Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться объяснять определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, указывать области их значений и находить значения обратных тригонометрических функций для основных углов.
- Сформировать понимание того, зачем для обратных тригонометрических функций выбираются специальные промежутки монотонности тригонометрических функций.
- Научиться применять определения при вычислении выражений вида $\arcsin a$, $\arccos a$, $\arctg a$ и $\operatorname{arcctg} a$.
- Развивать умение анализировать единичную окружность, обосновывать выбор ответа и проверять результат с помощью определения.
- Воспитывать ответственное отношение к математической записи, самостоятельность и готовность аргументировать решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают роль обратных тригонометрических функций в дальнейшем изучении уравнений, неравенств и математического анализа.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору способа рассуждения и проверке полученного результата.
- Понимают ценность точной математической речи и корректного использования ограничений на значения функций.
- Связывают изучаемый материал с подготовкой к дальнейшему профильному и профессиональному обучению.
Метапредметные
- Извлекают информацию из определения, таблицы и изображения единичной окружности.
- Сравнивают прямые и обратные тригонометрические функции, выявляют область определения и область значений.
- Планируют решение, фиксируют промежуточные выводы и осуществляют самопроверку.
- Аргументируют ответ в паре и формулируют математический вывод в письменной форме.
Предметные
- Знать определения $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$ и $\operatorname{arcctg} x$.
- Знать области определения и области значений обратных тригонометрических функций.
- Уметь находить значения обратных тригонометрических функций для чисел $0$, $1$, $-1$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac{\sqrt3}{2}$, $\frac12$.
- Уметь объяснять, почему $\arcsin(\sin\alpha)$ и $\arccos(\cos\alpha)$ не всегда равны $\alpha$ без учёта ограничения на угол.
- Владеть алгоритмом проверки результата через равенство с соответствующей тригонометрической функцией.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться восстанавливать угол по значению тригонометрической функции.
- Осознают необходимость ограничивать выбор угла для однозначности обратной функции.
- Проявляют устойчивость при разборе непривычной символики и готовность исправлять ошибку.
- Оценивают собственную готовность применять материал при решении тригонометрических задач.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель на основе проблемного вопроса и планируют последовательность действий.
- Сверяют вычисленный угол с областью значений соответствующей функции.
- Обнаруживают ошибку в выборе четверти или промежутка и корректируют решение.
- Оценивают результат по критериям: правильность, обоснованность, точность записи.
Познавательные УУД
- Строят модель обратной функции на основе единичной окружности и графиков.
- Выделяют существенные признаки определения: значение функции, допустимый аргумент, главный угол.
- Сравнивают свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса на выбранных промежутках.
- Устанавливают причинно-следственную связь между монотонностью функции и существованием обратной функции.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по определению и уточняют смысл математических обозначений.
- Обсуждают решение в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Аргументируют выбор угла ссылкой на область значений обратной функции.
- Корректно принимают замечания и согласуют общий ответ группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с четырьмя единичными окружностями и выделенными промежутками: $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$, $[0;\pi]$, $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$ и $(0;\pi)$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые вычисления, задания на объяснение ограничения, повышенное задание на составление примеров.
- Подготовить по одной карточке на парту и по одному листу самооценки на каждого ученика.
- Вывести на экран таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов $0$, $\frac\pi6$, $\frac\pi4$, $\frac\pi3$, $\frac\pi2$, $\pi$.
- Подготовить маркеры, магниты, линейку и четыре цветных листа для групповой фиксации определений.
- Использовать учебник учителя как опору: предложить учащимся найти в нём определения и сверить формулировки, не задавая номера страниц или упражнений.
- Заранее записать на доске тему, проблемный вопрос и памятку: «Сначала определить вид функции, затем найти главный угол, затем проверить область значений».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование проблемы восстановления угла по значению тригонометрической функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы продолжим изучать тригонометрические функции, но посмотрим на них с обратной стороны. Если известно, что синус угла равен $\frac12$, можно ли однозначно назвать угол? Подумайте, прежде чем отвечать." | Индивидуально записывают первый ответ и называют варианты: "$\frac\pi6$ и $\frac{5\pi}6$, а также углы, отличающиеся на полный оборот". |
2 мин | Учитель показывает на доске точки единичной окружности, соответствующие одинаковому значению синуса, и продолжает: "Получается, обычная тригонометрическая функция не всегда позволяет сразу восстановить единственный угол. Сегодня мы узнаем, как математика выбирает главный угол и обозначает обратную операцию." | Формулируют проблемный вопрос: "Как выбрать единственный угол по значению тригонометрической функции?" Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного значения синуса может быть недостаточно для выбора любого угла. Значит, нам нужно понять правило выбора единственного, или главного, угла."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства тригонометрических функций и значения на единичной окружности, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Быстрая математическая цепочка": "Назовите область значений синуса и косинуса. В каких промежутках функции синус и косинус монотонны? Где определён тангенс? Как связаны тангенс и котангенс?" Учитель фиксирует ответы в таблице на доске. | Отвечают: "$-1\leq\sin x\leq1$ и $-1\leq\cos x\leq1$"; называют промежутки монотонности; указывают, что тангенс не определён при $x=\frac\pi2+\pi k$, а котангенс — при $x=\pi k$. |
3 мин | Учитель предлагает в парах сопоставить значения и углы: $\sin\frac\pi6$, $\cos\frac\pi3$, $\tg\frac\pi4$, $\operatorname{ctg}\frac\pi4$. "Обсудите ответ одну минуту и объясните, почему для некоторых значений можно выбрать несколько углов, а для главного значения — один." | В парах получают: $\sin\frac\pi6=\frac12$, $\cos\frac\pi3=\frac12$, $\tg\frac\pi4=1$, $\operatorname{ctg}\frac\pi4=1$. Формулируют: "Главный угол выбирается из специального промежутка". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили значения и поняли, что для обратной операции необходимо заранее ограничить промежуток углов. Теперь сформулируем эти определения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести необходимость четырёх обратных функций и определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Рассмотрим четыре вопроса. Какой угол из $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$ имеет синус $\frac12$? Какой угол из $[0;\pi]$ имеет косинус $-\frac12$? Какой угол из $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$ имеет тангенс $1$? Какой угол из $(0;\pi)$ имеет котангенс $\sqrt3$?" | Предполагают ответы: "$\frac\pi6$, $\frac{2\pi}3$, $\frac\pi4$, $\frac\pi6$"; замечают, что каждому вопросу соответствует особое обозначение. |
2 мин | Учитель фиксирует план: "Сначала найдём определения, затем запишем области определения и значения, после этого решим вычислительные задания и проверим, где чаще всего возникает ошибка." | Записывают план урока и формулируют личную цель: "Научиться находить главный угол и обосновывать его выбор". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён: исследуем каждую функцию, сравним их и применим определения. Переходим к главному этапу — открытию новых понятий."
Этап 4. Открытие нового знания по учебнику и единичной окружности (12 мин)
Цель этапа: сформировать определения обратных тригонометрических функций и установить их основные области.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает открыть учебник на теме урока и найти определение арксинуса. Затем говорит: "Арксинусом числа $a$ называется такой угол $x$ из отрезка $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$, синус которого равен $a$: $x=\arcsin a$, если $\sin x=a$. Поэтому область определения арксинуса — $[-1;1]$, а область значений — $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$." | Находят определение в учебнике, выделяют область определения и область значений, записывают: $\arcsin a\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]$. |
3 мин | Учитель показывает вторую окружность и объясняет: "Арккосинусом числа $a$ называется угол $x\in[0;\pi]$, для которого $\cos x=a$. Обратите внимание: область определения также $[-1;1]$, но промежуток главных значений другой." | Записывают определение $x=\arccos a\Leftrightarrow\cos x=a$, область значений $[0;\pi]$, приводят пример $\arccos(-\frac12)=\frac{2\pi}3$. |
3 мин | Учитель записывает: "Арктангенс числа $a$ — это угол $x\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)$, для которого $\tg x=a$. Арккотангенс числа $a$ — это угол $x\in(0;\pi)$, для которого $\operatorname{ctg}x=a$." Учитель подчёркивает: "Для тангенса и котангенса область определения — все действительные числа." | Составляют таблицу: $\arctg a\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)$; $\operatorname{arcctg}a\in(0;\pi)$. Объясняют, почему углы $\frac\pi2$ и $\pi$ не входят в соответствующие промежутки. |
2 мин | Учитель проводит приём "Четыре цвета": каждая группа получает название одной функции и формулирует её определение, область определения, область значений и один пример. Учитель корректирует формулировки. | В группах заполняют мини-карточку и представляют её классу. Остальные сверяют запись с учебником и дополняют таблицу в тетради. |
Запись в тетрадях
$\arcsin a=x\Leftrightarrow\sin x=a$, $x\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]$, $a\in[-1;1]$.
$\arccos a=x\Leftrightarrow\cos x=a$, $x\in[0;\pi]$, $a\in[-1;1]$.
$\arctg a=x\Leftrightarrow\tg x=a$, $x\in(-\frac\pi2;\frac\pi2]$ с учётом стандартной записи промежутка $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$, $a\in\mathbb R$.
$\operatorname{arcctg}a=x\Leftrightarrow\operatorname{ctg}x=a$, $x\in(0;\pi)$, $a\in\mathbb R$.
$\arccos a=x\Leftrightarrow\cos x=a$, $x\in[0;\pi]$, $a\in[-1;1]$.
$\arctg a=x\Leftrightarrow\tg x=a$, $x\in(-\frac\pi2;\frac\pi2]$ с учётом стандартной записи промежутка $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$, $a\in\mathbb R$.
$\operatorname{arcctg}a=x\Leftrightarrow\operatorname{ctg}x=a$, $x\in(0;\pi)$, $a\in\mathbb R$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили четыре определения. Главное различие между ними — не только название функции, но и промежуток, из которого выбирается главный угол. Теперь проверим определения на конкретных значениях."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять определения при вычислении значений обратных тригонометрических функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает решить устно с проговариванием алгоритма: "Вычислим $\arcsin\frac12$, $\arccos(-\frac12)$, $\arctg1$, $\operatorname{arcctg}\sqrt3$. Каждый ответ обязательно проверяем: сначала называем нужное значение тригонометрической функции, затем проверяем, что угол входит в требуемый промежуток." | По очереди объясняют: "$\arcsin\frac12=\frac\pi6$, потому что $\sin\frac\pi6=\frac12$"; "$\arccos(-\frac12)=\frac{2\pi}3$"; "$\arctg1=\frac\pi4$"; "$\operatorname{arcctg}\sqrt3=\frac\pi6$". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос с ловушкой: "Верно ли, что $\arcsin(\sin\frac{5\pi}6)=\frac{5\pi}6$? Обоснуйте ответ не вычислением по памяти, а областью значений арксинуса." | Отвечают: "Нет. Значение синуса равно $\frac12$, но $\frac{5\pi}6$ не входит в $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$, поэтому $\arcsin(\sin\frac{5\pi}6)=\frac\pi6$." |
2 мин | Учитель раздаёт карточку с заданиями: $\arccos0$, $\arcsin(-1)$, $\arctg0$, $\operatorname{arcctg}1$. Просит выполнить взаимопроверку по эталону на доске. | Решают индивидуально, затем обмениваются тетрадями и проверяют: $\frac\pi2$, $-\frac\pi2$, $0$, $\frac\pi4$. Исправляют ошибки и подчёркивают использованный промежуток. |
Эталон решения
$\arccos0=\frac\pi2$, поскольку $\cos\frac\pi2=0$ и $\frac\pi2\in[0;\pi]$.
$\arcsin(-1)=-\frac\pi2$, поскольку $\sin(-\frac\pi2)=-1$ и угол входит в $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$.
$\arctg0=0$, поскольку $\tg0=0$ и $0\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)$.
$\operatorname{arcctg}1=\frac\pi4$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac\pi4=1$ и $\frac\pi4\in(0;\pi)$. Строгая проверка состоит из двух частей: равенство функции и принадлежность угла требуемому промежутку.
$\arcsin(-1)=-\frac\pi2$, поскольку $\sin(-\frac\pi2)=-1$ и угол входит в $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$.
$\arctg0=0$, поскольку $\tg0=0$ и $0\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)$.
$\operatorname{arcctg}1=\frac\pi4$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac\pi4=1$ и $\frac\pi4\in(0;\pi)$. Строгая проверка состоит из двух частей: равенство функции и принадлежность угла требуемому промежутку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает: определяем обратную функцию, находим подходящий угол и проверяем промежуток. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять этот алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание определений и областей значений обратных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня: "Вычислите $\arcsin\frac{\sqrt2}{2}$, $\arccos\frac{\sqrt3}{2}$, $\arctg(-1)$, $\operatorname{arcctg}\frac1{\sqrt3}$. В каждом пункте запишите короткое обоснование." Сильным учащимся предлагает дополнительное задание: объяснить значение $\arccos(\cos\frac{4\pi}3)$. | Индивидуально решают: $\frac\pi4$, $\frac\pi6$, $-\frac\pi4$, $\frac\pi3$. В дополнительном задании определяют, что $\frac{4\pi}3\notin[0;\pi]$, а искомый главный угол с тем же косинусом равен $\frac{2\pi}3$. |
3 мин | Учитель открывает эталон и говорит: "Проверьте не только ответы, но и обоснование. Если ошибка связана со знаком, отметьте её как вычислительную; если выбран угол вне промежутка — как ошибку применения определения." | Проводят самопроверку, отмечают ошибки символами «В» и «О», заполняют строку самооценки: «могу вычислять», «могу объяснять», «нужна помощь». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство ошибок сегодня связано не с таблицей значений, а с забытым промежутком главных углов. На следующем и последующих уроках именно этот контроль поможет решать более сложные выражения и уравнения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Одноминутная формула": "За одну минуту завершите три фразы: обратная функция нужна для..., главный угол выбирается из..., моя типичная ошибка сегодня..." | Письменно завершают фразы и формулируют: "обратная функция восстанавливает угол по значению функции"; "главный угол выбирается из заданного промежутка". |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какова область определения арксинуса? Почему арккосинус не может быть отрицательным? В каком промежутке лежит арктангенс?" | Отвечают: "$[-1;1]$"; "$\arccos a\in[0;\pi]$"; "$\arctg a\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)$". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный уровни выполняйте по готовности. В решениях обязательно указывайте равенство тригонометрической функции и промежуток главного угла." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы и сдают билет на выход с ответом на вопрос: «Как проверить значение обратной тригонометрической функции?». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились восстанавливать главный угол по значению синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Не забывайте: правильный ответ — это не только число, но и обоснование его принадлежности нужному промежутку."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре задания самостоятельной карточки, для каждого ответа указано соответствующее равенство и соблюдён промежуток главного угла.
- «4» — верно выполнены три задания из четырёх, либо допущена одна несущественная ошибка в записи при правильном выборе угла и обосновании.
- «3» — верно выполнены два задания из четырёх, но ученик понимает определения и может назвать хотя бы два требуемых промежутка.
- Ниже «3» — область определения или область значений обратных функций не различается, обоснование отсутствует; работа требует повторного разбора с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о выборе главного угла? | Выявление осознания ключевого принципа однозначности обратной функции. |
Какое из четырёх определений было самым трудным? | Диагностика конкретной точки затруднения. |
Как вы проверяете ответ для $\arcsin a$ или $\arccos a$? | Проверка освоения алгоритма: равенство функции и принадлежность промежутку. |
Какое задание вы уже сможете решить самостоятельно? | Субъективная оценка готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли четыре обратные тригонометрические функции и увидели, что их определения основаны на выборе специального промежутка углов. Главная типичная ошибка — назвать подходящий угол, но не проверить, является ли он главным. На следующем уроке мы продолжим вычислять выражения с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом и рассмотрим более сложные преобразования. Сохраняйте точную запись: она помогает увидеть логику решения, а не только итоговый ответ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 8 вычислений на нахождение значений $\arcsin$, $\arccos$, $\arctg$ и $\operatorname{arcctg}$ для чисел $-1$, $-\frac{\sqrt2}{2}$, $-\frac12$, $0$, $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $1$ и $\sqrt3$. Оформить краткое обоснование каждого ответа. | Закрепляет таблицу основных значений и умение учитывать область значений обратной функции. При проверке смотреть на знак, единицы измерения и выбранный промежуток. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на вычисление составных выражений: $\arcsin(\sin\alpha)$, $\arccos(\cos\alpha)$, $\arctg(\tg\alpha)$ и $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\alpha)$ для углов, часть которых не принадлежит промежутку главных значений. Для каждого объяснить преобразование. | Формирует понимание, что обратная функция возвращает главный угол, а не любой исходный угол. При проверке смотреть на приведение угла к нужному промежутку. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 4 собственных задания, по одному на каждую обратную функцию, причём два задания должны содержать ошибочный ответ ученика, который требуется опровергнуть с помощью определения. | Развивает создание математического текста, аргументацию и критическую проверку решения. При проверке оценивать корректность чисел, промежутков и доказательства ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какова область определения арксинуса? В каком промежутке выбирается значение арккосинуса? Как проверить ответ для арктангенса? Почему $\arcsin(\sin\frac{5\pi}6)\ne\frac{5\pi}6$? Назовите область значений арккотангенса».
