Степенная функция с натуральным и целым показателем: свойства и график
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать функции вида $y=x^n$ и $y=x^n$ при целом показателе $n$, определять их область определения, область значений, чётность и монотонность, а также строить и анализировать графики по заданному показателю.
- Сформировать представление о различиях графиков степенной функции при натуральном чётном, натуральном нечётном и отрицательном целом показателях.
- Научиться применять свойства степенной функции при решении практических и экзаменационных заданий разного уровня сложности.
- Развивать умение выдвигать гипотезу по таблице значений, проверять её с помощью графика и аргументировать вывод.
- Воспитывать аккуратность при построении графиков, самостоятельность выбора уровня задания и ответственность за результат общей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение анализа функций для дальнейшего изучения математики, физики, экономики и подготовки к профессиональному обучению.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания и оценивать собственный результат.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и графическому представлению данных.
- Принимают необходимость проверки гипотезы не отдельным примером, а исследованием нескольких значений.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста учебника, таблицы значений и графического изображения.
- Сравнивают функции с разными показателями и структурируют свойства в таблице.
- Планируют последовательность построения графика и осуществляют самопроверку по контрольным точкам.
- Формулируют выводы, участвуют во фронтальном обсуждении и аргументируют ответы математическими свойствами.
Предметные
- Знают определение степенной функции и различают натуральный и целый показатель степени.
- Умеют определять область определения функций $y=x^n$ и $y=x^{-n}$, учитывая ограничения на деление на нуль.
- Умеют устанавливать чётность и нечётность функции по формуле и по графику.
- Умеют описывать промежутки возрастания и убывания, область значений и симметрию графика.
- Умеют строить графики функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$ и функций, полученных на их основе при других показателях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы: научиться видеть свойства функции по её формуле и графику.
- Осознают связь точности математического рассуждения с достоверностью полученного результата.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Оценивают собственное продвижение по критериям успешности урока.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования графиков и планируют последовательность действий.
- Контролируют правильность вычисления значений функции и расположения точек на координатной плоскости.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и билета на выход.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки степенной функции среди других функций.
- Сравнивают таблицы значений и графики функций с чётными, нечётными и отрицательными показателями.
- Устанавливают причинно-следственную связь между показателем степени и симметрией графика.
- Моделируют график по нескольким опорным точкам и проверяют гипотезу на дополнительных значениях.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ по плану: область определения, область значений, чётность, монотонность, график.
- Участвуют во фронтальном обсуждении и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют выбор графика и корректно анализируют типичные ошибки одноклассников.
- Используют математическую терминологию при объяснении свойств функции.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$ и координатными сетками без готовых названий графиков.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые задания — по одной на каждого ученика, повышенные — по одной на парту, дополнительные — по одной на группу.
- Подготовить таблицу для заполнения свойств функций: область определения, область значений, чётность, монотонность, симметрия.
- Подготовить лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран алгоритм исследования функции: формула — область определения — чётность — монотонность — опорные точки — график.
- Подготовить координатные листы или миллиметровую бумагу по одному листу на каждого ученика.
- Предусмотреть работу с текстом учебника по теме: учащиеся используют определение и свойства, но выполняют задания без привязки к номерам страниц.
- Подготовить цветные маркеры или карточки для фронтального приёма «Светофор».
- Проверить наличие проектора, интерактивной доски или обычной доски с координатными осями и тетрадей в клетку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать практическую значимость анализа степенной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам предстоит не просто повторить формулы степеней, а выяснить, как показатель степени меняет поведение функции и её график. Проверьте, что на столе есть тетрадь, линейка и ручка. На уроке вы сможете выбрать базовый, повышенный или дополнительный уровень работы." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради и готовят координатные листы. |
2 мин | Учитель показывает на доске функции $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=\frac{1}{x}$ и спрашивает: "На первый взгляд эти графики сильно различаются. Как вы думаете, что именно в формуле отвечает за их различие? Какие свойства можно определить, даже не вычисляя много значений?" Учитель фиксирует гипотезы учащихся. | Формулируют предположения: "За различие отвечает показатель степени", "можно определить симметрию", "по графику можно увидеть область определения и монотонность". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши гипотезы на конкретных функциях и составим удобный алгоритм исследования степенной функции. Сначала вспомним необходимые свойства степеней и графиков."
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила степеней, понятия области определения, чётности и монотонности функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Вычислите устно: $2^3$, $(-2)^4$, $(-2)^5$, $5^0$. Что происходит со знаком степени при отрицательном основании? Чем отличаются чётный и нечётный показатели?" Учитель просит объяснять, а не только называть ответ. | Отвечают: "$2^3=8$, $(-2)^4=16$, $(-2)^5=-32$, $5^0=1$"; формулируют: "При чётном показателе результат неотрицателен, при нечётном знак сохраняется". |
3 мин | Учитель записывает на доске функции $f(x)=x^4$ и $g(x)=x^5$ и спрашивает: "Как проверить чётность функции? Что означает возрастание функции на промежутке? Может ли функция $y=\frac{1}{x}$ быть определена при $x=0$?" Учитель отмечает затруднение: отрицательный показатель требует отдельного анализа области определения. | Отвечают: "Для чётной функции $f(-x)=f(x)$, для нечётной $f(-x)=-f(x)$"; объясняют смысл возрастания; отвечают: "При $x=0$ функция $1/x$ не определена". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили правила степеней и критерии чётности. Но пока нам нужно объединить эти знания в единую систему для разных показателей. Именно это станет задачей следующего этапа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить учебную проблему и совместно сформулировать план исследования степенной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить две функции: $f(x)=x^4$ и $g(x)=x^{-4}$. Реплика: "Обе функции связаны с четвёртой степенью, но одна имеет положительный, а другая отрицательный показатель. Можно ли для них использовать один и тот же график? Какие вопросы необходимо задать о каждой функции?" | Сравнивают формулы и предполагают: "Графики не будут одинаковыми", "нужно исследовать область определения, значения и поведение около нуля". |
2 мин | Учитель записывает план на доске: "1. Определить область определения и область значений. 2. Исследовать чётность. 3. Установить монотонность. 4. Выбрать опорные точки и построить график. 5. Сравнить результат с графиками из учебника." Учитель спрашивает: "Согласны ли вы с таким планом? Что добавим?" | Принимают план, предлагают добавить проверку симметрии и самопроверку по контрольным точкам. Записывают тему и план исследования. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования у нас есть. Теперь проверим его сначала на функциях с натуральным показателем, а затем увидим, что меняется при отрицательном целом показателе."
Этап 4. Открытие нового знания и работа с графиками (11 мин)
Цель этапа: вывести основные свойства степенной функции с натуральным и отрицательным целым показателем через вычисления и анализ графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт таблицу для функций $y=x^2$ и $y=x^3$ и говорит: "Заполните значения при $x=-2,-1,0,1,2$. Не спешите строить график: сначала рассмотрите знаки и сравните значения при противоположных аргументах. Какая симметрия должна получиться?" Учитель показывает на доске первые вычисления. | Заполняют таблицу: для $y=x^2$ получают $4,1,0,1,4$, для $y=x^3$ получают $-8,-1,0,1,8$. Делают вывод: график $x^2$ симметричен относительно оси $Oy$, график $x^3$ — относительно начала координат. |
4 мин | Учитель обращается к тексту учебника: "Найдите в тексте определение степенной функции и свойства графиков для чётного и нечётного натурального показателя. Сверьте с таблицей и сформулируйте общий вывод. Для чётного показателя рассмотрим $y=x^{2k}$, для нечётного — $y=x^{2k+1}$." Учитель уточняет: "Что происходит на промежутке $[0;+\infty)$?" | Читают фрагмент учебника, выделяют определения, формулируют: "При чётном показателе функция принимает неотрицательные значения и возрастает на $[0;+\infty)$; при нечётном показатель функция возрастает на всей числовой прямой". |
3 мин | Учитель записывает $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ и $y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ и говорит: "Теперь обратите внимание на отрицательный показатель. Почему $x=0$ исключается? Что произойдёт со знаком значений $y=x^{-3}$ при отрицательном $x$? Посмотрите на таблицу и на схематичный график." | Отвечают: "Нулевой аргумент исключается, потому что возникает деление на нуль"; устанавливают, что $y=1/x^2$ положительна при $x\ne0$, а $y=1/x^3$ сохраняет знак аргумента. Записывают асимптоты $x=0$ и $y=0$ как линии, к которым приближается график. |
Запись в тетрадях
Степенная функция имеет вид $y=x^n$, где $n$ — действительное число; в рамках урока рассматриваются натуральные и целые показатели. При $n>0$ область определения — все действительные числа. При $n<0$ функция записывается как $y=\frac{1}{x^{-n}}$, поэтому $x=0$ исключается. Для чётного натурального показателя график симметричен относительно оси $Oy$; для нечётного натурального показателя — относительно начала координат. Для отрицательных показателей график не пересекает оси координат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что показатель определяет не только форму графика, но и его симметрию, область определения и поведение около нуля. Теперь закрепим алгоритм на конкретных функциях и проговорим каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление. Фронтальная практика (7 мин)
Цель этапа: научить применять алгоритм исследования функции при совместном разборе типовых заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает задание: "Исследуйте функцию $y=x^4$: укажите область определения и область значений, установите чётность, назовите промежутки монотонности и постройте эскиз графика по пяти точкам." Учитель ведёт решение вопросами: "Как проверим чётность? Какую точку обязательно отметим? Где график имеет наименьшее значение?" | Фронтально называют: $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[0;+\infty)$, функция чётная; убывает на $(-\infty;0]$ и возрастает на $[0;+\infty)$. Строят точки $(-2;16)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;16)$ и эскиз. |
3 мин | Учитель предлагает задание на сравнение: "Выберите верное утверждение о функции $y=x^{-2}$: А) область определения — все действительные числа; Б) график симметричен относительно оси $Oy$; В) график пересекает ось $Ox$; Г) функция принимает отрицательные значения. Объясните выбор." | Выбирают вариант Б, обосновывают: $f(-x)=f(x)$; дополнительно указывают $D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $E(f)=(0;+\infty)$, пересечения с осями нет. |
Эталон решения
Для $y=x^4$: $D(f)=\mathbb{R}$; $f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$, поэтому функция чётная; $E(f)=[0;+\infty)$; функция убывает на $(-\infty;0]$ и возрастает на $[0;+\infty)$. Для построения используются точки $(-2;16)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;16)$, затем точки соединяются плавной линией с учётом симметрии.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы не пропускаем ни одного свойства. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно, а уровень задания можно выбрать с учётом своей готовности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение свойств степенной функции и обеспечить заданиями разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке 1 — обязательный базовый уровень, на карточке 2 — повышенный, на карточке 3 — дополнительное исследовательское задание. Выберите карточку самостоятельно. Если сомневаетесь, начинайте с первой: качество рассуждения важнее количества." | Выбирают карточку, записывают номер уровня и приступают к работе индивидуально. |
5 мин | Учитель контролирует работу и адресно помогает вопросами, не сообщая готовый ответ. Базовая карточка: "Исследуйте $y=x^3$: найдите область определения, область значений, установите чётность и постройте график по пяти точкам." Повышенная карточка: "Сравните $y=x^4$ и $y=x^6$ на промежутке $[0;1]$ и вне этого промежутка." Дополнительная карточка: "Исследуйте $y=x^{-3}$ и объясните расположение ветвей графика." | Решают выбранное задание. В базовой карточке строят точки и формулируют свойства; в повышенной сравнивают значения функций; в дополнительной указывают область определения, нечётность, асимптоты и интервалы монотонности. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон ключевых результатов и говорит: "Проверьте не только ответ, но и ход рассуждения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно уточнить, красным — ошибку. Исправления выполняйте рядом, не стирая первоначальный вариант." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, ставят отметку о выполнении каждого пункта алгоритма. Два ученика кратко комментируют наиболее типичную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что одна и та же последовательность действий подходит для разных показателей. Осталось связать свойства отдельных функций с общей системой знаний и проверить, что каждый может объяснить свой результат."
Этап 7. Рефлексия, обобщение и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить изученные свойства, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который описывает ваше состояние. Зелёный — могу исследовать функцию самостоятельно, жёлтый — путаюсь в одном свойстве, красный — нужна помощь с алгоритмом. Теперь назовите один шаг, который нельзя пропускать при исследовании." | Показывают карточки, формулируют: "Нельзя забывать область определения", "для чётности нужно вычислить $f(-x)$", "при отрицательном показателе нельзя брать $x=0$". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите кратко: 1) чем отличаются графики $y=x^2$ и $y=x^{-2}$; 2) какое свойство функции вы определяете первым; 3) какой вопрос по теме остался." Затем сообщает домашнюю работу по уровням. | Заполняют билет на выход, записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты выбранной карточки, корректно определены область определения, чётность и монотонность, график построен по опорным точкам с соблюдением масштаба и исправлены ошибки при самопроверке.
- «4» — выполнены основные пункты задания, допущена одна неточность в описании промежутков или построении графика, не влияющая на общий вывод.
- «3» — правильно определены формула и область определения, но допущены две ошибки в свойствах, таблице значений или графике; алгоритм применён неполно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие свойства функции можно определить непосредственно по её формуле? | Проверка осознания алгоритма исследования и его последовательности. |
Почему для функции с отрицательным показателем исключается значение $x=0$? | Выявление понимания связи отрицательной степени с делением на нуль. |
Как показатель степени влияет на симметрию графика? | Проверка понимания различий между чётным и нечётным показателями. |
Какой шаг построения графика оказался самым сложным? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что показатель степени определяет область определения, симметрию и характер поведения графика степенной функции. Особенно внимательно нужно проверять значение $x=0$ при отрицательном показателе и не путать область значений с областью определения. Вы научились исследовать функцию по единому алгоритму и выбирать уровень задания самостоятельно. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать графики степенных функций и применять их свойства при решении уравнений и неравенств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на исследование функций $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-2}$ и $y=x^{-3}$: для каждой указать область определения, область значений, чётность и построить график по опорным точкам. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на исключение $x=0$, симметрию и правильность масштаба. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на сравнение графиков и свойств функций $y=x^4$, $y=x^6$, $y=x^{-2}$: определить промежутки монотонности и установить, какая функция больше на заданном промежутке. | Развивает применение свойств и сравнение функций; проверять обоснование, а не только итоговый знак сравнения. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить исследовательское сообщение на одну страницу: сравнить графики $y=x^{-1}$ и $y=x^{-3}$, построить их на одной координатной плоскости и объяснить поведение при $x\to0$ и при $|x|\to\infty$. | Развивает анализ, математическую аргументацию и связь формулы с поведением графика; проверять наличие графика, предельных наблюдений и вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выглядит общий вид степенной функции?», «Какие значения аргумента исключаются при отрицательном показателе?», «Как по показателю определить симметрию графика?», «Какие этапы входят в алгоритм исследования функции?»
