Нахождение корней многочлена методом разложения на множители
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут закрепить алгоритм нахождения действительных корней многочлена методом разложения на множители и применить его минимум в четырёх заданиях базового, среднего и повышенного уровня с последующей самопроверкой.
- Закрепить умение сводить уравнение P(x)=0 к совокупности более простых уравнений после разложения многочлена на множители.
- Совершенствовать навыки применения формул сокращённого умножения, группировки и вынесения общего множителя за скобки.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, анализировать ошибки и аргументировать решение в паре и группе.
- Формировать ответственное отношение к математической записи, самоконтролю и осознанной подготовке к дальнейшему изучению функций и решению задач экзаменационного уровня.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность разложения на множители как способа сделать сложное уравнение решаемым.
- Проявлять готовность самостоятельно выбирать уровень задания и доводить решение до проверяемого результата.
- Понимать значение аккуратной записи и проверки корней для математической культуры.
- Конструктивно воспринимать ошибку как источник коррекции способа действия.
Метапредметные
- Планировать последовательность решения уравнения и контролировать каждый преобразовательный шаг.
- Извлекать информацию из условия, учебного текста, электронной карточки и записи на экране.
- Сравнивать способы разложения многочлена и выбирать наиболее рациональный.
- Сотрудничать в парах и группах, формулировать математическое объяснение и оценивать решение по критериям.
- Использовать цифровой ресурс для проверки результата, не заменяя рассуждение автоматическим ответом.
Предметные
- Знать, что если произведение равно нулю, то хотя бы один из его множителей равен нулю.
- Уметь разлагать многочлен на множители вынесением общего множителя, группировкой и применением формул сокращённого умножения.
- Уметь находить корни уравнений вида $(x-a)(x-b)=0$, $x^2(x-a)=0$ и произведений нескольких множителей.
- Уметь проверять найденные корни подстановкой и объяснять отсутствие или кратность корня.
- Владеть алгоритмом решения многочлена после предварительного приведения его к виду произведения множителей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за выбор уровня сложности и качество самопроверки.
- Связывают освоенный способ с будущим изучением функций, параметров и задач итоговой аттестации.
- Формируют устойчивую мотивацию к поиску рационального решения вместо механического перебора.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения при обсуждении в паре или группе.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и составляют план решения многочленного уравнения.
- Прогнозируют результат, выполняют промежуточную проверку знаков и коэффициентов.
- Сопоставляют собственное решение с эталоном и находят место возможной ошибки.
- Корректируют решение после взаимопроверки и оценивают степень достижения цели.
Познавательные УУД
- Распознают структуру многочлена и соотносят её с известным способом разложения.
- Выделяют общий множитель, группируют слагаемые и преобразуют выражение в произведение.
- Моделируют решение цепочкой «разложение — нулевое произведение — корни — проверка».
- Анализируют ошибочное решение и обосновывают, на каком шаге нарушен алгоритм.
- Используют электронную проверку для сопоставления ответа с собственным рассуждением.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбран конкретный способ разложения.
- Задают уточняющие вопросы о знаках, коэффициентах и полноте множителей.
- Распределяют роли в группе: решающий, проверяющий, докладчик и фиксирующий.
- Аргументированно принимают или отклоняют предложенный способ решения.
- Соблюдают регламент обсуждения и корректно формулируют замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с алгоритмом: разложить многочлен; приравнять произведение к нулю; решить простейшие уравнения; проверить корни.
- Подготовить ЭОР с интерактивными заданиями на сопоставление многочлена и способа разложения, а также форму мгновенной проверки ответов.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, с учётом двух вариантов.
- Подготовить карточки для парной работы: по одному комплекту на парту, включая задания на поиск ошибки и объяснение способа.
- Подготовить четыре групповых конверта с заданиями повышенного уровня и листами критериев: «разложение», «корни», «проверка», «объяснение».
- Вывести на доску или экран формулы $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2-b^2$ и свойство нулевого произведения.
- Подготовить таймер, маркеры, листы А4 для групп, стикеры трёх цветов для рефлексии.
- Заранее проверить работу проектора, ноутбука, интерактивной доски и интернет-соединения; при сбое иметь электронный материал в автономном режиме.
- Предложить учащимся использовать учебник: найти в соответствующем разделе два примера разложения и сопоставить их с алгоритмом, без указания страниц и номеров упражнений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, обозначить практическую направленность урока и включить учащихся в работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем долго выводить новые правила: наша задача — уверенно применять уже известный способ к многочленам разной сложности. На столе должны быть тетрадь, ручка, учебник и устройство или карточка для проверки." | Проверяют наличие принадлежностей, открывают тетради и записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране многочлен $x^3-4x^2+4x$ и спрашивает: "Перед нами не просто вычислительный пример. Как превратить его в задачу на поиск корней? Подумайте несколько секунд, обсудите ответ с соседом и сформулируйте первый шаг." | Индивидуально выделяют общий множитель, затем обсуждают в парах и формулируют: "Нужно разложить многочлен на множители, а затем приравнять каждый множитель к нулю". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что корни становятся доступными после разложения многочлена. Теперь быстро проверим опорные знания и выясним, какие способы сегодня потребуются чаще всего."
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать формулы и свойства, необходимые для решения многочленных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран три выражения: $6x^2-9x$, $x^2-25$, $x^2+6x+9$. "Назовите способ разложения для каждого выражения. Не раскрывайте скобки: нам важно увидеть структуру." | По очереди называют: "Вынесение общего множителя", "разность квадратов", "квадрат суммы"; устно записывают разложения $3x(2x-3)$, $(x-5)(x+5)$, $(x+3)^2$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что означает равенство произведения нулю? Можно ли потерять корень, если не вынести общий множитель? Как проверить ответ?" На доске фиксирует краткую схему. | Отвечают: "Хотя бы один множитель равен нулю"; "Да, можно потерять корень"; "Подставить найденное значение в исходный многочлен". Записывают схему проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы и свойство нулевого произведения у нас в рабочем наборе. Следующий шаг — применить их к уравнениям и не перепутать разложение с простым раскрытием скобок."
Этап 3. Постановка практической задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм решения и распределить способы работы с заданиями разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Составьте алгоритм решения уравнения, левая часть которого является многочленом. Что делаем сначала, что затем и чем заканчиваем? Я буду фиксировать ваши формулировки на доске." | Предлагают последовательность: "Переносим всё в одну часть; раскладываем многочлен; применяем свойство нулевого произведения; решаем простые уравнения; проверяем корни". |
2 мин | Учитель сообщает формат: "Сначала будет парная тренировка, затем групповая задача, после этого — индивидуальная работа. Каждый выбирает базовый, средний или повышенный уровень; обязательный минимум должен выполнить каждый. Электронная проверка используется после собственного решения." | Записывают алгоритм, выбирают уровень карточки и распределяют роли в паре: решающий и проверяющий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План работы определён: от распознавания структуры — к самостоятельному выбору способа. Переходим к заданиям, где важна не скорость, а обоснованность каждого преобразования."
Этап 4. Парная работа по учебному материалу (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на типовых уравнениях и научиться объяснять выбор способа разложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки и говорит: "Откройте учебник на теме урока и найдите пример, в котором многочлен разлагается на множители. Сравните его с первым заданием карточки. На этом этапе не переписывайте пример целиком, а назовите применённый приём." | В парах находят подходящий пример, называют приём и записывают краткое объяснение: "Сначала вынесли общий множитель" или "применили разность квадратов". |
4 мин | Учитель предлагает задания: 1) решить $x^3-9x=0$; 2) решить $x^2-7x+12=0$ разложением на множители; 3) решить $(2x-1)(x+4)=0$. "Один ученик решает, второй проверяет каждый переход и задаёт вопрос о пропущенном шаге. Затем поменяйтесь ролями." | Решают в парах: $x(x-3)(x+3)=0$, корни $-3,0,3$; $(x-3)(x-4)=0$, корни $3,4$; $x=\frac12$ или $x=-4$. Объясняют партнёру происхождение каждого множителя. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Поставьте рядом с решением знак плюс, если разложение и корни верны, и знак вопроса, если нужно уточнение. Исправление запишите другим цветом. Не стирайте первоначальный шаг." | Сверяют решения, задают уточняющие вопросы, исправляют найденные ошибки и формулируют одно правило, которое помогло не потерять корень. |
Эталон решения
$x^3-9x=0$. Выносим $x$: $x(x^2-9)=0$. Применяем разность квадратов: $x(x-3)(x+3)=0$. Поэтому $x=0$, $x-3=0$ или $x+3=0$. Ответ: $x\in\{-3;0;3\}$. Проверка выполняется подстановкой в исходное уравнение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы увидели, что один и тот же алгоритм работает при разных внешних видах многочлена. Теперь усложним задачу: вам нужно будет не только решить, но и выбрать наиболее рациональную цепочку преобразований."
Этап 5. Групповая работа с использованием ЭОР (9 мин)
Цель этапа: применить способ разложения к заданиям различной сложности, распределив ответственность между участниками группы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека и раздаёт конверты: "В каждой группе четыре роли: решающий, проверяющий, докладчик и секретарь. На листе зафиксируйте не только ответ, но и способ разложения. После решения можно проверить результат в ЭОР." | Распределяют роли, знакомятся с критериями: верное разложение, полный набор корней, проверка, ясное объяснение. |
5 мин | Учитель предлагает группе базовое задание $x^4-5x^2+4=0$, средней группе или сильным ученикам $x^3-2x^2-5x+6=0$, а группе повышенного уровня — найти ошибку в решении $x^3-4x^2+4x=0$, где после вынесения $x$ потерян корень. Учитель консультирует вопросами: "Какую замену или группировку вы видите? Можно ли проверить разложение обратным умножением?" | Решают задания. Для первого уравнения используют $t=x^2$: $(t-1)(t-4)=0$, получают $x=\pm1,\pm2$. Для второго группируют: $x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)$, получают $x=2,\pm\sqrt3$. В ошибочном решении находят пропущенный корень $x=0$ и объясняют причину. |
3 мин | Учитель включает на экране ЭОР с заданиями на сопоставление разложения и множителей: "Проверяем не только число в ответе, но и соответствие исходного многочлена полученному произведению. Докладчик назовёт один сильный шаг группы и одну трудность." | Вводят в ЭОР выбранные ответы после записи решения, сравнивают результат с эталоном, докладчики кратко представляют способ и называют типичную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группа справилась, если смогла восстановить всю цепочку от многочлена до корней и объяснить её. Теперь каждый покажет личный результат без подсказки товарищей."
Этап 6. Индивидуальная самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное владение алгоритмом и обеспечить выполнение задания, соответствующего уровню подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель напоминает: "Выберите один из трёх уровней. Базовый уровень — обязательный минимум, средний и повышенный — по выбору. Записывайте все преобразования: ответ без разложения не засчитывается как полное решение." | Выбирают карточку, подписывают уровень и читают критерии оценивания. |
6 мин | Учитель предлагает варианты. Базовый: решить $x^2-16=0$ и $3x^2-12x=0$. Средний: решить $x^3-3x^2-4x+12=0$ и $x^4-13x^2+36=0$. Повышенный: решить $x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0$ подбором группировки или рационального корня с последующим разложением. Учитель адресно помогает вопросами, не сообщая готовый множитель. | Самостоятельно решают выбранные задания. Базовый уровень даёт корни $-4,4$ и $0,4$; в среднем используют группировку и замену $t=x^2$; в повышенном проверяют возможные рациональные корни и продолжают разложение. |
3 мин | Учитель выводит краткий эталон и просит провести самопроверку: "Проверьте три пункта: разложение обратным умножением, полный список корней, подстановка хотя бы одного корня в исходный многочлен. Отметьте исправления и оцените работу по шкале от 0 до 3." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют запись и фиксируют самооценку: 3 — всё верно, 2 — одна исправимая ошибка, 1 — нужна помощь. |
Эталон решения
Для задания $x^4-13x^2+36=0$ вводим $t=x^2$: $t^2-13t+36=0$. Разложение: $(t-4)(t-9)=0$, поэтому $t=4$ или $t=9$. Возвращаемся к $x$: $x^2=4$, значит $x=\pm2$; $x^2=9$, значит $x=\pm3$. Ответ: $x\in\{-3;-2;2;3\}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, какой уровень уже освоен лично каждым из вас. Осталось зафиксировать, что именно стало понятнее, а над каким шагом нужно поработать дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить затруднения и определить индивидуальную траекторию дальнейшей практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно разложить многочлен и найти все корни; жёлтую — если нужен образец; красную — если затрудняетесь уже на выборе способа. На стикере допишите, какой шаг требует тренировки." | Поднимают карточку, записывают на стикере конкретное затруднение: "группировка", "возврат от $t$ к $x$", "проверка корней". |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Почему нельзя сразу отбросить множитель? В каком случае появляется несколько корней? Как проверить разложение?" | Отвечают: "Нулевой множитель тоже даёт корень"; "Когда каждый множитель приравнивается к нулю"; "Обратным умножением и подстановкой". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. При выполнении сохраняйте полную цепочку преобразований. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают домашнее задание, отмечают выбранный уровень и формулируют личную цель: "Научиться уверенно выполнять группировку" или "проверять корни без подсказки". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, разложение обосновано, найден полный набор корней, выполнена проверка и отсутствуют существенные ошибки в записи.
- «4» — верно решены обязательные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий способ решения; после самопроверки ошибка исправлена.
- «3» — правильно применён алгоритм хотя бы в одном обязательном задании, но допущены ошибки в разложении, возврате от замены или перечислении корней; ход решения в основном понятен.
- Ниже отметки «3» — решение не доведено до применения свойства нулевого произведения или отсутствует обоснованная запись; ученику назначается адресная отработка соответствующего шага.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой способ разложения помог вам сегодня чаще всего и почему? | Выявление осознанности выбора способа преобразования. |
На каком шаге решения многочленного уравнения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Как вы проверяли, что список корней полный? | Проверка понимания свойства нулевого произведения и самоконтроля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и какой навык хотите закрепить? | Оценка самоопределения и готовности к дальнейшей самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили способ, который превращает сложное уравнение с многочленом в несколько простых уравнений. Важно помнить: нельзя потерять множитель при вынесении общего множителя и нельзя считать ответ полным без проверки. Вы работали на разных уровнях, но общий алгоритм для всех один — разложить, приравнять множители к нулю, найти и проверить корни. На следующем уроке мы продолжим практику и разберём случаи, где рациональный множитель нужно сначала обнаружить."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 многочленных уравнения: два на вынесение общего множителя или разность квадратов, одно на формулу квадрата двучлена и одно на произведение линейных множителей. Для каждого записать разложение и полный набор корней. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на сохранение всех множителей, знаки и обязательную запись ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения: два методом группировки и два с заменой $t=x^2$ или другой очевидной структурой. Выполнить проверку одного корня в каждом уравнении. | Развивает выбор рационального способа; при проверке смотреть на корректность группировки и возврат от новой переменной к исходной. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 уравнения четвёртой или третьей степени, предварительно исследовав возможный рациональный корень или группировку; составить краткое объяснение, почему выбранный способ эффективнее альтернативного. | Формирует исследовательское мышление и аргументацию; при проверке учитывать полноту разложения, обоснование выбора и отсутствие потерянных корней. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое свойство используется после разложения многочлена в произведение? Почему общий множитель нельзя сокращать в уравнении без анализа? Как проверить полный список найденных корней? Назовите два способа разложения, которые вы готовы применить самостоятельно».
