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о линейном уравнении и его корне? | Выявление осознания ключевых предметных понятий. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения в последовательности преобразований. |
Почему при переносе слагаемого меняется его знак? | Проверка понимания равносильности преобразований, а не механического заучивания правила. |
Как вы проверите, что найденное число действительно является корнем? | Контроль освоения подстановки и самопроверки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать линейное уравнение в простой вид и находить его корень. Особенно внимательно следите за знаками при переносе слагаемых: именно здесь чаще всего возникает ошибка. Не забывайте, что проверка подстановкой помогает обнаружить неточность до сдачи работы. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения со скобками и дробными коэффициентами, выбирая наиболее рациональный порядок действий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных уравнения вида $ax+b=cx+d$ без скобок и выполнить проверку двух корней подстановкой. | Закрепляет перенос слагаемых, приведение подобных и контроль результата; при проверке обратить внимание на знаки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения со скобками, включая случаи, где после раскрытия скобок переменная находится в обеих частях; составить краткую запись алгоритма. | Формирует умение применять алгоритм в изменённой форме; проверить раскрытие скобок и последовательность преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи, приводящие к линейному уравнению: одну с единственным корнем и одну с отсутствием решения; объяснить смысл результата. | Развивает математическое моделирование и умение интерпретировать количество корней в жизненном контексте. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется корнем уравнения? Как переносится слагаемое через знак равенства? Зачем выполнять проверку? Как понять по преобразованиям, что уравнение не имеет корней?»
