Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей

8 класс · средний

50 заданий · таблица, заполни пропуски, множественный выбор, реши задачу, краткий ответ, найди лишнюю картинку, истина / Ложь, последовательность, распределение, реши примеры, соедини слово и картинку, вопросы по картинке, математический рисунок, соединение

Ф.И.
Класс

Разберись в секретах углов и окружностей. Мы пройдем путь от простых определений до сложных теорем о вписанных фигурах и касательных.

№1 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Соответствие углов

Заполни таблицу, вычислив значения вписанных или центральных углов, опирающихся на ту же дугу.

Центральный угол	Вписанный угол
$8 0^{\circ}$
	$5 5^{\circ}$
$6 4^{\circ}$

№2 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

2. Определение вписанного угла

Дополни определение вписанного угла.

Угол, вершина которого лежит на , а стороны окружность, называется вписанным углом.

№3 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

3. Свойство вписанного четырехугольника

Какое условие должно выполняться, чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность?

Сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$
Сумма противоположных сторон равна $18 0^{\circ}$
Диагонали делят углы пополам
Сумма всех углов равна $18 0^{\circ}$

№4 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

4. Вычисление вписанного угла

Вписанный угол опирается на дугу, градусная мера которой равна $9 2^{\circ}$ . Найдите величину этого вписанного угла.

№5 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

5. Радиус и диаметр

Диаметр окружности равен 26 см. Чему равен радиус этой окружности?

№6 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

6. Возможность описать окружность

Выберите четырехугольник, вокруг которого НЕЛЬЗЯ описать окружность (суммы противоположных углов не равны $18 0^{\circ}$ ).

№7 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Истинность утверждений

Определите, верны ли данные геометрические утверждения.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Любой вписанный угол равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
В любой четырехугольник, суммы противоположных сторон которого равны, можно вписать окружность.
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности дуг, заключенных между ними.

№8 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

8. Алгоритм поиска угла между хордами

Расположите шаги алгоритма нахождения угла между двумя пересекающимися хордами $A B$ и $C D$ , если известны дуги $A C$ и $B D$ .

Определить градусные меры дуг, заключенных между хордами
Вычислить сумму полученных градусных мер
Разделить результат на 2
Записать итоговую величину угла в градусах

№9 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

9. Вписанные и описанные окружности

Распределите признаки и свойства по типам четырехугольников.

Слова для распределения: Суммы длин противоположных сторон равны, Биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке, Серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, Сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$

Вписанный четырехугольник

Описанный четырехугольник

№10 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

10. Вычисление углов по дугам

Вычислите градусную меру вписанного угла по заданной дуге.

\frac{1}{2} \cdot 16 0^{\circ}

\frac{1}{2} \cdot 7 4^{\circ}

\frac{1}{2} \cdot 22 0^{\circ}

\frac{1}{2} \cdot 10 4^{\circ}

№11 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

11. Виды углов

Соотнесите название угла с его графическим представлением.

Центральный угол
Вписанный угол
Угол между секущими

№12 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

12. Угол между секущими

Рассмотрите чертеж и ответьте на вопросы.

Как называется угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают ее?
Если дуга BD равна $10 0^{\circ}$ , а дуга AC равна $4 0^{\circ}$ , чему равен угол P?

№13 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

13. Стороны описанного четырехугольника

В четырехугольник $A B C D$ вписана окружность. Найдите длину неизвестной стороны.

AB	BC	CD	AD
8	11	14
10		15	12

№14 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

14. Теорема о касательной и хорде

Заполните пропуски в формулировке теоремы.

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен градусной меры , заключенной внутри этого угла.

№15 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

15. Центр описанной окружности

Где находится центр окружности, описанной около треугольника?

В точке пересечения серединных перпендикуляров
В точке пересечения биссектрис
В точке пересечения медиан
В точке пересечения высот

№16 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

16. Угол между хордами

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ . Градусная мера дуги $A D$ равна $13 0^{\circ}$ , а дуги $B C$ равна $5 0^{\circ}$ . Найдите угол $A M D$ .

№17 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

17. Отрезки касательных

Из точки $K$ к окружности проведены две касательные $K M$ и $K N$ , где $M$ и $N$ — точки касания. Если отрезок $K M = 18$ см, чему равна длина отрезка $K N$ ?

№18 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

18. Взаимное расположение окружностей

Найдите изображение, где окружности пересекаются в двух точках.

№19 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

19. Сложные свойства

Выберите верные утверждения для сложных конфигураций.

Если две окружности касаются внутренним образом, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.
Любой прямоугольник является вписанным четырехугольником.
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его диагонали равны.

№20 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

20. Доказательство теоремы о секущих

Восстановите логику доказательства того, что для секущих $P A B$ и $P C D$ верно $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ .

Рассмотреть треугольники $P A D$ и $P C B$
Заметить, что угол $P$ является общим
Доказать равенство вписанных углов $P D A$ и $P B C$
Сделать вывод о подобии треугольников по двум углам
Записать пропорцию сторон и перемножить их крест-накрест

№1 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

1. Соответствие углов

Заполни таблицу, вычислив значения вписанных или центральных углов, опирающихся на ту же дугу.

Центральный угол	Вписанный угол
$8 0^{\circ}$
	$4 5^{\circ}$
$5 2^{\circ}$

№2 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

2. Определение вписанного угла

Дополни определение вписанного угла.

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на , а стороны эту окружность.

№3 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

3. Свойство вписанного четырехугольника

При каком условии около четырехугольника можно описать окружность?

Сумма его противоположных углов составляет $18 0^{\circ}$
Его диагонали делят углы пополам
Суммы его противоположных сторон равны
Все его углы являются острыми

№4 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

4. Вычисление вписанного угла

Вписанный угол опирается на дугу окружности, градусная мера которой равна $13 2^{\circ}$ . Найдите величину этого угла.

№5 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

5. Радиус и диаметр

Диаметр окружности равен 34 см. Вычислите радиус этой окружности.

№6 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

6. Возможность описать окружность

Укажите четырехугольник, вокруг которого НЕЛЬЗЯ описать окружность.

№7 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

7. Истинность утверждений

Проверьте истинность следующих геометрических фактов.

Радиус, проведенный в точку касания, образует с касательной угол $9 0^{\circ}$ .
Длина касательной, проведенной к окружности, всегда больше диаметра.
Центр описанной около треугольника окружности — это точка пересечения его серединных перпендикуляров.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

№8 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

8. Алгоритм поиска угла между хордами

Восстановите порядок действий для нахождения угла между хордами $A B$ и $C D$ , пересекающимися внутри окружности.

Определить дуги, заключенные между данными хордами
Вычислить сумму градусных мер этих двух дуг
Разделить полученную сумму пополам
Записать значение искомого угла

Ещё 25 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№9 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

9. Вписанные и описанные окружности

Распределите свойства по соответствующим категориям четырехугольников.

Слова для распределения: Противоположные углы в сумме дают $18 0^{\circ}$ , Все стороны являются касательными к окружности, Суммы длин противоположных сторон равны, Все вершины лежат на окружности

Вписанный в окружность

Описанный около окружности

№10 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

10. Вычисление углов по дугам

Найдите величину вписанного угла $α$ , зная градусную меру дуги, на которую он опирается.

\frac{1}{2} \cdot 16 0^{\circ}

\frac{1}{2} \cdot 7 4^{\circ}

\frac{1}{2} \cdot 22 0^{\circ}

\frac{1}{2} \cdot 10 8^{\circ}

№11 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

11. Виды углов

Сопоставьте название геометрического угла с его схематичным изображением.

Центральный угол
Вписанный угол
Угол между касательной и хордой

№12 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

12. Угол между секущими

Изучите чертеж угла с вершиной вне окружности и решите задачу.

Как вычислить угол P, если известны большая дуга BD и меньшая дуга AC?
Если дуга BD равна $11 0^{\circ}$ , а дуга AC равна $3 0^{\circ}$ , чему равен угол P?

№13 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

13. Стороны описанного четырехугольника

В четырехугольник $A B C D$ вписана окружность. Найдите длину стороны, используя свойство сумм противоположных сторон.

AB	BC	CD	AD
8	12	14
6		15	10

№14 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

14. Теорема о касательной и хорде

Вставьте пропущенные слова в формулировку теоремы.

Угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания, равен градусной меры , заключенной внутри него.

№15 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

15. Центр вписанной окружности

Выберите верное утверждение о центре вписанной в многоугольник окружности.

Он лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
Он лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам
Он совпадает с точкой пересечения медиан
Он всегда находится вне фигуры

№16 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

16. Угол между хордами

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ . Градусная мера дуги $A D$ равна $12 0^{\circ}$ , а дуги $B C$ равна $6 0^{\circ}$ . Найдите величину угла $A M D$ .

№17 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

17. Отрезки касательных

Из точки $M$ к окружности проведены две касательные $M A$ и $M B$ , где $A$ и $B$ — точки касания. Если длина отрезка $M A = 19$ см, чему равна длина отрезка $M B$ ?

№18 · ШКОЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

18. Виды касания окружностей

Найдите вариант, на котором изображено ПЕРЕСЕЧЕНИЕ окружностей (две общие точки).

№19 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

19. Сложные свойства

Отметьте верные утверждения для продвинутых задач.

Если две окружности касаются внутренним образом, то расстояние между их центрами равно разности их радиусов.
Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
Квадрат произведения отрезков одной хорды равен квадрату произведения отрезков другой хорды.

№20 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

20. Доказательство теоремы о секущих

Восстановите шаги доказательства свойства секущих $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ .

Соединить точки $A$ с $D$ и $C$ с $B$ для получения треугольников $P A D$ и $P C B$
Заметить, что угол $P$ общий для обоих треугольников
Доказать равенство углов $P D A$ и $P B C$ как вписанных углов
Сделать вывод о подобии треугольников $△ P A D \sim △ P C B$
Записать пропорцию $\frac{P A}{P C} = \frac{P D}{P B}$ и перемножить крест-накрест

№1 · ТЕОРИЯ

1 БАЛЛ

1. Центральные и вписанные углы

Выберите верное утверждение о связи центрального и вписанного углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

Вписанный угол в два раза больше центрального
Вписанный угол равен центральному
Вписанный угол в два раза меньше центрального
Сумма этих углов всегда равна $18 0^{\circ}$

№2 · ПРОПУСКИ

1 БАЛЛ

2. Свойство вписанного угла

Дополните утверждение о величине вписанного угла.

Вписанный угол равен дуги, на которую он опирается.

№3 · ЗАДАЧА

2 БАЛЛА

3. Отрезки касательных

Из точки $M$ , лежащей вне окружности, проведены две касательные $M A$ и $M B$ . Найдите длину отрезка $M B$ , если $M A = 12$ см.

№4 · ЧЕРТЁЖ

2 БАЛЛА

4. Углы в окружности

На рисунке изображена окружность с центром $O$ . Найдите величину угла $A B C$ , если дуга $A C$ , на которую он опирается, не содержащая точку $B$ , равна $11 0^{\circ}$ .

Вписанный угол $A B C$

№5 · ВЕРНО/НЕВЕРНО

1 БАЛЛ

5. Четырехугольники и окружности

Определите истинность высказываний о вписанных и описанных четырехугольниках.

В любой четырехугольник можно вписать окружность.
Если суммы противоположных углов четырехугольника равны $18 0^{\circ}$ , то около него можно описать окружность.
В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

№6 · ЗАДАЧА

3 БАЛЛА

6. Вписанный четырехугольник

Четырехугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A$ равен $7 5^{\circ}$ , а угол $B$ равен $10 2^{\circ}$ . Найдите углы $C$ и $D$ .

№7 · ТАБЛИЦА

2 БАЛЛА

7. Стороны описанного четырехугольника

Заполните пропущенные значения сторон четырехугольника $A B C D$ , в который вписана окружность ( $a, b, c, d$ — последовательные стороны).

Сторона $a$	Сторона $b$	Сторона $c$	Сторона $d$
5		8
10			13

№8 · ГРАФИКА

2 БАЛЛА

8. Касание окружностей

Две окружности радиусами $R = 5$ см и $r = 3$ см касаются внешним образом. Найдите расстояние между их центрами $O_{1} O_{2}$ .

Внешнее касание

№9 · СООТВЕТСТВИЕ

2 БАЛЛА

9. Геометрические понятия

Установите соответствие между понятием и его определением.

№10 · ЗАДАЧА

3 БАЛЛА

10. Угол между касательной и хордой

Через точку $A$ окружности проведена касательная $A B$ и хорда $A C$ . Найдите угол между ними, если дуга $A C$ , заключенная внутри этого угла, равна $12 4^{\circ}$ .

Соберите свой рабочий лист за минуту

ИИ сделает такой же лист по вашей теме и классу — с ответами и для печати.

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По ФГОС и школьной программеЗадания ориентированы на действующую школьную программу — можно сразу давать классу.
С ответами и готовы к печатиКаждый лист — с ключом ответов и готовой вёрсткой A4: скачивайте PDF и распечатывайте.
Свой лист за минуту в ИИ-конструктореИИ соберёт похожий лист по вашей теме, классу и нужным типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: таблица, заполни пропуски, множественный выбор, реши задачу, краткий ответ, найди лишнюю картинку, истина / Ложь, последовательность, распределение, реши примеры, соедини слово и картинку, вопросы по картинке, математический рисунок, соединение.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 8 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

1. Соответствие углов

2. Определение вписанного угла

3. Свойство вписанного четырехугольника

4. Вычисление вписанного угла

5. Радиус и диаметр

6. Возможность описать окружность

7. Истинность утверждений

8. Алгоритм поиска угла между хордами

9. Вписанные и описанные окружности

10. Вычисление углов по дугам

11. Виды углов

12. Угол между секущими

13. Стороны описанного четырехугольника

14. Теорема о касательной и хорде

15. Центр описанной окружности

16. Угол между хордами

17. Отрезки касательных

18. Взаимное расположение окружностей

19. Сложные свойства

20. Доказательство теоремы о секущих

1. Соответствие углов

2. Определение вписанного угла

3. Свойство вписанного четырехугольника

4. Вычисление вписанного угла

5. Радиус и диаметр

6. Возможность описать окружность

7. Истинность утверждений

8. Алгоритм поиска угла между хордами

9. Вписанные и описанные окружности

10. Вычисление углов по дугам

11. Виды углов

12. Угол между секущими

13. Стороны описанного четырехугольника

14. Теорема о касательной и хорде

15. Центр вписанной окружности

16. Угол между хордами

17. Отрезки касательных

18. Виды касания окружностей

19. Сложные свойства

20. Доказательство теоремы о секущих

1. Центральные и вписанные углы

2. Свойство вписанного угла

3. Отрезки касательных

4. Углы в окружности

5. Четырехугольники и окружности

6. Вписанный четырехугольник

7. Стороны описанного четырехугольника

8. Касание окружностей

9. Геометрические понятия

10. Угол между касательной и хордой

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы

Похожие рабочие листы