Уравнение вида x^2 = a

Слайд 1. Уравнение вида $x^2=a$

Алгебра, 8 класс. Решение простейших квадратных уравнений

Слайд 2. Понятие уравнения $x^2=a$

Уравнение вида $x^2=a$, где $x$ — переменная, а $a$ — некоторое число, является простейшим квадратным уравнением.

Решить такое уравнение — значит найти все значения $x$, которые при возведении во вторую степень (в квадрат) дают число $a$.

Количество решений напрямую зависит от знака числа $a$.

Слайд 3. Три сценария решения

Число $a$ положительное. Уравнение имеет два корня: $x_1=\sqrt{a}$ и $x_2=-\sqrt{a}$.

Число $a$ равно нулю. Уравнение имеет единственный корень: $x=0$.

Число $a$ отрицательное. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат не может быть меньше нуля.

Слайд 4. Графическая интерпретация

Решения уравнения — это точки пересечения графика функции $y=x^2$ (параболы) и прямой $y=a$.

Если $a>0$, прямая проходит выше оси $Ox$ и пересекает параболу в двух точках. Их абсциссы и есть корни уравнения.

Слайд 5. Почему при $a<0$ нет корней?

Рассмотрим уравнение $x^2=-9$.

Вспомним свойства степени с четным показателем: при возведении любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) в квадрат, результат всегда будет неотрицательным ($x^2\ge 0$).

Так как $-9<0$, не существует такого действительного числа $x$, которое удовлетворяло бы этому равенству. В математике в таком случае говорят: «решений нет» или «корней нет».

Слайд 6. Извлечение корня

Если $a$ не является полным квадратом, корень записывается с помощью знака радикала:

— Для $x^2=5$ корни $x=\pm \sqrt{5}$

— Для $x^2=0,4$ корни $x=\pm \sqrt{0,4}$

— Для $x^2=\frac{2}{3}$ корни $x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Это иррациональные числа, их можно оставить в виде корня.

Слайд 7. Алгоритм решения

Чтобы решить уравнение $x^2=a$, следуйте схеме:

1. Приведите уравнение к каноническому виду $x^2=a$.

2. Сравните $a$ с нулем.

3. Если $a>0$, запишите два корня.

4. Если $a=0$, запишите ноль.

5. Если $a<0$, укажите, что корней нет.

Слайд 8. Примеры для различных значений $a$

Слайд 9. Задания для самостоятельной работы

Решите следующие уравнения в тетради:

1) $x^2=121$

2) $x^2-10=0$

3) $2x^2=32$

4) $x^2+4=0$

5) $x^2=\frac{9}{16}$

6) $(x+3{)}^2=0$ (подсказка: пусть $t=x+3$)

Слайд 10. Итоги урока

Уравнение $x^2=a$ может иметь 2, 1 или 0 корней.

Если $a$ — положительное число, корней всегда два (положительный и отрицательный).

Всегда обращайте внимание на знак числа $a$ перед извлечением корня.

Геометрически корни — это точки, где парабола $y=x^2$ встречается с горизонтальной прямой $y=a$.