Элементарное исследование и построение графиков функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять элементарное исследование функции по формуле и строить её график, определяя область определения, нули, промежутки знакопостоянства, монотонность, экстремумы и используя не менее четырёх характеристик для обоснования построения.
- Научиться переводить аналитическую информацию о функции в графическую модель и, наоборот, извлекать свойства функции из её графика.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их по таблице значений и формуле, аргументировать математические выводы.
- Формировать навыки самоконтроля и выбора рационального способа исследования функции.
- Показать связь исследования функций с моделированием реальных зависимостей и заданиями повышенной сложности экзаменационного формата без сведения урока к тренировке шаблонов.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность математического исследования как способа обоснованного принятия решений.
- Проявлять готовность самостоятельно выбирать способ проверки гипотезы о свойствах функции.
- Понимать связь графического представления функции с задачами естественно-научного и социально-экономического моделирования.
- Развивать ответственное отношение к точности вычислений, записи и интерпретации результата.
Метапредметные
- Планировать исследование по алгоритму и корректировать его при обнаружении противоречия.
- Извлекать информацию из формулы, таблицы и графика, преобразуя её из одной формы в другую.
- Сравнивать гипотезу с результатами вычислений и аргументированно формулировать вывод.
- Сотрудничать при обсуждении исследовательской задачи, распределять роли и представлять общий результат.
Предметные
- Знать назначение основных этапов исследования функции: область определения, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы.
- Уметь находить область определения и нули функции в простейших случаях.
- Уметь определять промежутки возрастания и убывания, точки экстремума по формуле или графику.
- Уметь строить эскиз графика по результатам исследования и проверять его соответствие найденным свойствам.
- Владеть математической записью результатов исследования с использованием интервалов и координатных точек.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться объяснять форму графика через свойства функции.
- Осознают значение аккуратной математической аргументации для дальнейшего обучения в вузе и профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательную инициативу при выборе функции для мини-исследования.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без пошаговой подсказки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и составляют последовательность действий.
- Распределяют время между вычислениями, анализом и построением графика.
- Сверяют результат с критериями и находят несоответствия.
- Вносят коррективы в таблицу значений или эскиз графика после самопроверки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные свойства функции из её формулы.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком функции и расположением графика.
- Строят таблицу значений и используют её как модель для построения графика.
- Сравнивают два графика и выявляют различия в области определения, монотонности и нулях.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы к решению одноклассника.
- Аргументируют выбор этапов исследования и математических действий.
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную запись с формулами функций $y=x^2-4x+3$ и $y=|x-2|$, координатными осями и вопросами для исследования.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной работы с функциями $y=x^2-4x+3$, $y=-x^2+2x+3$ и $y=\frac{1}{x-1}$ — по одной карточке на пару.
- Вывесить на доске алгоритм: область определения; нули; знак; монотонность; экстремумы; таблица точек; график.
- Подготовить лист самопроверки с критериями: полнота исследования, корректность интервалов, наличие ключевых точек, соответствие графика свойствам.
- Распечатать мини-листы «Билет на выход» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить маркеры двух цветов, стикеры и линейки для обозначения нулей, промежутков знакопостоянства и экстремумов.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; заранее открыть динамическую координатную систему либо подготовить крупную координатную сетку.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Можно ли построить достаточно точный эскиз графика, не вычисляя множество значений функции?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать мотивацию к изучению алгоритма исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто строить график по нескольким точкам, а попробуем понять, какие свойства функции заранее подсказывают его форму. Посмотрите на доску: там записан вопрос — можно ли построить достаточно точный эскиз графика, не вычисляя множество значений функции?" | Читают вопрос, индивидуально формулируют предварительный ответ: "Да, если знать свойства функции" или "Нужно проверить это на примере". |
2 мин | Учитель показывает формулу $y=x^2-4x+3$ и продолжает: "Представьте, что график нужен инженеру или экономисту для анализа модели. Таблица из двадцати значений неудобна. Какие сведения о функции позволят восстановить её поведение? Назовите любые предположения, а я зафиксирую их на доске." | Называют предполагаемые характеристики: "нули", "область определения", "где функция положительна", "где возрастает и убывает", "вершина". Формулируют гипотезу: "График можно построить по нескольким ключевым свойствам". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выдвинули гипотезу: график можно восстановить по системе свойств функции. Теперь проверим, какие знания нам уже доступны, а какого шага пока не хватает."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о квадратичной функции и обнаружить необходимость целостного алгоритма исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За тридцать секунд определите, что можно узнать о функции $y=x^2-4x+3$ без построения графика. Затем обсудите решение с соседом и выберите два наиболее надёжных вывода. Обязательно объясните, откуда они следуют." | Индивидуально выделяют старший коэффициент, находят корни уравнения $x^2-4x+3=0$, обсуждают в парах. Представляют выводы: "Ветви направлены вверх", "нули — 1 и 3", "вершина находится между корнями". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как доказать, что функция отрицательна между корнями? Как определить точку, где график меняет направление? Что нужно записать, чтобы другой человек мог восстановить график по вашему исследованию?" Учитель фиксирует ответы в виде незаполненной схемы на доске. | Отвечают: "Нужно исследовать знак выражения", "найти координаты вершины", "записать промежутки возрастания и убывания и ключевые точки". Замечают, что отдельные свойства уже известны, но единого порядка действий нет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить отдельные характеристики квадратичной функции, но пока не договорились о порядке и полноте исследования. Следующий шаг — сформулировать цель и построить рабочий алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель урока и критерии качественного исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите один обязательный вопрос к функции. Объединитесь в пары, сравните вопросы, затем две пары объединяются и составляют общий список. Наша задача — получить не длинный перечень, а логичный алгоритм." | Записывают вопросы, объединяют их в пары и группы по четыре человека. Формулируют пункты: "Где функция существует? Где равна нулю? Где положительна? Где возрастает? Есть ли максимум или минимум?" |
2 мин | Учитель систематизирует ответы: "Посмотрите на доску. Мы расположим этапы так, чтобы каждый следующий опирался на предыдущий. Какую цель поставим на урок? Какие признаки покажут, что цель достигнута?" | Формулируют цель: "Научиться исследовать функцию и по результатам строить её график". Предлагают критерии: полнота свойств, правильная запись интервалов, наличие ключевых точек и соответствие графика исследованию. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена, а критерии успеха понятны. Теперь мы проверим алгоритм на конкретной функции и сами обнаружим, как свойства превращаются в график."
Этап 4. Открытие нового знания: алгоритм исследования (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритм элементарного исследования функции на примере квадратичной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске функцию $f(x)=x^2-4x+3$ и говорит: "Начинаем с области определения. Поскольку это многочлен, ограничений на $x$ нет. Далее найдём нули: решим уравнение $x^2-4x+3=0$. Затем определим знак функции по направлению ветвей и корням. Записывайте каждый вывод рядом с соответствующим пунктом алгоритма." | Записывают: $D(f)=\mathbb{R}$; $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$; нули $x=1$ и $x=3$. По знакам множителей делают вывод: функция положительна на $(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$ и отрицательна на $(1;3)$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь исследуем изменение функции. Преобразуем формулу: $f(x)=(x-2)^2-1$. Что даёт такое представление? Где находится вершина? Как меняется функция слева и справа от вершины?" На экране показывает схему параболы и отмечает вершину. | Находят вершину $A(2;-1)$, формулируют: "Функция убывает на $(-\infty;2)$ и возрастает на $(2;+\infty)$; в точке $x=2$ достигает минимума $-1$". |
3 мин | Учитель обобщает: "Исследование не заканчивается вычислениями. Теперь мы выбираем ключевые точки: нули, вершину и, при необходимости, точку пересечения с осью $Oy$. Подставим $x=0$: получаем $f(0)=3$. Соединяем точки плавной параболой с учётом найденных промежутков знакопостоянства." | Строят эскиз в тетради, отмечают точки $(1;0)$, $(3;0)$, $(2;-1)$ и $(0;3)$, проводят параболу, ветви которой направлены вверх. Проверяют, что график ниже оси $Ox$ только между корнями. |
Запись в тетрадях
Алгоритм исследования: 1) найти область определения; 2) найти нули функции; 3) определить промежутки знакопостоянства; 4) установить промежутки возрастания и убывания; 5) найти экстремумы; 6) выбрать ключевые точки; 7) построить график и проверить его по найденным свойствам.
Эталон решения
$f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, поэтому $D(f)=\mathbb{R}$, нули: $x=1$ и $x=3$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $f(x)>0$ на $(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$ и $f(x)<0$ на $(1;3)$. Представление $f(x)=(x-2)^2-1$ даёт вершину $(2;-1)$, минимум $-1$, убывание на $(-\infty;2)$ и возрастание на $(2;+\infty)$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0;3)$. График — парабола, пересекающая ось $Ox$ в точках $(1;0)$ и $(3;0)$.`
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не просто рисунок, а доказанный эскиз: каждая его особенность подтверждена свойством функции. Теперь проверим алгоритм на другой функции и увидим, какие пункты остаются общими, а какие зависят от вида формулы."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм исследования к новой функции и научиться аргументированно представлять результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с функциями $y=-x^2+2x+3$ и $y=|x-2|$: "Каждая пара получает одну функцию. Распределите роли: вычислитель, проверяющий и докладчик. За четыре минуты заполните таблицу исследования: область определения, нули, знак, монотонность, экстремум и ключевые точки." | Распределяют роли, читают условие карточки и заполняют таблицу исследования. |
4 мин | Учитель перемещается между парами и задаёт направляющие вопросы: "Какая форма записи быстрее показывает вершину? Что меняется в знаке при отрицательном старшем коэффициенте? Как график модуля связан с графиком линейной функции? Не пропустите проверку точки перелома." | Для квадратичной функции находят вершину $(1;4)$, нули $-1$ и $3$, максимум $4$. Для функции с модулем находят вершину $(2;0)$ и строят две лучевые ветви. Проверяющие сверяют знаки и интервалы. |
2 мин | Учитель организует короткую презентацию: "Докладчик каждой пары назовёт не все вычисления, а только те свойства, которые определяют форму графика. Остальные слушают и задают один уточняющий вопрос." | Докладчики сообщают ключевые свойства. Одноклассники задают вопросы: "Почему здесь максимум, а не минимум?", "Почему график модуля не принимает отрицательных значений?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает для разных функций, но отдельные шаги требуют знания конкретного вида формулы. Теперь каждый самостоятельно покажет, что умеет исследовать функцию без помощи пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный — для тех, кто готов исследовать функцию более самостоятельно. На карточке указаны критерии: свойства должны быть записаны интервалами, а график — согласован с ними." | Выбирают вариант и записывают фамилию и выбранный уровень. Изучают критерии перед началом работы. |
5 мин | Учитель предлагает задания: базовый — исследовать $f(x)=x^2-6x+8$; повышенный — исследовать $f(x)=\frac{1}{x-1}$ и построить эскиз. Учитель напоминает: "Не начинайте с беспорядочного набора точек. Сначала выпишите ограничения и ключевые свойства, затем выбирайте точки." | Самостоятельно находят область определения, нули или отсутствие нулей, промежутки знакопостоянства, монотонность и ключевые точки, строят эскиз. |
3 мин | Учитель выводит эталонные результаты и говорит: "Проверьте работу по пунктам, не стирая первоначальный ответ. Поставьте знак плюс напротив верного пункта, вопрос — напротив сомнительного и исправьте только после объяснения причины." | Сверяют решения. Для базовой функции получают нули $2$ и $4$, вершину $(3;-1)$, убывание на $(-\infty;3)$ и возрастание на $(3;+\infty)$. Отмечают ошибки и исправляют записи. |
Эталон решения
Для $f(x)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$: $D(f)=\mathbb{R}$; нули $x=2$ и $x=4$; $f(x)>0$ на $(-\infty;2)\cup(4;+\infty)$ и $f(x)<0$ на $(2;4)$. $f(x)=(x-3)^2-1$, поэтому вершина $(3;-1)$, минимум $-1$, функция убывает на $(-\infty;3)$ и возрастает на $(3;+\infty)$. Для $f(x)=\frac{1}{x-1}$: $D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$, нулей нет, функция положительна при $x>1$ и отрицательна при $x<1$, убывает на каждом из промежутков области определения; график имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главное — не скорость вычислений, а согласованность всех пунктов исследования. Если график противоречит найденному знаку или монотонности, нужно искать ошибку в рассуждении. Завершим урок фиксацией личного результата."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, выявить затруднения и определить дальнейшую индивидуальную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает приём «Одноминутная бумага»: "Закончите три фразы: ‘Теперь я могу…’, ‘Мне нужно ещё потренироваться…’, ‘При построении графика я обязательно проверю…’. Пишите конкретно, например ‘найти промежутки знакопостоянства’, а не ‘понять тему’." | Заполняют три фразы, формулируют личный результат и прикрепляют стикер к доске в колонке «Могу» или «Нужно повторить». |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно на вопрос: какие два свойства функции позволяют проверить, что построенный эскиз не может быть правильным? Приведите один пример противоречия." | Пишут: "Если нули не совпадают с пересечениями графика с осью $Ox$" и "если на промежутке убывания график нарисован возрастающим". Сдают билеты при выходе. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один повышающий или дополнительный. В работе обязательно соблюдайте алгоритм и отмечайте, какие свойства использовали при построении." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы по объёму и критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы увидели, что график функции можно строить как результат исследования, а не как случайное соединение точек. На следующем уроке мы расширим этот подход и рассмотрим преобразования графиков, чтобы строить новые зависимости по уже известным. Спасибо за содержательную работу."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью выполнено исследование функции: верно найдены область определения, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремум; построен аккуратный график с ключевыми точками, все выводы обоснованы.
- «4» — выполнены все основные этапы, но допущена одна неточность в записи интервала, координатах точки или оформлении графика, не нарушающая общего вывода.
- «3» — найдены область определения и хотя бы один ключевой параметр, график имеет общий правильный вид, но пропущены два и более этапа исследования или есть существенная ошибка в знакопостоянстве.
- «2» — отсутствует связное исследование, график не соответствует формуле и найденным точкам либо выполнена менее половины обязательных действий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие этапы исследования функции вы теперь можете выполнить самостоятельно? | Выявление осознанно освоенных действий и степени самостоятельности. |
Какое свойство оказалось самым полезным для построения графика? | Понимание связи аналитического свойства с графическим образом. |
Где возникло затруднение: в вычислениях, записи интервалов или построении? | Диагностика конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как по графику проверить правильность исследования? | Формирование навыка взаимного контроля формулы, свойств и изображения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать график как итог последовательного исследования функции. Особенно важно не перепутать область определения с множеством значений и внимательно указывать открытые и закрытые концы промежутков. Если график противоречит найденным нулям, знаку или монотонности, его необходимо исправить, а не просто дорисовать. На следующем уроке мы изучим преобразования графиков и увидим, как свойства знакомой функции помогают быстро строить новые графики."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Исследовать и построить графики двух квадратичных функций вида $y=ax^2+bx+c$: найти область определения, нули, промежутки знакопостоянства, вершину, промежутки монотонности и не менее трёх ключевых точек. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке обратить внимание на координаты вершины, знаки на интервалах и соответствие эскиза исследованию. |
Средний (повышающий) | Исследовать одну квадратичную функцию и одну функцию с модулем или обратной пропорциональностью, сравнить их области определения, нули, монотонность и характер графиков. | Развивает перенос алгоритма на разные виды функций и умение сравнивать аналитические и графические модели. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную функцию, график которой имеет заданные свойства: два нуля, один минимум и положительное значение при $x=0$; обосновать выбор формулы и построить график. | Развивает математическое моделирование, создание объекта по условиям и аргументацию выбора формулы. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие этапы входят в исследование функции?», «Как по нулям и знаку функции проверить положение графика относительно оси $Ox$?», «Как определить по формуле, где квадратичная функция возрастает и убывает?», «Какие точки обязательно стоит отметить перед построением эскиза?»
