Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей

2 БАЛЛА

7. Истинность утверждений

Проверьте истинность следующих геометрических фактов.

1. Радиус, проведенный в точку касания, образует с касательной угол $90^{\circ }$.ИстинаЛожь
2. Длина касательной, проведенной к окружности, всегда больше диаметра.ИстинаЛожь
3. Центр описанной около треугольника окружности — это точка пересечения его серединных перпендикуляров.ИстинаЛожь
4. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.ИстинаЛожь

2 БАЛЛА

8. Алгоритм поиска угла между хордами

Восстановите порядок действий для нахождения угла между хордами $AB$ и $CD$, пересекающимися внутри окружности.

1. Определить дуги, заключенные между данными хордами
2. Вычислить сумму градусных мер этих двух дуг
3. Разделить полученную сумму пополам
4. Записать значение искомого угла

2 БАЛЛА

9. Вписанные и описанные окружности

Распределите свойства по соответствующим категориям четырехугольников.

Слова для распределения: Противоположные углы в сумме дают $180^{\circ }$, Все стороны являются касательными к окружности, Суммы длин противоположных сторон равны, Все вершины лежат на окружности

2 БАЛЛА

10. Вычисление углов по дугам

Найдите величину вписанного угла $\alpha$, зная градусную меру дуги, на которую он опирается.

2 БАЛЛА

11. Виды углов

Сопоставьте название геометрического угла с его схематичным изображением.

• Центральный угол
  
• Вписанный угол
  
• Угол между касательной и хордой
  

2 БАЛЛА

12. Угол между секущими

Изучите чертеж угла с вершиной вне окружности и решите задачу.

1. Как вычислить угол P, если известны большая дуга BD и меньшая дуга AC?
2. Если дуга BD равна $110^{\circ }$, а дуга AC равна $30^{\circ }$, чему равен угол P?

2 БАЛЛА

13. Стороны описанного четырехугольника

В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Найдите длину стороны, используя свойство сумм противоположных сторон.

2 БАЛЛА

14. Теорема о касательной и хорде

Вставьте пропущенные слова в формулировку теоремы.

Угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания, равен градусной меры , заключенной внутри него.

2 БАЛЛА

15. Центр вписанной окружности

Выберите верное утверждение о центре вписанной в многоугольник окружности.

• Он лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
• Он лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам
• Он совпадает с точкой пересечения медиан
• Он всегда находится вне фигуры

2 БАЛЛА

16. Угол между хордами

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Градусная мера дуги $AD$ равна $120^{\circ }$, а дуги $BC$ равна $60^{\circ }$. Найдите величину угла $AMD$.

2 БАЛЛА

17. Отрезки касательных

Из точки $M$ к окружности проведены две касательные $MA$ и $MB$, где $A$ и $B$ — точки касания. Если длина отрезка $MA=19$ см, чему равна длина отрезка $MB$?

2 БАЛЛА

18. Виды касания окружностей

Найдите вариант, на котором изображено ПЕРЕСЕЧЕНИЕ окружностей (две общие точки).

3 БАЛЛА

19. Сложные свойства

Отметьте верные утверждения для продвинутых задач.

1. Если две окружности касаются внутренним образом, то расстояние между их центрами равно разности их радиусов.ИстинаЛожь
2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность.ИстинаЛожь
3. Квадрат произведения отрезков одной хорды равен квадрату произведения отрезков другой хорды.ИстинаЛожь

3 БАЛЛА

20. Доказательство теоремы о секущих

Восстановите шаги доказательства свойства секущих $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.

1. Соединить точки $A$ с $D$ и $C$ с $B$ для получения треугольников $PAD$ и $PCB$
2. Заметить, что угол $P$ общий для обоих треугольников
3. Доказать равенство углов $PDA$ и $PBC$ как вписанных углов
4. Сделать вывод о подобии треугольников $△PAD\sim △PCB$
5. Записать пропорцию $\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$ и перемножить крест-накрест

1 БАЛЛ

1. Центральные и вписанные углы

Выберите верное утверждение о связи центрального и вписанного углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

• Вписанный угол в два раза больше центрального
• Вписанный угол равен центральному
• Вписанный угол в два раза меньше центрального
• Сумма этих углов всегда равна $180^{\circ }$

1 БАЛЛ

2. Свойство вписанного угла

Дополните утверждение о величине вписанного угла.

Вписанный угол равен дуги, на которую он опирается.

2 БАЛЛА

3. Отрезки касательных

Из точки $M$, лежащей вне окружности, проведены две касательные $MA$ и $MB$. Найдите длину отрезка $MB$, если $MA=12$ см.

2 БАЛЛА

4. Углы в окружности

На рисунке изображена окружность с центром $O$. Найдите величину угла $ABC$, если дуга $AC$, на которую он опирается, не содержащая точку $B$, равна $110^{\circ }$.

1 БАЛЛ

5. Четырехугольники и окружности

Определите истинность высказываний о вписанных и описанных четырехугольниках.

1. В любой четырехугольник можно вписать окружность.ИстинаЛожь
2. Если суммы противоположных углов четырехугольника равны $180^{\circ }$, то около него можно описать окружность.ИстинаЛожь
3. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.ИстинаЛожь

3 БАЛЛА

6. Вписанный четырехугольник

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $A$ равен $75^{\circ }$, а угол $B$ равен $102^{\circ }$. Найдите углы $C$ и $D$.

2 БАЛЛА

7. Стороны описанного четырехугольника

Заполните пропущенные значения сторон четырехугольника $ABCD$, в который вписана окружность ($a,b,c,d$ — последовательные стороны).

2 БАЛЛА

8. Касание окружностей

Две окружности радиусами $R=5$ см и $r=3$ см касаются внешним образом. Найдите расстояние между их центрами $O_1{O}_2$.

2 БАЛЛА

9. Геометрические понятия

Установите соответствие между понятием и его определением.

3 БАЛЛА

10. Угол между касательной и хордой

Через точку $A$ окружности проведена касательная $AB$ и хорда $AC$. Найдите угол между ними, если дуга $AC$, заключенная внутри этого угла, равна $124^{\circ }$.