Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус и арктангенс
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: за 45 минут систематизировать способы определения значений синуса, косинуса и тангенса числового аргумента по тригонометрической окружности и таблице основных значений, а также научиться выбирать и применять арксинус, арккосинус и арктангенс при решении не менее четырёх практических заданий.
- Закрепить определения тригонометрических функций числового аргумента и связь координат точки единичной окружности со значениями синуса и косинуса.
- Отработать нахождение точных значений тригонометрических функций для основных углов и использование знаков функций по четвертям.
- Закрепить различие между значениями тригонометрических функций и значениями обратных функций, включая допустимые области значений.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, работать в паре, аргументировать ответ и проверять его с помощью цифрового ресурса.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и профессиональную значимость тригонометрии для физики, информатики, инженерных и технических задач.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной проверке решения и корректировке ошибок.
- Развивают учебную мотивацию через выбор способа решения и исследование закономерностей на тригонометрической окружности.
- Уважительно взаимодействуют с партнёром, принимают обоснованные альтернативные решения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из схемы тригонометрической окружности, таблицы значений и цифровой модели.
- Сравнивают способы решения, выявляют ошибочные рассуждения и аргументируют выбор ответа.
- Планируют последовательность действий, используют самопроверку и фиксируют затруднения.
- Применяют математическую речь при объяснении знаков функций и ограничений обратных функций.
Предметные
- Знают определения синуса, косинуса и тангенса числового аргумента через координаты точки единичной окружности.
- Умеют находить значения функций для аргументов $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ и соответствующих им углов.
- Умеют определять знаки синуса, косинуса и тангенса по четверти координатной плоскости.
- Знают области значений $\arcsin x$, $\arccos x$ и $\arctg x$ и применяют их при вычислениях.
- Умеют проверять полученный результат по тригонометрической окружности и с помощью ЭОР.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на уроке: уверенно читать тригонометрическую окружность и применять обратные функции.
- Осознают необходимость точной записи аргумента, единиц измерения и области допустимых значений.
- Оценивают собственную готовность к дальнейшему изучению тригонометрических уравнений.
- Проявляют настойчивость при исправлении ошибок в вычислениях.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют последовательность вычислений.
- Сверяют решение с эталоном и цифровой моделью, находят расхождение.
- Оценивают правильность знака, значения и принадлежности ответа нужному промежутку.
- Корректируют решение после взаимопроверки в паре.
Познавательные УУД
- Моделируют значения синуса и косинуса координатами точки единичной окружности.
- Классифицируют аргументы по четвертям и устанавливают знаки функций.
- Сравнивают функции $\sin$, $\cos$, $\tg$ и обратные функции по области определения и области значений.
- Преобразуют графическую информацию в символическую запись и используют формулы приведения в простых случаях.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы о знаке функции и выборе значения обратной функции.
- Аргументируют решение короткой математической репликой, используя терминологию темы.
- Согласуют общий ответ и корректно сообщают партнёру об обнаруженной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с единичной окружностью, координатными осями, направлениями отсчёта и точками основных аргументов.
- Открыть ЭОР с интерактивной тригонометрической окружностью и проверить работу проектора, компьютера и доступа к ресурсу.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы по одному на каждого ученика и отдельный лист с эталонами для самопроверки.
- Вывести на доску памятку: знаки функций по четвертям, области значений $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные стрелки для обозначения четвертей и точек на окружности.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для практических заданий и стикеры трёх цветов для рефлексии.
- Подготовить учебник: учащиеся используют определения и примеры по теме без указания конкретных страниц.
- Освободить небольшой участок класса для двухминутной физкультминутки с вращением плеч и сменой положения тела.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать работу класса, актуализировать личную цель и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране единичную окружность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем долго повторять теорию: основное время посвятим вычислениям и проверке способов решения. Посмотрите на окружность: одна точка задаётся числовым аргументом, а её координаты сразу дают значения тригонометрических функций. Подготовьте тетради, ручки и учебник." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока, рассматривают модель окружности. |
2 мин | Учитель использует приём "Проблемный вопрос": "Как по одной точке на окружности быстро определить знак синуса и косинуса? Почему запись $\arcsin(\frac{1}{2})$ не означает любое значение угла, для которого синус равен $\frac{1}{2}$? В конце урока мы должны дать точные ответы и решить практические задания." | Формулируют предварительные гипотезы: "Знак зависит от координат точки и четверти"; "арксинус выбирает значение из специального промежутка". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что сегодня важны не только формулы, но и чтение окружности, знаки и ограничения. Сначала проверим опорные знания, затем перейдём к практическим карточкам."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (6 мин)
Цель этапа: быстро диагностировать понимание основных определений, знаков функций и областей значений обратных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает пять утверждений и просит поднять зелёную карточку для верного утверждения, жёлтую — если требуется уточнение, красную — для неверного: "Первое: синус числового аргумента равен ординате точки окружности. Второе: тангенс определён при каждом действительном аргументе. Третье: $\arccos x$ принимает значения только из $[0;\pi]$. Четвёртое: в третьей четверти синус и косинус отрицательны. Пятое: $\arcsin x$ определён при $|x|\leq 1$. Обоснуйте два выбранных ответа." | Поднимают карточки, исправляют неверное утверждение: "Тангенс не определён при $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$"; объясняют знаки функций по координатам точки. |
3 мин | Учитель предлагает работу в парах: "За одну минуту сопоставьте выражения $\sin\frac{\pi}{6}$, $\cos\frac{\pi}{3}$, $\tg\frac{\pi}{4}$ и $\arcsin\frac{1}{2}$ с их значениями. Затем обменяйтесь листом с соседней парой и выполните взаимопроверку." | В парах сопоставляют выражения и значения $\frac12$, $\frac12$, $1$, $\frac{\pi}{6}$; проверяют записи партнёров и отмечают одну сильную сторону и одну неточность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные определения восстановлены, а затруднения видны: чаще всего ошибаются в области определения тангенса и в выборе главного значения обратной функции. Теперь сформулируем алгоритм, который поможет избежать этих ошибок."
Этап 3. Постановка проблемы и планирование решения (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать общий алгоритм работы с числовым аргументом и обратными функциями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражения $\sin\frac{5\pi}{6}$ и $\arccos(-\frac12)$: "В первом выражении нужно найти координату точки, во втором — угол из заданного промежутка. Какие шаги должны быть обязательными? Не называйте только ответ, объясните маршрут решения." | Предлагают алгоритм: определить положение аргумента на окружности, найти опорный угол, определить знак, записать точное значение; для обратной функции проверить допустимость числа и выбрать значение из её области значений. |
2 мин | Учитель обобщает ответы: "Запишите в тетрадь четыре шага: определить тип выражения; установить четверть или область значений; выполнить вычисление; проверить знак и промежуток ответа. Этот алгоритм будет критерием вашей самостоятельной работы." | Записывают алгоритм и задают вопросы о различии между $\cos\frac{\pi}{3}$ и $\arccos\frac12$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) распознать функцию; 2) определить положение аргумента или допустимый промежуток ответа; 3) применить основное значение; 4) проверить знак, область определения и область значений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас есть единый маршрут проверки. Сейчас применим его к короткому образцу, а затем вы будете решать карточки в парах с постепенным усложнением."
Этап 4. Практическое закрепление в парах (10 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление точных значений и применение тригонометрической окружности в парной практике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает образец на экране: "Рассмотрим $\sin\frac{5\pi}{6}$. Точка находится во второй четверти, синус положителен. Опорный угол равен $\frac{\pi}{6}$, поэтому значение равно $\frac12$. Теперь решите аналогично $\cos\frac{3\pi}{4}$ и проговорите каждый шаг." | Один ученик отмечает на окружности угол $\frac{5\pi}{6}$, другой записывает решение; пары находят $\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$ и объясняют знак. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки и объявляет приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Индивидуально решите первый пункт за 30 секунд, затем сравните ход решения. Выполните: а) $\sin\frac{7\pi}{6}$; б) $\cos\frac{11\pi}{6}$; в) $\tg\frac{3\pi}{4}$; г) $\arcsin(-\frac{\sqrt2}{2})$. На каждой строке обязательны промежуточные обозначения четверти или промежутка." | Сначала решают самостоятельно, затем в парах получают $-\frac12$, $\frac{\sqrt3}{2}$, $-1$, $-\frac{\pi}{4}$; взаимно проверяют знак и допустимый промежуток. |
2 мин | Учитель выводит на экран интерактивную окружность и просит две пары защитить разные пункты: "Покажите точку, назовите четверть и объясните, почему ответ не может иметь другой знак. Для арксинуса отдельно назовите область значений." | Пары демонстрируют положение точки на ЭОР, формулируют объяснение и исправляют неточности после вопросов класса. |
Эталон решения
Для $\sin\frac{7\pi}{6}$: угол расположен в III четверти, синус отрицателен; опорный угол $\frac{\pi}{6}$; поэтому $\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12$. Для $\arcsin(-\frac{\sqrt2}{2})$ главное значение должно принадлежать $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$, поэтому $\arcsin(-\frac{\sqrt2}{2})=-\frac{\pi}{4}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы использовали окружность не как рисунок, а как инструмент вычисления. Теперь проверим, насколько каждый умеет применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 5. Физкультминутка и переключение внимания (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и восстановить концентрацию перед индивидуальной работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Отложите ручки. Представьте, что ваши плечи — это радиус-вектор. На вдохе поднимите плечи, на выдохе опустите. Выполним два медленных поворота корпуса вправо и влево, затем глазами проследим воображаемую окружность, не двигая головой. Возвращаемся к тетрадям и сохраняем спокойный темп решения." | Выполняют дыхание, вращение плеч и корпуса, переводят взгляд по кругу, занимают рабочее положение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили внимание и готовы к индивидуальной проверке. Сейчас каждый покажет, какой шаг алгоритма уже выполняет уверенно, а какой требует контроля."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и ИКТ (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение вычислениями, обратными функциями и чтением тригонометрической окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Решите четыре задания без обсуждения. 1) Найдите $\sin\frac{4\pi}{3}$. 2) Найдите $\cos\frac{5\pi}{4}$. 3) Вычислите $\tg\frac{5\pi}{6}$. 4) Найдите $\arccos(-\frac{\sqrt2}{2})$. В каждом ответе укажите четверть или диапазон главного значения." | Индивидуально получают соответственно $-\frac{\sqrt3}{2}$, $-\frac{\sqrt2}{2}$, $-\frac{\sqrt3}{3}$, $\frac{3\pi}{4}$; записывают обоснование и проверяют допустимость результата. |
3 мин | Учитель открывает на экране ЭОР: "Введите ответы в интерактивную модель или выберите точку на окружности. Не переписывайте ответ механически: если ресурс показывает ошибку, найдите конкретный шаг, на котором возникла неточность." | Вводят ответы в ЭОР, сопоставляют точку и координаты, исправляют найденные ошибки красной ручкой. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по критериям: "Обменяйтесь листами с партнёром. Проверьте не только конечный ответ, но и три признака: правильная четверть, знак функции, область значения обратной функции. Поставьте условный балл и верните работу." | Проверяют работу партнёра по трём критериям, формулируют короткий комментарий: "Верный ответ, но не указана четверть" или "Знак исправлен обоснованно". |
Эталон решения
$\sin\frac{4\pi}{3}$: III четверть, опорный угол $\frac{\pi}{3}$, синус отрицателен, ответ $-\frac{\sqrt3}{2}$. $\cos\frac{5\pi}{4}$: III четверть, ответ $-\frac{\sqrt2}{2}$. $\tg\frac{5\pi}{6}$: II четверть, тангенс отрицателен, опорный угол $\frac{\pi}{6}$, ответ $-\frac{\sqrt3}{3}$. $\arccos(-\frac{\sqrt2}{2})$ принадлежит $[0;\pi]$, поэтому ответ $\frac{3\pi}{4}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство ошибок связано не с таблицей значений, а с пропуском проверки знака или промежутка. Зафиксируйте свою типичную ошибку: это поможет точнее выполнить домашнее задание."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, оценить степень освоения алгоритма и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутная бумага": "Запишите два предложения: первое — какой шаг алгоритма стал понятнее; второе — в каком месте ещё нужна тренировка. Затем прикрепите стикер на шкалу: зелёный — решаю уверенно, жёлтый — иногда ошибаюсь, красный — нужна помощь." | Пишут индивидуальную рефлексию, выбирают цвет стикера и прикрепляют его рядом с соответствующим этапом алгоритма. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$, а не $\frac{5\pi}{6}$? Почему $\arccos(-\frac12)=\frac{2\pi}{3}$? Ответьте через области значений обратных функций." | Отвечают: "Арксинус принимает значения только в $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$, а арккосинус — в $[0;\pi]$"; приводят аргументы по окружности. |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Тем, кто выполнил самостоятельную работу без ошибок, рекомендую средний уровень; продвинутый уровень — для желающих исследовать связь окружности и графиков. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: какой обязательный шаг нельзя пропускать при вычислении обратной функции?" | Записывают выбранный уровень, отвечают: "Нужно проверить область определения числа и область значений результата". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы систематизировали тригонометрические функции числового аргумента и увидели, что точный ответ определяется не только таблицей, но и положением точки на окружности. Проверьте дома именно тот шаг, где появился жёлтый или красный стикер."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все четыре задания самостоятельной работы, указаны четверти или допустимые промежутки, знаки обоснованы, исправления после проверки выполнены самостоятельно.
- «4» — верно решены три задания из четырёх, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, общий алгоритм и области значений указаны правильно.
- «3» — верно решены два задания из четырёх, имеются отдельные пропуски в обосновании, но ученик различает прямые и обратные тригонометрические функции.
- Ниже базового уровня — менее двух верных решений или систематическое нарушение области определения; требуется индивидуальный разбор алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по тригонометрической окружности определить знак синуса и косинуса? | Проверка осознанного использования координат точки, а не механического запоминания. |
Какой шаг алгоритма помог решить задания с арксинусом и арккосинусом? | Выявление понимания роли области значений обратной функции. |
В каком задании вы допустили или могли допустить ошибку? | Диагностика индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Насколько уверенно вы готовы применять окружность при решении нового задания? | Субъективная оценка степени освоения и учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы закрепили определения синуса, косинуса и тангенса числового аргумента через координаты точки единичной окружности. Мы также увидели, что обратные функции возвращают не любой подходящий угол, а единственное значение из заданного промежутка. Типичная ошибка — правильно найти модуль значения, но забыть проверить четверть или область значений. На следующем уроке мы будем использовать этот алгоритм при преобразовании выражений и решении тригонометрических уравнений. Если сегодня остались жёлтые или красные зоны, начните домашнюю работу с повторения соответствующего шага.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 заданий: найти точные значения синуса, косинуса и тангенса для аргументов из разных четвертей, а также вычислить 3 значения вида $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$ для основных табличных значений. В каждом решении указать четверть или область значений. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на знак функции, точность записи и принадлежность ответа допустимому промежутку. |
Средний (повышающий) | Решить 4 смешанных задания, включающих сравнение выражений, определение знака без вычисления полного значения и восстановление аргумента по известному значению функции. Одно решение оформить с рисунком тригонометрической окружности. | Развивает анализ и выбор способа решения; при проверке обратить внимание на обоснование, а не только на конечный ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать с помощью ЭОР или построения в тетради, как меняются координаты точки при увеличении числового аргумента на $\frac{\pi}{2}$. Сформулировать 3 закономерности и составить собственное задание на арксинус или арккосинус с полным решением. | Формирует исследовательские и цифровые навыки; при проверке смотреть на корректность наблюдений, использование терминов и самостоятельность примера. |
Контрольные вопросы перед выходом: «В какой четверти косинус отрицателен, а синус положителен?», «Какой промежуток является областью значений арксинуса?», «Почему при вычислении тангенса нужно проверить, что косинус не равен нулю?»
