Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

9 класс · средний

30 заданий · реши задачу, множественный выбор, краткий ответ, истина / Ложь, таблица, математический рисунок

Ф.И.
Класс

Сегодня мы закрепим умение решать треугольники. Эти две теоремы позволяют найти любой элемент фигуры, зная лишь три других. Будь внимателен с вычислениями и значениями тригонометрических функций.

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

1. Нахождение третьей стороны

В треугольнике $A B C$ известны две стороны и угол между ними: $A B = 3$ см, $A C = 5$ см, $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $B C$ .

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Стороны и углы

В треугольнике $A B C$ сторона $B C = 12$ см, $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $A C$ .

№3 · АНАЛИЗ

ТЕСТ · 1 БАЛЛ

3. Определение вида треугольника

Определите вид треугольника со сторонами 5, 7 и 9 см, используя следствие из теоремы косинусов.

Остроугольный
Прямоугольный
Тупоугольный

№4 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Поиск угла

В треугольнике стороны равны 3 см, 7 см и 8 см. Найдите градусную меру угла, лежащего против стороны длиной 7 см.

№5 · РАДИУС

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Описанная окружность

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором сторона длиной $42$ см лежит против угла в $4 5^{\circ}$ .

№6 · ТЕОРИЯ

ВЕРНО/НЕВЕРНО · 1 БАЛЛ

6. Свойства соотношений

Оцените истинность утверждений о соотношениях в произвольном треугольнике.

Против меньшей стороны треугольника всегда лежит меньший угол.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

№7 · СИСТЕМАТИЗАЦИЯ

ТАБЛИЦА · 3 БАЛЛА

7. Решение треугольников

Заполните пропуски в таблице элементов треугольника $A B C$ , используя изученные теоремы.

Сторона $a$	Сторона $b$	Угол $γ$ (между $a$ и $b$ )	Сторона $c$
6	8	$9 0^{\circ}$
3	5		7
5		$6 0^{\circ}$

№8 · ПЛОЩАДЬ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Связь с площадью

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 5 см и 8 см, а третья сторона равна 7 см. Сначала найдите косинус угла между сторонами 5 см и 8 см.

№9 · ГРАФИКА

ЧЕРТЁЖ · 1 БАЛЛ

9. Интерпретация чертежа

Рассмотрите чертёж треугольника. Какую теорему удобнее всего использовать для нахождения неизвестной стороны $x$ ?

Треугольник $A B C$ : даны две стороны и тупой угол между ними

№10 · ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА

СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

10. Параллелограмм

Стороны параллелограмма равны 5 см и 8 см, а угол между ними равен $6 0^{\circ}$ . Найдите длины обеих диагоналей этого параллелограмма.

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

1. Нахождение третьей стороны

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 3$ см, $A C = 5$ см, а угол между ними $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $B C$ .

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Стороны и углы

В треугольнике $A B C$ известно, что сторона $A C = 12$ см, $∠ B = 6 0^{\circ}$ , а $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите длину стороны $A B$ .

№3 · АНАЛИЗ

ТЕСТ · 1 БАЛЛ

3. Определение вида треугольника

Используя следствие из теоремы косинусов, определите вид треугольника со сторонами 7 см, 8 см и 12 см.

Остроугольный
Прямоугольный
Тупоугольный

№4 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Поиск угла

В треугольнике стороны равны 5 см, 7 см и 8 см. Найдите градусную меру угла, лежащего против стороны длиной 7 см.

№5 · РАДИУС

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Описанная окружность

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором сторона длиной $43$ см лежит против угла в $6 0^{\circ}$ .

№6 · ТЕОРИЯ

ВЕРНО/НЕВЕРНО · 1 БАЛЛ

6. Свойства соотношений

Оцените истинность утверждений о свойствах произвольного треугольника.

Сумма углов любого треугольника на плоскости составляет $18 0^{\circ}$ .
Теорема косинусов позволяет найти все углы треугольника, если известны длины всех его сторон.
Для любого треугольника выполняется соотношение: сторона относится к косинусу противолежащего угла как диаметр описанной окружности.

№7 · СИСТЕМАТИЗАЦИЯ

ТАБЛИЦА · 3 БАЛЛА

7. Решение треугольников

Заполните пропуски в таблице элементов треугольника $A B C$ , используя теоремы синусов и косинусов.

Сторона $a$	Сторона $b$	Угол $γ$ (между $a$ и $b$ )	Сторона $c$
8	15	$9 0^{\circ}$
5	8		7
2		$12 0^{\circ}$

№8 · ПЛОЩАДЬ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Связь с площадью

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 5 см и 6 см, а третья сторона равна $31$ см.

Ещё 15 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№9 · ГРАФИКА

ЧЕРТЁЖ · 1 БАЛЛ

9. Интерпретация чертежа

Рассмотрите чертёж треугольника $A B C$ . Какую теорему целесообразно использовать для нахождения стороны $x$ ?

Треугольник $A B C$ : даны две стороны и угол между ними

№10 · ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА

СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

10. Параллелограмм

Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, а угол между ними составляет $6 0^{\circ}$ . Найдите длины обеих его диагоналей.

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

1. Нахождение третьей стороны

В треугольнике $A B C$ известны две стороны и угол между ними: $A B = 7$ см, $A C = 8$ см, $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $B C$ .

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Стороны и углы

В треугольнике $A B C$ сторона $B C = 12$ см, $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите длину стороны $A C$ .

№3 · АНАЛИЗ

ТЕСТ · 1 БАЛЛ

3. Определение вида треугольника

Определите вид треугольника со сторонами 7, 8 и 12 см, используя следствие из теоремы косинусов.

Остроугольный
Прямоугольный
Тупоугольный

№4 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Поиск угла

В треугольнике стороны равны 5 см, 7 см и 8 см. Найдите градусную меру угла, лежащего против стороны длиной 7 см.

№5 · РАДИУС

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Описанная окружность

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором сторона длиной $82$ см лежит против угла в $4 5^{\circ}$ .

№6 · ТЕОРИЯ

ВЕРНО/НЕВЕРНО · 1 БАЛЛ

6. Свойства соотношений

Оцените истинность утверждений о метрических соотношениях в треугольнике.

Сумма всех внутренних углов любого треугольника всегда равна $18 0^{\circ}$ .
Согласно теореме синусов, отношение стороны к косинусу противолежащего угла постоянно для данного треугольника.
Теорема косинусов применима только для прямоугольных треугольников.

№7 · СИСТЕМАТИЗАЦИЯ

ТАБЛИЦА · 3 БАЛЛА

7. Решение треугольников

Заполните пропуски в таблице элементов треугольника $A B C$ , используя теоремы синусов и косинусов.

Сторона $a$	Сторона $b$	Угол $γ$ (между $a, b$ )	Сторона $c$
5	12	$9 0^{\circ}$
8	5		7
4		$12 0^{\circ}$

№8 · ПЛОЩАДЬ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Связь с площадью

Найдите площадь треугольника со сторонами 5 см и 6 см, если длина третьей стороны составляет $31$ см.

№9 · ГРАФИКА

ЧЕРТЁЖ · 1 БАЛЛ

9. Интерпретация чертежа

Рассмотрите чертёж. Какую теорему необходимо использовать, чтобы найти длину стороны $x$ по данным элементам?

Треугольник $A B C$ : даны стороны $a, b$ и угол $C$

№10 · ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА

СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

10. Диагонали параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 5 см и 8 см, а один из его углов равен $6 0^{\circ}$ . Найдите длины обеих диагоналей этого параллелограмма.

Соберите свой рабочий лист за минуту

ИИ сделает такой же лист по вашей теме и классу — с ответами и для печати.

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По ФГОС и школьной программеЗадания ориентированы на действующую школьную программу — можно сразу давать классу.
С ответами и готовы к печатиКаждый лист — с ключом ответов и готовой вёрсткой A4: скачивайте PDF и распечатывайте.
Свой лист за минуту в ИИ-конструктореИИ соберёт похожий лист по вашей теме, классу и нужным типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 30 заданий: реши задачу, множественный выбор, краткий ответ, истина / Ложь, таблица, математический рисунок.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

1. Нахождение третьей стороны

2. Стороны и углы

3. Определение вида треугольника

4. Поиск угла

5. Описанная окружность

6. Свойства соотношений

7. Решение треугольников

8. Связь с площадью

9. Интерпретация чертежа

10. Параллелограмм

1. Нахождение третьей стороны

2. Стороны и углы

3. Определение вида треугольника

4. Поиск угла

5. Описанная окружность

6. Свойства соотношений

7. Решение треугольников

8. Связь с площадью

9. Интерпретация чертежа

10. Параллелограмм

1. Нахождение третьей стороны

2. Стороны и углы

3. Определение вида треугольника

4. Поиск угла

5. Описанная окружность

6. Свойства соотношений

7. Решение треугольников

8. Связь с площадью

9. Интерпретация чертежа

10. Диагонали параллелограмма

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы

Похожие рабочие листы