Площади треугольника, параллелограмма, трапеции

8 класс · сложный

50 заданий · распределение, истина / Ложь, заполни пропуски, реши примеры, краткий ответ, множественный выбор, реши задачу, соединение, найти лишнее, последовательность, математический рисунок, сравни числа, таблица, кроссворд

Ф.И.
Класс

Приготовься к глубокому погружению в геометрию. Сегодня мы не просто считаем клетки, а доказываем теоремы и решаем многошаговые задачи на площади.

№1 · АНАЛИЗ

6 УТВЕРЖДЕНИЙ · 2 БАЛЛА

1. Отрезки и площади

Распределите характеристики отрезков треугольника в зависимости от их влияния на площадь.

Слова для распределения: Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, Высота при изменении масштаба всей фигуры, Биссектриса треугольника (для треугольников, на которые она делит исходный), Средняя линия (отсекаемый треугольник к исходному), Произвольный чевиан (отрезок из вершины к стороне), Медиана треугольника

Делит площадь пополам

Делит площадь в отношении сторон

Сохраняет отношение $k^{2}$

№2 · ТЕОРИЯ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Истинность геометрических свойств

Определите, являются ли данные утверждения верными.

Если два треугольника имеют равные площади, то они равны.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Если высоту параллелограмма увеличить в 2 раза, а основание уменьшить в 2 раза, площадь не изменится.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на боковую сторону.

№3 · ФОРМУЛЫ

ПРОПУСКИ · 2 БАЛЛА

3. Отношение площадей

Заполните пропуски в теореме об отношении площадей треугольников с общим углом.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как сторон, этот угол. Математически: $S_{1} / S_{2} = (a \cdot b) / ($ $\cdot$ $)$ .

№4 · РАСЧЁТЫ

3 ЗАДАЧИ · 2 БАЛЛА

4. Вычисление площади по параметрам

Найдите площадь $S$ для каждой фигуры по заданным элементам.

1)Треугольник:

a = 10, b = 12, sin γ = 0.5

2)Параллелограмм:

d_{1} = 8, d_{2} = 10, sin α = 0.8

3)Трапеция:

a = 5, b = 9, h = 6

№5 · КРАТКИЙ ОТВЕТ

ЛОГИКА · 1 БАЛЛ

5. Медиана и площадь

В треугольнике $A B C$ проведена медиана $A M$ . Площадь треугольника $A B M$ равна $24$ $с м^{2}$ . Чему равна площадь треугольника $A B C$ ?

№6 · ВЫБОР

МАСШТАБ · 1 БАЛЛ

6. Изменение площади при подобии

Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Как изменилась его площадь?

Увеличилась в 3 раза
Увеличилась в 6 раз
Увеличилась в 9 раз
Увеличилась в 27 раз

№7 · ЗАДАЧА

ГЕОМЕТРИЯ · 5 БАЛЛОВ

7. Площадь произвольной трапеции

Найдите площадь трапеции, основания которой равны $10$ см и $24$ см, а боковые стороны — $13$ см и $15$ см.

№8 · СООТВЕТСТВИЕ

4 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

8. Фигуры и их формулы

Соедините название фигуры с формулой её площади.

№9 · ИСКЛЮЧЕНИЕ

ЛОГИКА · 1 БАЛЛ

9. Лишний параметр

Выберите набор данных, который НЕ позволяет однозначно вычислить площадь треугольника.

Две стороны и угол между ними
Три стороны
Сторона и два прилежащих к ней угла
Три угла

№10 · АЛГОРИТМ

ВЫВОД · 2 БАЛЛА

10. Вывод формулы площади параллелограмма

Расставьте этапы доказательства формулы $S = a \cdot h$ в логическом порядке.

Достроить параллелограмм до прямоугольника, проведя высоты из вершин к прямой, содержащей основание.
Доказать равенство полученных прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Обосновать, что площадь параллелограмма равна площади равновеликого ему прямоугольника.
Применить формулу площади прямоугольника $S = a \cdot b$ , где $b$ — высота исходной фигуры.

№1 · ТРЕУГОЛЬНИК

1 БАЛЛ

1. Флаг Татарстана

На сувенирном вымпеле изображён треугольный элемент зелёного цвета. Основание треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к нему, составляет 5 см. Найдите площадь этого элемента.

60 $с м^{2}$
30 $с м^{2}$
15 $с м^{2}$
45 $с м^{2}$

№2 · ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

2 БАЛЛА

2. Участок в Сабах

Фермерский участок в Сабинском районе имеет форму параллелограмма. Одна его сторона равна 40 м, а высота, проведённая к этой стороне, — 25 м. Вычислите площадь участка в квадратных метрах.

№3 · ТРАПЕЦИЯ

2 БАЛЛА

3. Набережная Казанки

Укреплённый склон набережной имеет форму равнобедренной трапеции. Основания трапеции равны 15 м и 9 м, а высота — 4 м. Найдите площадь этого склона.

№4 · ГРАФИК

2 БАЛЛА

4. Проект Иннополиса

На чертеже изображён план треугольного сквера в Иннополисе. Одна клетка соответствует 1 метру. Найдите площадь сквера по сетке.

План сквера на координатной сетке

№5 · ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

3 БАЛЛА

5. Орнамент на башне Сююмбике

Декоративная плитка имеет форму параллелограмма со сторонами 10 см и 8 см. Угол между ними равен $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь одной такой плитки.

№6 · ЧЕРТЁЖ

3 БАЛЛА

6. Крыша беседки

Для реставрации беседки в Раифском монастыре нужно вычислить площадь боковой грани крыши, которая имеет форму трапеции. Используйте данные с чертежа.

№7 · СРАВНЕНИЕ

2 БАЛЛА

7. Парки Казани

Сравните площади двух цветочных клумб. Первая — треугольная (основание 8 м, высота 6 м), вторая — параллелограмм (сторона 4 м, высота к ней 6 м).

S_{треуг}

S_{паралл}

№8 · ФОРМУЛЫ

1 БАЛЛ

8. Справочник архитектора

Заполните пропущенные элементы в формулах площадей.

1) Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot$
2) Площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot$

№9 · ТАБЛИЦА

3 БАЛЛА

9. Расчёт материалов

Заполните таблицу характеристик для различных элементов декора.

Фигура	Основание $a$	Основание $b$
Параллелограмм	12	—
Треугольник	10	—
Трапеция

№10 · СЛОЖНАЯ ФИГУРА

5 БАЛЛОВ

10. Стена Казанского Кремля

Стена состоит из прямоугольника и трапеции сверху (зубцы). Вычислите общую площадь фасада секции, если ширина секции 10 м, высота прямоугольной части 8 м, а высота трапециевидного зубца 2 м (верхнее основание зубца 6 м).

№1 · КАТЕГОРИИ

6 ЭЛЕМЕНТОВ · 1 БАЛЛ

1. Геометрия на тарелке

Распредели части нашего завтрака по контейнерам, ориентируясь на их геометрическую форму.

Слова для распределения: Ломтик твёрдого сыра, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет, Боковой срез высокой булочки (нижнее основание шире верхнего), Кусочек плавленого сыра из круглой упаковки, Четвертинка квадратного тоста, разрезанная по двум диагоналям, Косой срез длинного батона (вид сверху), Слайс ветчины, у которого противоположные стороны параллельны, но углы не прямые

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

№2 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Мифы о бутербродах

Отметь, верны ли данные геометрические утверждения.

Площадь любого треугольника равна произведению основания на высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к нему.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Если разрезать квадратный хлеб по диагонали, площадь одного треугольника будет вдвое меньше площади квадрата.

№3 · СРАВНЕНИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

3. Чей кусок больше?

Сравни площади ломтиков продуктов, используя знаки $<$ , $>$ или $=$ .

S_{треуг} (a = 6, h = 4)

S_{пар - мм} (a = 3, h = 4)

S_{трапец} (a = 2, b = 4, h = 3)

S_{треуг} (a = 5, h = 4)

S_{пар - мм} (a = 5, b = 6, α = 30°)

S_{пар - мм} (a = 5, h = 3)

№4 · ПРОПУСКИ

3 МАРКЕРА · 1 БАЛЛ

4. Рецепт площади

Вставь пропущенные элементы в формулы для расчета порций.

1. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot$ . 2. Площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot$ . 3. Площадь параллелограмма через угол: $S = a \cdot b \cdot$ .

№5 · ВЫБОР

ОДИН ВАРЯИНТ · 1 БАЛЛ

5. Сырная трапеция

Найдите площадь куска сыра в форме трапеции, если его основания равны 6 см и 10 см, а высота составляет 5 см.

80 см $^{2}$
40 см $^{2}$
30 см $^{2}$
60 см $^{2}$

№6 · КРОССВОРД

10 СЛОВ · 3 БАЛЛА

6. Кухонная геометрия

Разгадай кроссворд, используя термины из темы площадей.

По горизонтали

Тригонометрическая функция в формуле площади через угол
Сумма длин всех сторон
Сторона, к которой проведена высота
Ромб с прямыми углами
Четырехугольник, у которого только две стороны параллельны

По вертикали

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины
Величина части плоскости, занимаемой фигурой
Наука о свойствах фигур
Перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей основание
Параллелограмм с равными сторонами

№7 · ЛИШНЕЕ

1 ИЗ 4 · 1 БАЛЛ

7. Лишний ингредиент

Выберите параметр, который НЕ является обязательным для вычисления площади произвольного треугольника по стандартной формуле.

Длина основания
Высота
Радиус вписанной окружности
Периметр

№8 · ПРИМЕРЫ

4 ЗАДАЧИ · 2 БАЛЛА

8. Быстрый перекус

Вычисли площади фигур по заданным измерениям.

S_{пар} (a = 8, h = 3)

S_{треуг} (a = 10, h = 7)

S_{трап} (a = 4, b = 6, h = 2)

S_{пр . тр} (c a t_{1} = 6, c a t_{2} = 8)

Ещё 25 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№9 · КАТЕГОРИИ

6 ЭЛЕМЕНТОВ · 1 БАЛЛ

9. Типы треугольников

Распредели треугольники по расположению их высот.

Слова для распределения: Равносторонний треугольник, Треугольник с углом 120 градусов, Остроугольный треугольник, Треугольник с углом 90 градусов, Тупоугольный треугольник (высота к основанию), Прямоугольный треугольник

Внутри

Совпадает со стороной

Снаружи

№10 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

10. Свойства разреза

Оцени, как изменится площадь при изменении размеров ингредиентов.

Если высоту параллелограмма увеличить в 3 раза, его площадь увеличится в 3 раза.
Если все стороны треугольника увеличить в 2 раза, площадь увеличится в 2 раза.
Площадь трапеции не изменится, если поменять местами её основания.

№11 · СРАВНЕНИЕ

2 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

11. Сравнение порций

Сравни площади фигур, имеющих общие элементы.

S_{треуг}

с осн.

a

и выс.

h

S_{пар - мм}

с осн.

a

и выс.

h

S_{трап}

с осн.

4, 6

и выс.

h

S_{пар - мм}

с осн.

5

и выс.

h

№12 · ПРОПУСКИ

2 МАРКЕРА · 2 БАЛЛА

12. Секретный ингредиент

Найди неизвестные элементы фигур по их площади.

1. Если площадь параллелограмма $40$ см $^{2}$ , а основание $8$ см, то высота равна см. 2. Если площадь треугольника $15$ см $^{2}$ , а высота $3$ см, то основание равно см.

№13 · ВЫБОР

ОДИН ВАРИАНТ · 1 БАЛЛ

13. Треугольный тост

Найдите площадь прямоугольного треугольника (половинки тоста), катеты которого равны 12 см и 5 см.

60 см $^{2}$
30 см $^{2}$
17 см $^{2}$
13 см $^{2}$

№14 · КРОССВОРД

8 СЛОВ · 2 БАЛЛА

14. Финальный десерт

Заполни сетку терминами, связанными с четырехугольниками.

По горизонтали

Точка соединения сторон
Средняя ... трапеции
Единица измерения длины
Отрезок, ограничивающий многоугольник

По вертикали

Дробь 1/2 в формуле треугольника
Результат сложения оснований
Основное условие для сторон квадрата
Фигура, образованная двумя лучами из одной точки

№15 · ЛИШНЕЕ

1 ИЗ 4 · 2 БАЛЛА

15. Ошибка в меню

Какая из формул НЕ подходит для вычисления площади параллелограмма?

$S = a \cdot h_{a}$
$S = a \cdot b \cdot sin α$
$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
$S = a \cdot b$

№1 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Площадь треугольника

Найдите площадь треугольника, если его основание равно 16 см, а высота, проведённая к этому основанию, равна 5 см.

80 $с м^{2}$
40 $с м^{2}$
21 $с м^{2}$
20 $с м^{2}$

№2 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

2 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Площадь параллелограмма

Вычислите площадь параллелограмма $S$ по заданному основанию $a$ и высоте $h$ .

1)a = 12, h = 7; S

2)a = 20, h = 4.5; S

№3 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Верно или неверно?

Оцените истинность утверждений о площадях фигур.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
Равные фигуры имеют равные площади.
Если высоту параллелограмма увеличить в 2 раза, его площадь увеличится в 2 раза.

№4 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

ФОРМУЛА · 1 БАЛЛ

4. Площадь трапеции

Заполните пропуски в формуле площади трапеции через основания $a, b$ и высоту $h$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot ($ $+$ $) \cdot$

№5 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 ШАГА · 2 БАЛЛА

5. Угол параллелограмма

Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 12 см, а один из углов равен $15 0^{\circ}$ .

№7 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА · 2 БАЛЛА

7. Прямоугольный треугольник

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13 см, а один из катетов равен 5 см.

№8 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

СРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

8. Сравнение площадей

Сравните площади двух фигур: треугольника и квадрата.

1)Треугольник:

a = 10, h = 6

Квадрат: сторона

5

№9 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

МНОГОШАГОВОЕ · 3 БАЛЛА

9. Площадь произвольной трапеции

Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 24 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см.

№10 · ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ · 3 БАЛЛА

10. Отношение площадей треугольников

В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $A C$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $A M : M B = 1 : 2$ , а $A N : N C = 3 : 2$ . Найдите площадь треугольника $A M N$ , если площадь треугольника $A B C$ равна 75 $с м^{2}$ .

№1 · ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

РЕШИ ЗАДАЧУ · 2 БАЛЛА

1. Площадь по основанию и высоте

Найдите площадь параллелограмма, если его основание равно 15 см, а высота, проведённая к этому основанию, равна 6 см.

№2 · ТРЕУГОЛЬНИК

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

2. Базовая формула

Вычислите площадь треугольника, если его основание равно 10 см, а высота — 4 см.

№3 · ТРАПЕЦИЯ

РЕШИ ЗАДАЧУ · 2 БАЛЛА

3. Площадь трапеции

Основания трапеции равны 7 см и 13 см, а её высота составляет 5 см. Найдите площадь данной трапеции.

№4 · ТРЕУГОЛЬНИК

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

4. Прямоугольный треугольник

Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 8 см и 15 см.

№5 · ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

РЕШИ ЗАДАЧУ · 3 БАЛЛА

5. Площадь через угол

Стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см, а угол между ними составляет $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь параллелограмма.

№6 · СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

6. Изменение стороны

Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза?

Соберите свой рабочий лист за минуту

ИИ сделает такой же лист по вашей теме и классу — с ответами и для печати.

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По ФГОС и школьной программеЗадания ориентированы на действующую школьную программу — можно сразу давать классу.
С ответами и готовы к печатиКаждый лист — с ключом ответов и готовой вёрсткой A4: скачивайте PDF и распечатывайте.
Свой лист за минуту в ИИ-конструктореИИ соберёт похожий лист по вашей теме, классу и нужным типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Площади треугольника, параллелограмма, трапеции»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: распределение, истина / Ложь, заполни пропуски, реши примеры, краткий ответ, множественный выбор, реши задачу, соединение, найти лишнее, последовательность, математический рисунок, сравни числа, таблица, кроссворд.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 8 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

1. Отрезки и площади

2. Истинность геометрических свойств

3. Отношение площадей

4. Вычисление площади по параметрам

5. Медиана и площадь

6. Изменение площади при подобии

7. Площадь произвольной трапеции

8. Фигуры и их формулы

9. Лишний параметр

10. Вывод формулы площади параллелограмма

1. Флаг Татарстана

2. Участок в Сабах

3. Набережная Казанки

4. Проект Иннополиса

5. Орнамент на башне Сююмбике

6. Крыша беседки

7. Парки Казани

8. Справочник архитектора

9. Расчёт материалов

10. Стена Казанского Кремля

1. Геометрия на тарелке

2. Мифы о бутербродах

3. Чей кусок больше?

4. Рецепт площади

5. Сырная трапеция

6. Кухонная геометрия

7. Лишний ингредиент

8. Быстрый перекус

9. Типы треугольников

10. Свойства разреза

11. Сравнение порций

12. Секретный ингредиент

13. Треугольный тост

14. Финальный десерт

15. Ошибка в меню

1. Площадь треугольника

2. Площадь параллелограмма

3. Верно или неверно?

4. Площадь трапеции

5. Угол параллелограмма

7. Прямоугольный треугольник

8. Сравнение площадей

9. Площадь произвольной трапеции

10. Отношение площадей треугольников

1. Площадь по основанию и высоте

2. Базовая формула

3. Площадь трапеции

4. Прямоугольный треугольник

5. Площадь через угол

6. Изменение стороны

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы

Похожие рабочие листы