Решение неравенств методом интервалов

МНОГОШАГОВОЕ · 5 БАЛЛОВ

15. Магистраль

Проведи полный анализ и реши неравенство: $\frac{x^2-4x+3}{x^2-4}\le 0$.

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Точки перехода

Для решения неравенства $(x-7)(x+4)<0$ сначала нужно найти «нули» функции. Какие значения $x$ обращают левую часть в ноль?

• $7$ и $-4$
• $-7$ и $4$
• $7$ и $4$
• $-7$ и $-4$

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Крайний правый интервал

Определите знак выражения на самом правом промежутке.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=100$. При этом значении выражение $(x-1)(x-5)(x-8)$ будет нуля, значит, на этом интервале мы поставим знак .

3 ШАГА · 3 БАЛЛА

3. Квадратичное неравенство

Решите неравенство $x^2-6x+8\le 0$ методом интервалов. Представьте левую часть в виде произведения множителей и укажите итоговый промежуток.

2 ШАГА · 3 БАЛЛА

4. Дробно-рациональное навигация

На чертеже показано распределение знаков для неравенства $\frac{x+2}{x-3}>0$. Запишите решение этого неравенства, учитывая, что точки должны быть «выколотыми».

4 ШАГА · 5 БАЛЛОВ

5. Ловушка кратных корней

Решите неравенство $(x+3{)}^2(x-1)(x-4)\le 0$. Обратите внимание на степень множителя $(x+3)$ — как она влияет на смену знака в этой точке? Укажите все подходящие значения $x$.

3 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

1. Корни множителей

Установите соответствие между неравенством и числами, которые обращают его левую часть в нуль (корнями соответствующих уравнений).

1 ИЗ 4 · 1 БАЛЛ

2. Выбор интервала

Выберите верное решение неравенства $(x+7)(x-2)\le 0$.

• $[-7;2]$
• $(-\infty ;-7]\cup [2;+\infty )$
• $(-7;2)$
• $[-2;7]$

4 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

3. Алгоритм решения

Заполните пропуски в описании решения квадратного неравенства.

Решим неравенство $x^2-5x+6<0$.
1. Разложим левую часть на множители: $(x-\underline{})(x-\underline{})<0$.
2. На числовой прямой отметим выколотые точки $2$ и $3$.
3. На крайнем правом интервале $(3;+\infty )$ выражение принимает знак .
4. Так как знак неравенства $<$, ответом будет интервал .

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

4. Дробно-рациональные неравенства

Соотнесите неравенство с множеством его решений. Помните, что знаменатель не может быть равен нулю.

1 ИЗ 4 · 3 БАЛЛА

5. Кратные корни и изолированные точки

Найдите множество решений неравенства $\frac{(x-4{)}^2(x+1)}{x-3}\le 0$. Учтите четную степень скобки.

• $[-1;3)\cup \{4\}$
• $[-1;3)\cup [4;+\infty )$
• $[-1;3]$
• $(-\infty ;-1]\cup (3;4]$

5 ЭТАПОВ · 5 БАЛЛОВ

6. Этапы решения конкретного неравенства

Восстановите правильную последовательность шагов при решении неравенства $\frac{(x-5)(x+2)}{(x-1{)}^2}\le 0$ методом интервалов.

1. Найти нули числителя, решив уравнение $(x-5)(x+2)=0$.
2. Найти значения $x$, при которых знаменатель обращается в нуль: $x=1$.
3. Отметить на координатной прямой точки $-2$, $5$ (закрашенные) и точку $1$ (выколотая).
4. Определить знаки на интервалах, учитывая, что при переходе через $x=1$ знак выражения не меняется.
5. Выделить промежутки со знаком «$-$» и записать ответ с учётом закрашенных точек.