Алгебраические структуры

2 ТЕРМИНА

1. Основные элементы

Заполните пропуски в математических определениях.

В теории групп элемент $e$, не меняющий другие элементы при операции, называют , а элемент $x^{-1}$, возвращающий систему к $e$, называют .

ВЫЧЕТЫ

2. Решение в кольце вычетов

Найдите $x$ в группе ${\mathbb{Z}}_7$ по умножению для заданного уравнения.

4 ПАРЫ

3. Нейтральные элементы систем

Соотнесите структуру и её нейтральный элемент.

ЧТЕНИЕ ГРАФИКА

4. Геометрическая интерпретация

На числовой прямой изображена операция сложения. Определите по вектору, какое число прибавляется к единице.

1 БАЛЛ

5. Суть бинарной операции

Что является необходимым условием того, чтобы операция была бинарной на множестве $A$?

• Результат операции должен всегда принадлежать множеству $A$.
• Операция должна выполняться только для положительных чисел.
• Операция обязана быть дистрибутивной.

СИММЕТРИЯ

6. Группа симметрий треугольника

Рассмотрите правильный (равносторонний) треугольник. Сколько существует поворотов вокруг его центра (включая $0^{\circ }$), при которых фигура совмещается сама с собой?

1. Укажите количество таких поворотов.

ВЫЧЕТЫ

7. Сложение по модулю

Найдите сумму элементов в кольце ${\mathbb{Z}}_8$.

ТАБЛИЦА · 3 СТРОКИ

8. Анализ групповых структур

Проверьте, образуют ли данные множества с указанными операциями группу.

ПРОВЕРКА

9. Порядок проверки аксиом

Восстановите алгоритм доказательства того, что $(G,\ast )$ — группа.

1. Убедиться, что результат операции не выходит за пределы $G$.
2. Проверить выполнение закона $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.
3. Найти такой $e$, что $a\ast e=a$.
4. Для каждого $a$ найти $b$, такое что $a\ast b=e$.

3 УТВЕРЖДЕНИЯ

10. Свойства абстрактных групп

Верны ли данные утверждения для любой математической группы?

1. В группе всегда выполняется переместительный закон (коммутативность).ИстинаЛожь
2. Обратный элемент для данного элемента всегда единственен.ИстинаЛожь
3. Пустое множество может являться группой.ИстинаЛожь

НЕСТАНДАРТНАЯ ОПЕРАЦИЯ

11. Поиск нейтрального элемента

На множестве вещественных чисел введена операция $a\ast b=a+b+7$. Вычислите нейтральный элемент.

ПОРЯДКИ

12. Сравнение мощностей групп

Сравните количество элементов (порядок) в конечных группах.

КОЛЬЦА И ПОЛЯ

13. Свойства полей

Дополните утверждение о связи структур.

Любое обязательно является кольцом, но не каждое кольцо является им, так как в кольце не все элементы могут иметь обратный по умножению.

1 БАЛЛ

14. Понятие порядка

Что обозначает символ $|G|$ в теории групп?

• Порядок группы (количество её элементов).
• Модуль самого большого числа в группе.
• Количество аксиом, которые не выполняются.

СТРУКТУРЫ

15. Различия кольца и поля

Отметьте наличие свойств у данных алгебраических объектов.

ИСКЛЮЧЕНИЕ

16. Поиск «не-группы»

Выберите структуру, которая НЕ является группой из-за нарушения аксиомы замкнутости или отсутствия нейтрального элемента.

1. $(\mathbb{Z},+)$
2. $(\mathbb{N},+)$
3. $(\mathbb{R},+)$
4. $(\mathbb{Q},+)$

ЗАПОЛНЕНИЕ

17. Таблица умножения в поле вычетов

Заполните фрагмент таблицы Кэли для ${\mathbb{Z}}_3$ по умножению (исключая ноль).

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

18. Именные группы

Как называется свойство группы, если для любых $a,b$ верно $a\cdot b=b\cdot a$?

• Коммутативность (абелевость).
• Ассоциативность.
• Дистрибутивность.

ТЕРМИНЫ

19. Развитие алгебры

Соотнесите математическое понятие и имя ученого.

ТЕРМИНОЛОГИЯ

20. Итоговый контроль

Заполните сетку терминами из теории структур.

1 БАЛЛ

1. Коммутативность

Как в современной алгебре принято называть группы, в которых результат операции не зависит от порядка операндов?

• Абелевы группы
• Галуа-структуры
• Циклические кольца

2 ТЕРМИНА

2. Аксиомы структуры

Заполните пропуски в описании свойств операций.

Если для любых элементов выполняется $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$, то операция обладает свойством . Если результат операции над любыми элементами множества также принадлежит этому множеству, то множество называется относительно этой операции.

ВЫЧЕТЫ

3. Арифметика в группе вычетов

Найдите значение выражения в группе ${\mathbb{Z}}_7$ (целые числа по модулю 7) с операцией сложения.

НЕСТАНДАРТНАЯ ОПЕРАЦИЯ

4. Нейтральный элемент

На множестве $\mathbb{R}$ задана операция $a\ast b=a+b+3$. Определите нейтральный элемент для данной операции.

ЧТЕНИЕ ГРАФИКА

5. Визуализация на прямой

На числовой прямой вектором изображен результат сложения вещественных чисел. Какое действие выполнено над точкой 0?