Монотонность функции — рабочий лист по алгебре для 11 класса

Q: Как скачать рабочий лист «Монотонность функции»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Q: Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 46 заданий: заполни пропуски, таблица, соединение, реши примеры, кроссворд, множественный выбор.

Q: Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 11 класса по ФГОС.

Q: Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Монотонность функции

11 класс · средний

46 заданий · заполни пропуски, таблица, соединение, реши примеры, кроссворд, множественный выбор

Ф.И.
Класс

Вместе с роботом Архимедом мы исследуем математические ландшафты. Помоги ему определить, где графики функций идут в гору, а где спускаются в долину, используя производную.

№1 · СЛОЖНЫЙ

ПАРАМЕТР · 4 БАЛЛА

1. Исследование Архимеда: параметр и монотонность

Помогите Архимеду найти все значения параметра, при которых функция возрастает на всей числовой прямой.

Архимед изучает функцию $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{a}{2} x^{2} + 16 x + 7$ . Чтобы она была монотонно возрастающей на всей области определения $R$ , её производная $f^{'} (x) = x^{2} + a x + 16$ должна быть при всех значениях $x$ . Это условие выполняется, когда дискриминант производной . Таким образом, искомый интервал значений параметра: .

№2 · БАЗОВЫЙ

СВОЙСТВА · 1 БАЛЛ

2. Навигация Архимеда

Помоги Архимеду сопоставить поведение функции и знак её производной.

Поведение функции $f (x)$	Знак производной $f^{'} (x)$
Возрастает
Убывает
Стационарна

№3 · БАЗОВЫЙ

4 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

3. Сенсоры производных

Соедини функцию с её верной производной.

№4 · БАЗОВЫЙ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

4. Мгновенная скорость

Найдите производную каждой функции для калибровки датчиков Архимеда.

1)f(x) = 12x - 7

2)f(x) = 25 + 4x

f (x) = x^{3}

f (x) = π

№5 · БАЗОВЫЙ

8 СЛОВ · 2 БАЛЛА

5. Базовый глоссарий

Разгадай кроссворд, чтобы Архимед мог общаться с другими роботами-математиками.

По горизонтали

Независимая переменная x
Знак производной при возрастании
Место на координатной плоскости
То же, что и убывание

По вертикали

Основной инструмент анализа монотонности
Линия, изображающая функцию
Знак производной при убывании
То же, что и возрастание

№6 · СРЕДНИЙ

ВЫБОР · 2 БАЛЛА

6. Спуск в долину

На каком промежутке функция $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ убывает?

$(2; + \infty)$
$(- \infty; 2)$
$(4; + \infty)$
$(- \infty; 4)$

№7 · СРЕДНИЙ

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

7. Визуальный анализ

Архимед анализирует график производной. Соотнеси события на графике $f^{'} (x)$ с выводами о функции $f (x)$ .

№8 · СРЕДНИЙ

3 ЗАДАНИЯ · 2 БАЛЛА

8. Остановки на пути

Найдите критические точки функций (где производная равна нулю).

f (x) = x^{3} - 3 x

f (x) = x^{4} - 2 x^{2}

f (x) = x + \frac{4}{x}

№9 · СРЕДНИЙ

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

9. Логарифмический рельеф

Исследуйте функцию $f (x) = x - ln x$ на монотонность вместе с Архимедом.

1. Найдем производную: $f^{'} (x) =$ .
2. Решим уравнение $f^{'} (x) = 0$ : $x =$ .
3. При $x > 1$ производная нуля, следовательно, функция возрастает.

№10 · СРЕДНИЙ

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Картография функции

Архимед изучает функцию $f (x) = x^{3} - 12 x$ . Заполни таблицу исследования её монотонности.

Интервал	Знак $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$	Поведение функции
$(- \infty; - 2)$
$(- 2; 2)$
$(2; + \infty)$

№11 · СРЕДНИЙ

10 СЛОВ · 3 БАЛЛА

11. Продвинутая терминология

Помоги Архимеду структурировать научный отчёт с помощью кроссворда.

По горизонтали

Вершина холма на графике
Промежуток между точками
То, что должно выполняться
Числовой результат функции
Неизменность направления изменения функции

По вертикали

Дно впадины на графике
Особая точка для производной
Множество допустимых икс
Доказанное правило
Интервал с включенными концами

№12 · СЛОЖНЫЙ

ПАРАМЕТР · 4 БАЛЛА

12. Инженерная задача

При каких значениях параметра $a$ функция $f (x) = a x - cos x$ является возрастающей на всей области определения?

$a > 1$
$a \geq 1$
$a < 1$
$a \geq 0$

№13 · СЛОЖНЫЙ

СРАВНЕНИЕ · 4 БАЛЛА

13. Логика без калькулятора

Используя свойства монотонности, помоги Архимеду сравнить значения без вычислений.

Выражение 1	Знак	Выражение 2
$3^{1.2} + 1.2$		$3^{1.3} + 1.3$
$ln 5 - 5$		$ln 6 - 6$
$e^{0.2}$		$1 + 0.2$

№14 · СЛОЖНЫЙ

2 ЗАДАНИЯ · 5 БАЛЛОВ

14. Экстремальный ландшафт

Найдите промежутки возрастания функций со сложной структурой.

f (x) = x^{2} - 10 x + 16

f (x) = x - 2 ln x

№15 · СЛОЖНЫЙ

12 СЛОВ · 5 БАЛЛОВ

15. Вершина мастерства

Заключительный кроссворд для тех, кто готов стать профессором математики рядом с Архимедом.

По горизонтали

Линейная часть приращения
Функция типа $a^{x}$
Полный анализ свойств функции
Формальное описание понятия
Прямая, чей наклон — это производная
Движение графика вверх

По вертикали

Функция типа $lo g_{a} x$
Движение графика вниз
Общее название максимумов и минимумов
Отсутствие разрывов у функции
Изменение значения переменной
Автор теоремы о конечном приращении

№1 · ПРОДВИНУТЫЙ

ПАРАМЕТРЫ · 3 БАЛЛА

1. Инженерные расчёты Архимеда

Архимед проектирует винт, профиль которого описывается сложными функциями. Определи условия на параметр $a$ , при которых механизмы будут работать корректно (функции будут монотонно возрастать на всей области определения).

Функция $f (x)$	Производная $f^{'} (x)$	Условие на параметр $a$
$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + 25 x$
$f (x) = a x + sin x$
$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + a x$

№1 · БАЗОВЫЙ

4 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

1. Инструменты Архимеда

Соедините функцию с её производной, чтобы Архимед настроил свои сенсоры.

№2 · БАЗОВЫЙ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Скорость набора высоты

Найдите производную каждой функции, определяющей профиль трассы Архимеда.

1)f(x) = 20x - 5

2)f(x) = 100 - 4x

f (x) = x^{3}

4)f(x) = 12

№3 · БАЗОВЫЙ

СВОЙСТВА · 1 БАЛЛ

3. Навигатор монотонности

Заполните таблицу соответствия знака производной и поведения маршрута.

Поведение функции $f (x)$	Знак производной $f^{'} (x)$
Возрастает
Убывает
Постоянна

№4 · СРЕДНИЙ

ПРАВИЛО · 2 БАЛЛА

4. Законы движения

Заполните пропуски в формулировке достаточного условия монотонности.

Если производная функции на промежутке $X$ принимает только значения, то функция возрастает. Если же для всех $x \in X$ выполняется $f^{'} (x) < 0$ , то на данном интервале функция .

№5 · БАЗОВЫЙ

8 СЛОВ · 2 БАЛЛА

5. Термины экспедиции

Разгадайте кроссворд, чтобы Архимед вспомнил ключевые понятия анализа.

По горизонтали

Координата на оси
Граница, к которой стремится значение

По вертикали

Свойство числа (плюс или минус)
Значение аргумента, при котором функция равна нулю
Уменьшение значений функции

№6 · СРЕДНИЙ

ВЫБОР · 2 БАЛЛА

6. Зона спуска

Определите, на каком из промежутков функция $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ убывает.

$(2; + \infty)$
$(- \infty; 2)$
$(- \infty; 4)$
$(0; 3)$

№7 · СРЕДНИЙ

3 ЗАДАНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Опасные перевалы

Найдите критические точки функций (где $f^{'} (x) = 0$ ), чтобы Архимед знал места смены рельефа.

f (x) = x^{3} - 27 x

f (x) = x^{4} - 8 x^{2}

f (x) = x + \frac{9}{x}

№8 · СРЕДНИЙ

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

8. Анализ датчиков

Архимед анализирует график производной. Соотнесите поведение графика с выводами о функции.

№9 · СРЕДНИЙ

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

9. Карта высот

Заполните таблицу исследования для функции $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ .

Интервал	Знак $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6$	Поведение функции
$(- \infty; - 1)$
$(- 1; 1)$
$(1; + \infty)$

№10 · СРЕДНИЙ

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

10. Иррациональный подъем

Исследуйте функцию $f (x) = x - 2 x$ на промежутки монотонности.

1. Найдем производную: $f^{'} (x) =$ .
2. Приравняем к нулю: $1 - \frac{1}{x} = 0$ , откуда $x =$ .
3. При $x > 1$ производная нуля, значит функция возрастает.

Ещё 23 задания в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№11 · СРЕДНИЙ

10 СЛОВ · 3 БАЛЛА

11. Профессиональный сленг

Помоги Архимеду составить отчет, заполнив кроссворд по методам исследования.

По горизонтали

Множество чисел $[a; b]$
Промежуток $(a; b)$
Низшая точка в окрестности
Математическое утверждение
Свойство функции, когда большему $x$ соответствует большее $y$

По вертикали

Множество значений аргумента
Тип точки, подозрительной на экстремум
Требование для выполнения правила
Высшая точка в окрестности
Свойство функции, когда большему $x$ соответствует меньшее $y$

№12 · СЛОЖНЫЙ

ПАРАМЕТР · 4 БАЛЛА

12. Настройка двигателя

При каких значениях параметра $a$ функция $f (x) = a x + cos x$ возрастает на всей числовой прямой?

$a > 1$
$a \geq 1$
$a \leq - 1$
$a = 0$

№13 · СЛОЖНЫЙ

СРАВНЕНИЕ · 4 БАЛЛА

13. Экономия энергии

Сравните значения, используя свойства монотонности, без прямых вычислений.

Выражение А	Знак	Выражение Б
$5^{0.2} + 0.2$		$5^{0.3} + 0.3$
$ln 2 - 2$		$ln 3 - 3$
$sin 0.2$		$0.2$

№14 · СЛОЖНЫЙ

2 ЗАДАНИЯ · 5 БАЛЛОВ

14. Горные хребты

Найдите интервалы возрастания для функций со сложной областью определения.

f (x) = x^{2} - 6 x + 8

f (x) = x^{2} - ln (x)

№15 · СЛОЖНЫЙ

12 СЛОВ · 5 БАЛЛОВ

15. Вершина мастерства

Финальный кроссворд для тех, кто покорил все вершины анализа вместе с Архимедом.

По горизонтали

Главная часть приращения
Логическое описание понятия
Инструмент для поиска монотонности
Общее название максимума и минимума
Отсутствие разрывов на графике
Изменение значения величины

По вертикали

Показатель степени
Функция вида $y = a^{x}$
Ученый, доказавший теорему о среднем значении
Полный разбор свойств функции
Прямая, чей наклон равен производной
Независимая переменная $x$

№1 · БАЗОВЫЙ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Скорость подъёма

Найдите производную функции, чтобы Архимед узнал скорость изменения высоты.

1)f(x) = 15x + 10

2)f(x) = 98 - 2x

f (x) = x^{2}

4)f(x) = 5

№2 · БАЗОВЫЙ

СВОЙСТВА · 1 БАЛЛ

2. Карта знаков

Помоги Архимеду соотнести знак производной и направление движения функции.

Знак производной $f^{'} (x)$	Поведение функции $f (x)$
$f^{'} (x) > 0$
$f^{'} (x) < 0$
$f^{'} (x) = 0$

№3 · БАЗОВЫЙ

8 СЛОВ · 2 БАЛЛА

3. Словарь Архимеда

Разгадай кроссворд, чтобы вспомнить основные понятия темы.

По горизонтали

Визуальное представление функции
Скорость изменения функции
Плюс или минус
Уменьшение значений функции

По вертикали

Зависимость одной переменной от другой
Элемент координатной плоскости
Линия на графике
Увеличение значений функции

№4 · БАЗОВЫЙ

4 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

4. Связь функций

Соедини функцию с её производной.

№5 · СРЕДНИЙ

ПРАВИЛО · 2 БАЛЛА

5. Теорема о монотонности

Заполните пропуски в формулировке достаточного условия монотонности.

Если во всех точках открытого промежутка $X$ выполняется неравенство $f^{'} (x) > 0$ , то функция $f$ на этом промежутке. Если же во всех точках $X$ выполняется неравенство , то функция $f$ убывает на этом промежутке.

№6 · СРЕДНИЙ

ВЫБОР · 2 БАЛЛА

6. Поиск спуска

На каком промежутке функция $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ убывает?

$(3; + \infty)$
$(- \infty; 3)$
$(6; + \infty)$
$(- \infty; 5)$

№7 · СРЕДНИЙ

3 ЗАДАНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Критические точки

Найдите точки, в которых производная равна нулю (точки возможного перегиба маршрута Архимеда).

f (x) = x^{3} - 12 x

f (x) = x^{4} - 4 x^{3}

f (x) = \frac{1}{x} + x

№8 · СРЕДНИЙ

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

8. Журнал исследования

Архимед исследует функцию $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . Заполни таблицу анализа.

Интервал	Знак $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$	Поведение функции
$(- \infty; 0)$
$(0; 2)$
$(2; + \infty)$

№9 · СРЕДНИЙ

10 СЛОВ · 3 БАЛЛА

9. Терминология анализа

Помоги Архимеду заполнить сложный кроссворд по теме исследования функций.

По горизонтали

Максимум или минимум функции
Общее название для возрастания или убывания
Множество точек между двумя числами включая их
Наибольшее значение в окрестности
Утверждение, требующее доказательства

По вертикали

Точка, где производная равна нулю или не существует
Промежуток числовой прямой
Требование для выполнения теоремы
Наименьшее значение в окрестности
Множество допустимых значений аргумента

№10 · СРЕДНИЙ

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

10. Чтение графика производной

Архимед видит график производной $y = f^{'} (x)$ . Что он может сказать о функции $f (x)$ ?

№11 · СРЕДНИЙ

АНАЛИЗ · 3 БАЛЛА

11. Экспоненциальный подъем

Исследуйте функцию $f (x) = e^{x} - x$ на монотонность.

1. Найдем производную: $f^{'} (x) =$ .
2. Решим уравнение $f^{'} (x) = 0$ : $x =$ .
3. При $x > 0$ производная нуля, значит функция возрастает.

№12 · СЛОЖНЫЙ

ПАРАМЕТР · 4 БАЛЛА

12. Загадка конструктора

При каких значениях параметра $a$ функция $f (x) = a x + sin x$ является возрастающей на всей числовой прямой?

$a > 1$
$a \geq 1$
$a < 1$
$a \in R$

№13 · СЛОЖНЫЙ

2 ЗАДАНИЯ · 5 БАЛЛОВ

13. Сложные ландшафты

Найдите промежутки возрастания функций со сложной структурой.

f (x) = x^{2} - 8 x + 15

f (x) = x^{2} - ln (x^{2})

№14 · СЛОЖНЫЙ

СРАВНЕНИЕ · 4 БАЛЛА

14. Сравнение без вычислений

Используя монотонность, помоги Архимеду сравнить значения выражений.

Выражение 1	Знак ( $<, >, =$ )	Выражение 2
$2^{1.5} + 1.5$		$2^{1.6} + 1.6$
$ln 3 - 3$		$ln 4 - 4$
$sin 0.1$		$0.1$

№15 · СЛОЖНЫЙ

12 СЛОВ · 5 БАЛЛОВ

15. Вершина знаний

Финальное испытание: кроссворд для истинных мастеров математического анализа.

По горизонтали

Свойство функции не иметь скачков
Линейная часть приращения функции
Свойство $f (x_{1}) > f (x_{2})$ при $x_{1} < x_{2}$
Разность двух значений переменной
Независимая переменная
Функция, обратная показательной

По вертикали

Функция вида $a^{x}$
Свойство $f (x_{1}) < f (x_{2})$ при $x_{1} < x_{2}$
Процесс изучения свойств объекта
Прямая, имеющая с кривой одну общую точку в окрестности
Французский математик, автор теоремы о среднем значении
Формулировка смысла понятия

Соберите свой рабочий лист за минуту

ИИ сделает такой же лист по вашей теме и классу — с ответами и для печати.

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По ФГОС и школьной программеЗадания ориентированы на действующую школьную программу — можно сразу давать классу.
С ответами и готовы к печатиКаждый лист — с ключом ответов и готовой вёрсткой A4: скачивайте PDF и распечатывайте.
Свой лист за минуту в ИИ-конструктореИИ соберёт похожий лист по вашей теме, классу и нужным типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Монотонность функции»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 46 заданий: заполни пропуски, таблица, соединение, реши примеры, кроссворд, множественный выбор.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 11 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

1. Исследование Архимеда: параметр и монотонность

2. Навигация Архимеда

3. Сенсоры производных

4. Мгновенная скорость

5. Базовый глоссарий

6. Спуск в долину

7. Визуальный анализ

8. Остановки на пути

9. Логарифмический рельеф

10. Картография функции

11. Продвинутая терминология

12. Инженерная задача

13. Логика без калькулятора

14. Экстремальный ландшафт

15. Вершина мастерства

1. Инженерные расчёты Архимеда

1. Инструменты Архимеда

2. Скорость набора высоты

3. Навигатор монотонности

4. Законы движения

5. Термины экспедиции

6. Зона спуска

7. Опасные перевалы

8. Анализ датчиков

9. Карта высот

10. Иррациональный подъем

11. Профессиональный сленг

12. Настройка двигателя

13. Экономия энергии

14. Горные хребты

15. Вершина мастерства

1. Скорость подъёма

2. Карта знаков

3. Словарь Архимеда

4. Связь функций

5. Теорема о монотонности

6. Поиск спуска

7. Критические точки

8. Журнал исследования

9. Терминология анализа

10. Чтение графика производной

11. Экспоненциальный подъем

12. Загадка конструктора

13. Сложные ландшафты

14. Сравнение без вычислений

15. Вершина знаний

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы

Похожие рабочие листы