Свойства арифметического корня натуральной степени. Действия с арифметическим корнем n-й степени
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять свойства арифметического корня натуральной степени при преобразовании выражений, выполнении вычислений и решении задач не менее чем в 4 из 5 предложенных случаев, объясняя выбор свойства.
- Закрепить свойства арифметического корня: корень из произведения и частного, вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.
- Отработать действия с корнями одинаковой степени: умножение, деление, возведение корня в степень и извлечение корня из степени.
- Развивать умение анализировать выражение, выбирать рациональный способ преобразования и проверять допустимость выполненных действий.
- Формировать ответственное отношение к математическим преобразованиям, взаимопомощь при парной и групповой работе и готовность аргументировать решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точных алгебраических преобразований для дальнейшего изучения математики и подготовки к обучению в вузе.
- Проявляют настойчивость при поиске способа преобразования выражения и корректно относятся к ошибкам как к источнику дальнейшего обучения.
- Оценивают собственный уровень владения свойствами корней и определяют индивидуальную учебную цель на следующий урок.
- Соблюдают математическую культуру записи и ответственность за результат совместной работы.
Метапредметные
- Планируют последовательность преобразований, сопоставляют полученный результат с условием и выполняют самопроверку по эталону.
- Выделяют существенные признаки выражения и классифицируют задания по применяемому свойству.
- Работают с формулировками учебника, извлекают необходимое правило и переводят его в алгоритм действий.
- Аргументируют решение в паре и группе, задают уточняющие вопросы и корректно оценивают решение одноклассника.
Предметные
- Знать свойства арифметического корня натуральной степени при неотрицательных подкоренных выражениях.
- Уметь преобразовывать произведения и частные корней одинаковой степени.
- Уметь выносить множитель из-под знака корня и вносить положительный множитель под знак корня.
- Уметь вычислять и упрощать выражения, содержащие корни различных степеней, выбирая рациональный порядок действий.
- Владеть способом проверки результата подстановкой или оценкой его величины.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и соотносят результат с выбранным уровнем сложности.
- Осознают необходимость аккуратной записи условий применимости свойств корня.
- Проявляют готовность принимать аргументированную обратную связь от партнёра и учителя.
- Связывают навык преобразования выражений с решением более сложных алгебраических задач.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и составляют план преобразования выражения.
- Контролируют наличие условий применимости свойств и отсутствие недопустимых преобразований.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и вносят коррекцию.
- Оценивают результат по заданным критериям и выбирают дальнейший уровень задания.
Познавательные УУД
- Воспроизводят и систематизируют свойства арифметического корня натуральной степени.
- Устанавливают связь между свойствами степеней и действиями с корнями.
- Анализируют структуру выражения и выбирают наиболее короткий алгоритм преобразования.
- Моделируют общий способ решения на конкретном примере и проверяют его на другом выражении.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: вычислитель, контролёр условия, оформитель и докладчик.
- Формулируют полный устный ответ с указанием применённого свойства.
- Задают партнёру вопросы о каждом переходе в решении и аргументированно предлагают исправление.
- Согласуют общий вариант решения и представляют его классу в установленное время.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с формулировками свойств корня и предупреждением: подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить групповые конверты с заданиями и листами-эталонами: один комплект на каждую группу из 4 человек.
- Подготовить карточки для парной работы с выражениями $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$, $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a^n}$ — по одной на пару.
- Вывести на доску алгоритм: определить степень корня; проверить условия; выбрать свойство; преобразовать; проверить результат.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии и самопроверки.
- Распечатать лист самооценки на каждого ученика с пунктами «Я умею применять свойства», «Я нахожу ошибку», «Мне нужна помощь».
- Подготовить проектор или интерактивную доску, таймер на 3–5 минут и маркеры для групповой работы.
- Предусмотреть учебник как источник формулировок и дополнительных заданий без указания конкретных страниц и номеров.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и обозначить практическую значимость точных преобразований с корнями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы не будем просто перечислять свойства корня, а проверим, насколько уверенно вы умеете выбирать нужное свойство в незнакомом выражении. Подготовьте тетради, ручки и учебник. На доске записано выражение $\sqrt[3]{24}\cdot\sqrt[3]{9}$. Быстро оцените, можно ли его упростить точнее." | Открывают тетради и учебник, рассматривают выражение, предполагают: "Можно объединить корни и получить корень из произведения". |
2 мин | Учитель показывает рядом два способа: $\sqrt[3]{24}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{216}=6$ и преобразование каждого корня отдельно. Спрашивает: "Какой способ быстрее? Какое свойство позволяет выполнить первый переход? Сегодня наша задача — научиться видеть такой способ заранее." | Сравнивают способы, называют свойство произведения корней и формулируют цель: "Уметь быстро преобразовывать выражения с корнями и объяснять каждый переход". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же результат можно получить разными путями. Теперь вспомним свойства, которые помогут выбирать самый рациональный путь."
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (5 мин)
Цель этапа: восстановить формулировки свойств и условия их применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Заполните устно пропуски. При неотрицательных $a$ и $b$ корень произведения равен чему? А корень частного? Что происходит, если подкоренное выражение является полной степенью?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Фронтально дополняют формулы: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$; $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, $b>0$; $\sqrt[n]{a^n}=a$ при $a\geq0$. |
3 мин | Учитель предлагает устно классифицировать выражения: $\sqrt[5]{32}$, $\sqrt[3]{54}$, $\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$. Спрашивает: "Какое действие выполняем первым в каждом случае? Не забывайте проговаривать условие." | Называют алгоритмы: "В первом случае извлекаем корень из полной степени"; "во втором выделяем полный куб"; "в третьем объединяем корни в частное". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойства вы вспомнили, но в реальных выражениях их нужно не только знать, а правильно распознавать. Проверим это через проблемный диалог."
Этап 3. Проблемный диалог и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки и сформулировать критерии правильного преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает ошибочное рассуждение: $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$. "Согласны ли вы с таким переходом? Приведите контрпример. Что именно нарушено?" Учитель направляет Сократовский диалог вопросами: "Что получится слева при $a=9$, $b=16$? А справа?" | Проверяют: слева $\sqrt{25}=5$, справа $3+4=7$. Делают вывод: "Свойство суммы не существует". |
2 мин | Учитель формулирует критерии: "Сегодня каждое решение должно содержать три элемента: выбранное свойство, корректное преобразование и проверку результата. Выберите для себя обязательный и повышенный уровень работы." | Записывают цель и критерии, выбирают базовый или повышенный уровень, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что корень нельзя распределять по сумме. Теперь систематизируем допустимые свойства и применим их сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 4. Групповая работа. Систематизация свойств (8 мин)
Цель этапа: обобщить свойства корня и отработать выбор способа преобразования в сотрудничестве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека и раздаёт конверты. "В каждой группе распределите роли: вычислитель, контролёр условий, оформитель и докладчик. В конверте четыре выражения: $\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}$; $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$; $\sqrt[4]{80}$; $\sqrt[3]{2^6}$. Для каждого укажите свойство и краткий алгоритм." | Распределяют роли, читают задания, выделяют условия применимости. |
4 мин | Учитель наблюдает и задаёт вопросы: "Почему в первом выражении выгодно объединить корни? Как выделить полный множитель в $\sqrt[4]{80}$? Какая запись будет наиболее компактной?" При необходимости напоминает алгоритм на доске. | Выполняют преобразования в группе: $\sqrt[3]{64}=4$; $\sqrt[5]{32}=2$; $\sqrt[4]{16\cdot5}=2\sqrt[4]{5}$; $\sqrt[3]{2^6}=2^2=4$. Контролёр проверяет свойства и условия. |
2 мин | Учитель организует краткую защиту: "Докладчик каждой группы назовите одно выражение, свойство и результат. Остальные группы показывают зелёный стикер, если согласны, и жёлтый, если требуют пояснения." | Докладчики представляют решения, остальные сравнивают их с собственными записями, задают вопросы и корректируют ошибки. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Ученики фиксируют алгоритм: 1) определить степень корня; 2) проверить неотрицательность подкоренных выражений; 3) выбрать свойство; 4) выделить полную степень; 5) выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группа помогла нам увидеть общий алгоритм. Теперь проверим, сможете ли вы применить его в паре, объясняя каждый переход партнёру."
Этап 5. Парная работа. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить преобразование произведений, частных и выражений с вынесением множителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и говорит: "Сначала 30 секунд подумайте молча, затем обсудите решение. Один ученик объясняет первый переход, второй проверяет условия и продолжает решение, после чего поменяйтесь ролями." | Читают карточки, индивидуально намечают способ решения. |
4 мин | Учитель предлагает задания: $\sqrt[3]{12}\cdot\sqrt[3]{18}$; $\frac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}}$; $\sqrt[5]{96}$; $3\sqrt[3]{4}$. Напоминает: "Не записывайте только ответ. Обязательно назовите свойство, которым пользуетесь." | В парах получают результаты: $\sqrt[3]{216}=6$; $\sqrt[4]{81}=3$; $\sqrt[5]{32\cdot3}=2\sqrt[5]{3}$; $3\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{27\cdot4}=\sqrt[3]{108}$. |
2 мин | Учитель просит две пары разобрать разные задания у доски и организует взаимопроверку: "Сравните решение с эталоном. Отметьте две сильные стороны и одно пожелание." | Представляют решения, выполняют взаимопроверку по критериям, формулируют замечания: "Свойство названо; условие соблюдено; запись можно сделать короче". |
Эталон решения
$\sqrt[3]{12}\cdot\sqrt[3]{18}=\sqrt[3]{216}=6$. $\frac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}}=\sqrt[4]{81}=3$. $\sqrt[5]{96}=\sqrt[5]{32\cdot3}=\sqrt[5]{32}\cdot\sqrt[5]{3}=2\sqrt[5]{3}$. В последнем выражении множитель можно внести под знак корня: $3\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{3^3\cdot4}=\sqrt[3]{108}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы не только получили ответы, но и проверили ход рассуждений. Теперь каждый самостоятельно покажет, какой уровень сложности ему доступен сегодня."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение применять свойства корня и выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Базовый уровень выполняют все. Средний выбирают те, кто уверенно справился с базовым. Продвинутый можно взять дополнительно. Работайте самостоятельно, решения оформляйте полностью." | Выбирают карточку, записывают номер уровня и приступают к работе. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый: $\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{25}$; $\sqrt[4]{48}$; $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$. Средний: $2\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{81}$; $\sqrt[4]{18}\cdot\sqrt[4]{8}$. Продвинутый: объяснить, почему выражение $\sqrt{x+y}=\sqrt x+\sqrt y$ неверно, и предложить корректное преобразование конкретного выражения $\sqrt{45}$. | Решают индивидуально, проговаривают про себя выбранное свойство, выделяют полные степени и проверяют результат оценкой величины. |
2 мин | Учитель выводит эталон: $5$; $2\sqrt[4]{3}$; $3$; $2\sqrt[3]{12}-3\sqrt[3]{3}$; $\sqrt[4]{144}=2\sqrt3$; $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5$. "Проверьте не только ответ, но и каждый переход." | Сверяют решения, отмечают место ошибки, исправляют записи и заполняют лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какое свойство уже стало устойчивым, а где ещё нужна тренировка. Завершим урок творческим заданием и общей рефлексией."
Этап 7. Творческое задание и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить свойства корня в созданной учащимися задаче и осмыслить индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает: "Создайте выражение, которое начинается с корня пятой степени, после одного-двух преобразований упрощается до $2\sqrt[5]{3}$. Запишите его и объясните соседу, какие свойства использованы." | Создают, например, $\sqrt[5]{96}$, преобразуют его в $2\sqrt[5]{3}$, объясняют решение партнёру. |
3 мин | Учитель организует рефлексию «Светофор»: "Зелёный — уверенно применяю свойства; жёлтый — иногда путаю порядок действий; красный — нужна помощь. На стикере допишите: какое свойство вы теперь можете объяснить и какой вопрос остался." | Выбирают цвет стикера, записывают личный результат и прикрепляют стикер к доске, формулируют вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы систематизировали свойства корня, применили их в группе, паре и индивидуально, а затем сами создали корректное выражение. Теперь зафиксируем домашнюю работу и контрольные вопросы."
Этап 8. Итог урока и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, сообщить домашнее задание и обозначить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель спрашивает: "Какое свойство использовали чаще всего? Как проверить, что преобразование допустимо? Какая ошибка является принципиальной?" Подводит итог: "Главное — не механически переносить множители, а видеть полную степень и соблюдать условия." | Отвечают: "Нужно проверить неотрицательность подкоренного выражения"; "нельзя раскрывать корень суммы"; "полную степень можно вынести из-под корня". |
3 мин | Учитель показывает таблицу домашнего задания: "Выберите уровень осознанно. Перед выходом ответьте письменно на контрольный вопрос: почему $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ нельзя применять без проверки условий?" | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольный вопрос и сдают лист самооценки при выходе. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, корректно названы свойства, соблюдены условия применимости, преобразования записаны последовательно и выполнена проверка результата.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но свойства выбраны правильно и ход решения понятен.
- «3» — выполнено не менее 60% заданий, имеются ошибки в одном из свойств или в выделении полной степени, однако основная идея преобразований распознана.
- Результат групповой работы учитывается как формирующая обратная связь: оцениваются аргументация, вклад участника и корректность взаимопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство корня вы сегодня применяли наиболее уверенно? | Выявление освоенного способа и осознание собственного результата. |
На каком шаге преобразования выражения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Как вы проверяете, что преобразование корня выполнено допустимо? | Проверка понимания условий применимости свойств. |
Какое задание вы готовы решить на следующем уроке без подсказки? | Субъективная оценка уровня самостоятельности и учебной мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали свойства арифметического корня и увидели, что успех зависит не только от знания формулы, но и от выбора способа преобразования. Особенно внимательно проверяйте условия применимости и не распределяйте корень по сумме или разности. Вы уже умеете объяснять решение партнёру и создавать собственные корректные выражения. На следующем уроке мы продолжим преобразования выражений и рассмотрим более сложные комбинации степеней и корней."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на умножение и деление корней одинаковой степени, вынесение полного множителя из-под знака корня и проверку результата. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на условия применимости и последовательность записи. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 выражения смешанного типа, включающие внесение множителя под знак корня, сокращение частного корней и упрощение суммы подобных радикалов. | Развивает выбор рационального порядка действий; проверить, объединены ли только корни одинаковой степени и вида. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две собственные задачи: одну на доказательство ошибочности преобразования корня суммы, другую — на применение нескольких свойств корня в одном выражении; кратко объяснить каждый переход. | Развивает исследовательское и творческое мышление; при проверке оценить корректность условий, доказательства и математической записи. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как преобразовать произведение корней одинаковой степени?», «Как вынести множитель из-под знака корня?», «Почему нельзя считать, что корень из суммы равен сумме корней?», «Как проверить ответ после преобразования?»
Этап урока | Время | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Формы работы | Планируемый результат |
|---|---|---|---|---|---|
Организационный момент и мотивация | 3 мин | Приветствует класс, предлагает оценить выражение с корнями, формулирует практическую значимость темы. | Анализируют выражение, предлагают способ упрощения, формулируют цель урока. | Фронтальная | Включение в учебную деятельность; принятие цели урока. |
Актуализация знаний | 5 мин | Организует воспроизведение свойств арифметического корня и условий их применения. | Вспоминают свойства, классифицируют выражения, проговаривают алгоритмы. | Фронтальная | Актуализированы знания о произведении, частном и полной степени. |
Проблемный диалог и целеполагание | 4 мин | Предъявляет ошибочное равенство корня суммы, организует поиск контрпримера, формулирует критерии правильного решения. | Находят ошибку, приводят контрпример, формулируют критерии преобразования. | Фронтальная | Различают допустимые и недопустимые преобразования; определяют критерии успеха. |
Групповая работа. Систематизация свойств | 8 мин | Распределяет учащихся по группам и ролям, предлагает выражения для преобразования, организует защиту решений. | Распределяют роли, решают задания, объясняют выбор свойства, проводят взаимопроверку. | Групповая | Умеют выбирать свойство, соблюдать условия и аргументировать решение. |
Парная работа. Первичное закрепление | 7 мин | Раздаёт карточки, напоминает порядок работы и требования к записи, организует проверку. | Преобразуют произведения и частные корней, выносят и вносят множители, объясняют решение партнёру. | Парная | Закрепляют алгоритм действий с корнями одинаковой степени. |
Самостоятельная работа с дифференциацией | 8 мин | Предлагает задания базового, среднего и продвинутого уровней, выводит эталон, организует самопроверку. | Самостоятельно решают задания выбранного уровня, сверяют решения, исправляют ошибки, оценивают результат. | Индивидуальная | Диагностируют уровень освоения темы и выполняют самоконтроль. |
Творческое задание и рефлексия | 5 мин | Предлагает составить собственное выражение, организует рефлексию «Светофор». | Создают и объясняют выражение, оценивают степень уверенности, формулируют затруднения. | Индивидуальная, парная | Применяют свойства в новой ситуации, осознают результат и затруднения. |
Итог урока и домашнее задание | 5 мин | Проводит итоговую беседу, задаёт контрольные вопросы, сообщает дифференцированное домашнее задание. | Отвечают на вопросы, фиксируют домашнее задание, формулируют вывод. | Фронтальная | Подводят итог, определяют дальнейший шаг в обучении. |
Итого | 45 мин | — | — | — | Достигнута цель урока: учащиеся применяют свойства арифметического корня при преобразовании выражений и объясняют выбор способа. |
Карточка самостоятельной работы | Задание | Ответ или критерий самопроверки |
|---|---|---|
Базовый уровень | 1) $\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{25}$; 2) $\sqrt[4]{48}$; 3) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$. | $5$; $2\sqrt[4]{3}$; $3$. Назвать применённое свойство и проверить условия. |
Средний уровень | 1) $2\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{81}$; 2) $\sqrt[4]{18}\cdot\sqrt[4]{8}$. | $2\sqrt[3]{12}-3\sqrt[3]{3}$; $\sqrt[4]{144}=2\sqrt{3}$. Обосновать каждый переход. |
Продвинутый уровень | Объяснить, почему $\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ неверно, и упростить $\sqrt{45}$. | Контрпример: при $x=9$, $y=16$ получаем $5\ne7$; $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. |
Самопроверка | Проверить степень корня, неотрицательность подкоренного выражения, выбранное свойство и результат. | За каждый корректный этап — 1 балл; всего 4 балла. |
Уровень домашнего задания | Задания карточки | Критерии выполнения |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 выражений: произведение и частное корней одинаковой степени, вынесение полного множителя и проверка результата. | Правильно применены свойства, указаны условия, решение записано последовательно. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 выражения смешанного типа: внести множитель под знак корня, сократить частное корней и упростить сумму подобных радикалов. | Объединяются только корни одинаковой степени; преобразования обоснованы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 задачи: на ошибочность преобразования корня суммы и на применение нескольких свойств в одном выражении. | Есть условие, решение, объяснение каждого перехода и проверка результата. |
Контрольный вопрос | Почему равенство $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ нельзя применять без проверки условий? | Указано, что подкоренные выражения должны быть допустимыми, а при делении дополнительно требуется ненулевой знаменатель. |
