Допустимые значения переменных
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить допустимые значения переменных в рациональных выражениях, объяснять причину ограничений и применять алгоритм минимум в 4 из 5 практических заданий.
- Сформировать понимание того, что значение переменной допустимо, если при его подстановке выражение имеет смысл.
- Научиться находить значения переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю, и записывать ответ в виде ограничения или множества допустимых значений.
- Развивать умение анализировать выражение, выделять причину ограничения и проверять результат подстановкой.
- Воспитывать аккуратность математической записи, самостоятельность при выборе уровня задания и ответственность за результат совместной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность проверки допустимости вычислений в математике, программировании и инженерных расчётах.
- Проявляют интерес к поиску ошибок и готовы аргументированно объяснять собственный способ решения.
- Принимают право на выбор уровня задания и оценивают собственный прогресс без сравнения с одноклассниками.
- Развивают ответственное отношение к точности записи и проверке полученного результата.
Метапредметные
- Выделяют существенный признак рационального выражения — наличие знаменателя, который не может быть равен нулю.
- Планируют решение по алгоритму, сравнивают полученный ответ с условием и корректируют ошибочные действия.
- Формулируют вопросы, объясняют решение партнёру и используют математические термины в диалоге.
- Работают с карточкой, таблицей ограничений и краткой записью алгоритма.
Предметные
- Знают, что допустимыми называются значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
- Умеют находить недопустимые значения переменной, приравнивая знаменатель к нулю.
- Умеют записывать допустимые значения условием $x\ne a$ или множеством $\mathbb{R}\setminus\{a\}$.
- Умеют находить допустимые значения в выражениях с несколькими знаменателями и объяснять каждый шаг решения.
- Владеют проверкой результата подстановкой выбранного значения в исходное выражение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться замечать математические ограничения до выполнения вычислений.
- Проявляют познавательный интерес к нестандартным примерам и игровому поиску ошибок.
- Оценивают собственную готовность решать задания базового, повышенного или творческого уровня.
- Осознают значение аккуратности и ответственности при математическом моделировании.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель на основе проблемной ситуации.
- Планируют действия: найти знаменатели, приравнять их к нулю, исключить найденные значения, записать ответ.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят причину ошибки, а не только исправляют ответ.
- Оценивают результат по критериям и выбирают следующий уровень сложности.
Познавательные УУД
- Сравнивают целое выражение и его части, выделяя знаменатели дробей.
- Устанавливают причинно-следственную связь между нулевым знаменателем и отсутствием смысла выражения.
- Классифицируют выражения по количеству ограничений.
- Моделируют условие допустимости с помощью уравнения и числовой прямой.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру алгоритм поиска недопустимых значений.
- Задают уточняющие вопросы: «Какой знаменатель ты проверял? Почему это значение нужно исключить?»
- Согласуют общий ответ в паре или группе и аргументируют выбранный вариант.
- Корректно обсуждают ошибку одноклассника, отделяя ошибочное действие от личности ученика.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным выражением $\frac{5}{x-2}$ и вопросом: «При каких значениях $x$ оно имеет смысл?»
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, синие — повышенные, красные — творческие; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить 8 игровых карточек «Математический детектив» с выражениями и вариантами предполагаемых ошибок.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и по одному листу критериев на парту.
- Подготовить для каждой группы конверт с карточками, маркер и мини-лист для записи общего алгоритма.
- Вывесить на доске памятку: «Знаменатель не равен нулю»; алгоритм: 1) найти знаменатели; 2) приравнять каждый к нулю; 3) исключить найденные значения; 4) записать ответ.
- Подготовить числовую прямую на экране или доске для обозначения исключённых точек.
- Организовать таймер на 2, 4 и 5 минут для игровых и практических заданий.
- Подготовить проектор, компьютер или интерактивную доску; при их отсутствии использовать заранее сделанные записи на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность через проблемную игровую ситуацию и показать практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске выражение $\frac{5}{x-2}$. «Сегодня мы будем математическими детективами. Перед вами выражение, которое работает не при любом числе. Ваша задача — выяснить, какое число нарушает его работу, и доказать это». | Записывают дату, готовят тетради и рассматривают выражение; предполагают: «Нельзя взять такое значение, чтобы знаменатель стал нулём». |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно: какое значение нельзя подставить вместо $x$? Затем обсудите ответ с соседом и подготовьте объяснение одним предложением». | Самостоятельно находят значение $x=2$, обсуждают в паре и формулируют: «При $x=2$ знаменатель равен нулю, поэтому дробь не имеет смысла». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обнаружили первое ограничение: не каждое число можно подставлять в выражение. Сейчас вспомним, какие действия с числами и выражениями помогут нам точно объяснить это ограничение».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о дроби, знаменателе, линейном уравнении и проверке подстановкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит игру «Верю — не верю» и показывает утверждения: «На ноль делить нельзя»; «Дробь с нулевым знаменателем равна нулю»; «Чтобы найти значение, при котором $x-7=0$, нужно решить уравнение». «Покажите зелёную карточку, если согласны, и красную, если нет. Каждое решение объясните». | Поднимают карточки; объясняют: «На ноль делить нельзя», «Дробь с нулевым знаменателем не имеет смысла», «Нужно решить уравнение $x-7=0$, поэтому $x=7$». |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает три коротких задания: $x+4=0$, $3x-6=0$, $2x+1=0$. «Решите уравнения устно или в тетради. Нам понадобятся именно те значения, при которых знаменатели могут обращаться в ноль». | Решают и называют ответы: $x=-4$, $x=2$, $x=-\frac{1}{2}$. Один ученик поясняет порядок действий у доски. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем решать уравнения и знаем, почему знаменатель не может быть нулём. Теперь объединим эти знания в общий алгоритм и проверим его на разных выражениях».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать понятие допустимого значения переменной и совместно определить план решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает выражения $\frac{x+1}{x-3}$ и $\frac{2x}{x^2-9}$. «Можно ли сказать, что любое значение переменной допустимо? Что нужно проверить в каждом выражении? Сформулируйте проблему урока». | Сравнивают выражения и отвечают: «Нужно проверить знаменатель». Формулируют проблему: «Как найти все значения, при которых выражение имеет смысл?» |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель фиксирует на доске понятие: «Допустимые значения переменной — это значения, при которых выражение имеет смысл». «Предложите план действий. Что проверим сначала, что сделаем затем?» | Предлагают и записывают план: «Найти знаменатели; приравнять их к нулю; исключить найденные значения; записать ответ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: научиться находить и записывать допустимые значения. Мы не будем заучивать длинное правило — сейчас сами проверим, как работает предложенный алгоритм».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания и практическая работа (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм поиска допустимых значений и применить его к выражениям с одним и несколькими знаменателями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует работу в парах. «Решим выражение $\frac{3x-1}{x+5}$. Сначала назовите знаменатель. Затем ответьте: при каком значении он равен нулю? Запишите ограничение и объясните, почему найденное число исключается». Учитель просит одну пару представить решение. | В парах выделяют знаменатель $x+5$, решают $x+5=0$, получают $x=-5$, записывают $x\ne-5$. Объясняют: «При $x=-5$ знаменатель равен нулю, поэтому выражение не имеет смысла». |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает второй пример: $\frac{x+2}{(x-1)(x+4)}$. «Здесь знаменатель состоит из произведения. Когда произведение равно нулю? Найдите оба значения, которые нужно исключить». Учитель направляет вопросами, но не сообщает ответ сразу. | Находят нули множителей: $x-1=0$, значит $x=1$; $x+4=0$, значит $x=-4$. Записывают $x\ne1$, $x\ne-4$ и формулируют: «Допустимы все действительные числа, кроме $1$ и $-4$». |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель формулирует общий алгоритм и записывает его на доске. «Внимательно проверьте: мы ищем не значения самого выражения, а значения переменной, при которых знаменатель равен нулю. Именно эти значения недопустимы». | Сверяют свои записи с алгоритмом, дополняют памятку и отмечают на числовой прямой точки $-4$ и $1$ как исключённые. |
Запись в тетрадях
Допустимые значения переменной — это значения, при которых выражение имеет смысл. Чтобы найти допустимые значения: 1) выделить все знаменатели; 2) приравнять каждый знаменатель к нулю; 3) найденные значения исключить; 4) записать ответ. Для выражения $\frac{x+2}{(x-1)(x+4)}$: $x\ne1$, $x\ne-4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели алгоритм и увидели, что несколько множителей в знаменателе дают несколько ограничений. Теперь проверим алгоритм в игре и научимся быстро находить ошибку».
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Математический детектив» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в заданиях разной сложности через поиск недопустимых значений и исправление типичных ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на пары и раздаёт конверты. «В каждом конверте три дела. За верное базовое дело — 1 балл, за повышенное — 2, за творческое — 3. Выберите, с какого дела начать, но решение каждого ответа должно содержать причину». | Открывают конверты, распределяют роли «аналитик» и «проверяющий», выбирают порядок выполнения. |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает карточки: 1) найти ограничения в $\frac{7}{x-6}$; 2) найти ограничения в $\frac{x}{x^2-16}$; 3) найти ошибку в решении: «Для $\frac{1}{x+3}$ допустимо $x=-3$, потому что числитель равен 1». «Обсуждайте не только ответ, но и шаг алгоритма, на котором допущена ошибка». | Решают: $x\ne6$; $x\ne4$, $x\ne-4$; исправляют ошибку: «При $x=-3$ знаменатель равен нулю, поэтому $x=-3$ недопустимо». |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит быструю проверку «Сигнал детектива». «Если согласны с ответом пары, покажите большой палец вверх; если обнаружили вопрос — горизонтально. Пара должна за 20 секунд доказать свой ответ». | Показывают сигнал, задают вопросы и кратко защищают решение. Фиксируют правильные ответы и исправляют неточности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Детективы установили главное: значение нельзя исключать по внешнему виду числителя — нужно обязательно проверить знаменатель. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет работать самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и предоставить возможность выбрать уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «Выберите карточку по готовности. Зелёная — обязательный минимум, синяя — повышенный уровень, красная — творческий. Можно начать с зелёной и перейти выше, если останется время. Критерий один для всех: не только ответ, но и объяснение причины». | Выбирают карточку, подписывают уровень и готовят место для решения. |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт задания. Зелёная: найти ограничения в $\frac{4}{x+2}$ и $\frac{x-1}{x-7}$. Синяя: найти ограничения в $\frac{2x+1}{(x-3)(x+5)}$ и $\frac{x}{x^2-25}$. Красная: придумать рациональное выражение с ровно двумя недопустимыми значениями и доказать, что выбранные значения действительно исключаются. | Индивидуально решают выбранные задания, выписывают знаменатели, решают соответствующие уравнения и формулируют ответ. Для творческого задания создают, например, $\frac{1}{(x-2)(x+6)}$, получают $x\ne2$, $x\ne-6$. |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит эталон на доску. «Проверьте решение по четырём вопросам: все ли знаменатели найдены; приравнял ли я каждый к нулю; исключил ли найденные значения; записал ли ответ полностью?» | Сверяют работу с эталоном, отмечают ошибки условными знаками, исправляют решение и ставят себе отметку по критериям. |
Эталон решения
Для $\frac{2x+1}{(x-3)(x+5)}$: знаменатель равен нулю, если $(x-3)(x+5)=0$. Поэтому $x-3=0$ или $x+5=0$, откуда $x=3$ или $x=-5$. Эти значения недопустимы. Ответ: $x\ne3$, $x\ne-5$, или $x\in\mathbb{R}\setminus\{-5;3\}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять к выражениям разной сложности. Осталось связать его с реальной задачей и сформулировать, какое правило нельзя забывать никогда».
Этап 7. Включение в систему знаний и творческое задание (4 мин)
Цель этапа: применить понятие допустимых значений в новом контексте и развить творческое мышление.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу «Проверка формулы». «Представьте, что вы создаёте программу для расчёта скорости по формуле $v=\frac{s}{t}$. Какое значение времени программа должна запретить? А если формула имеет вид $P=\frac{2a}{a-5}$, какое значение параметра нельзя вводить? Объясните, почему автоматическая проверка необходима». | Отвечают: «В формуле $v=\frac{s}{t}$ нельзя $t=0$; в формуле $P=\frac{2a}{a-5}$ нельзя $a=5$». Объясняют, что деление на ноль невозможно и программа должна сообщить об ошибке ввода. |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Конструктор выражений». «Составьте за две минуты выражение с одной недопустимой точкой, а затем обменяйтесь с соседом и найдите её. Усложнение: составьте выражение с тремя недопустимыми значениями». | Создают выражения, например $\frac{3}{x-4}$ или $\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-5)}$, передают соседу, находят ограничения и проверяют решение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что допустимые значения нужны не только в учебных примерах: без них формула может привести к ошибке вычисления или сбою программы. Теперь зафиксируем личный результат урока».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт или показывает лист самооценки. «Закончите три фразы: “Теперь я умею…”, “Мне нужно ещё потренироваться…”, “Главное правило урока…”» | Заполняют лист самооценки: «Теперь я умею находить нули знаменателя», «Мне нужно потренироваться в выражениях с несколькими знаменателями», «Знаменатель не может быть равен нулю». |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание по уровням и задаёт контрольный вопрос: «Что нужно проверить первым делом в любом рациональном выражении? Почему нельзя просто подставлять любое число?» | Записывают выбранный уровень задания, отвечают: «Сначала нужно найти знаменатели; нельзя подставлять любое число, потому что знаменатель может стать нулём». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились находить значения, которые нельзя использовать в рациональном выражении, и объяснять причину ограничения. Вы выбирали уровень сложности, проверяли друг друга и создавали собственные примеры. На следующем уроке мы продолжим работать с рациональными выражениями и будем выполнять преобразования, не нарушая область допустимых значений».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, для каждого ограничения записан знаменатель и уравнение, объяснение содержит причину исключения; в творческом задании создано корректное выражение и доказаны все ограничения.
- «4» — верно выполнены основные задания, допущена одна неточность в записи или объяснении, но алгоритм применён правильно и ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — найдено хотя бы одно недопустимое значение в базовых заданиях, но допущены ошибки при работе с несколькими знаменателями или неполно записано обоснование.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно проверить первым делом в рациональном выражении? | Выявление понимания ключевого шага алгоритма. |
Почему значение, обращающее знаменатель в ноль, является недопустимым? | Проверка осознания математической причины ограничения. |
Какое задание оказалось для вас самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения и планирование коррекции. |
Какой уровень задания вы выбрали и что помогло вам справиться? | Осознание собственной стратегии и готовности к дальнейшему обучению. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить допустимые значения переменных и увидели, что главное правило связано со знаменателем: он не должен быть равен нулю. Типичная ошибка — проверить только числитель или записать найденное значение как допустимое, поэтому всегда выполняйте четыре шага алгоритма. Вы проявили самостоятельность, умение сотрудничать и готовность выбирать подходящий уровень. На следующем уроке мы применим это правило при преобразовании рациональных выражений».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения с одним знаменателем и найти их допустимые значения: два выражения с линейным знаменателем и два выражения, где знаменатель содержит числовой коэффициент. Для каждого решения выписать знаменатель и уравнение. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на поиск нуля знаменателя и запись ограничения. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 выражений с произведением или квадратом в знаменателе, например выражения типа $\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}$ и $\frac{2x}{x^2-16}$. Записать ответ двумя способами: ограничениями и через множество. | Развивает умение находить несколько недопустимых значений и использовать математическую символику. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-набор из трёх выражений: с одним, двумя и тремя недопустимыми значениями. Обменяться заданиями с одноклассником или членом семьи, проверить решения и письменно объяснить одну найденную ошибку. | Формирует умение конструировать математическую задачу, аргументировать решение и видеть типичные ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется допустимым значением переменной? Как найти недопустимые значения? Почему в выражении $\frac{1}{x-8}$ число $8$ исключается? Сколько ограничений может быть у выражения с несколькими множителями в знаменателе?»
