Неравенства в курсе алгебры

Слайд 1. Неравенства в курсе алгебры

Линейные, системы и квадратные неравенства: от теории к решению. 8 класс

Слайд 2. Понятие числового неравенства

Неравенство — это математическое высказывание о том, что одно число или выражение больше, меньше или равно другому. Основные знаки: $>$ (больше), $<$ (меньше), $\ge$ (больше или равно), $\le$ (меньше или равно). Решить неравенство — значит найти множество значений переменной, при которых оно становится верным.

Слайд 3. Основные виды неравенств

Линейные неравенства вида $ax+b>0$

Системы линейных неравенств с одной переменной

Квадратные неравенства вида $a{x}^2+bx+c<0$

Дробно-рациональные неравенства

Слайд 4. Свойства неравенств

Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный. Знак самого неравенства при этом сохраняется.

При умножении или делении на положительное число знак сохраняется. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный!

Слайд 5. Часть 1: Линейные неравенства

Слайд 6. Алгоритм решения линейных неравенств

Рассмотрим пример: $5x-10>0$.

1. Перенесем свободный член: $5x>10$.

2. Разделим на коэффициент при $x$: $x>\frac{10}{5}\Rightarrow x>2$.

3. Ответ записывается в виде интервала: $(2;+\infty )$.

Слайд 7. Типы числовых промежутков

Слайд 8. Часть 2: Системы неравенств

Слайд 9. Как решать системы?

1. Решить каждое неравенство системы по отдельности.

2. Изобразить решения на одной координатной прямой.

3. Найти область пересечения (где штриховки накладываются).

4. Записать общий промежуток в ответ.

Слайд 10. Случаи решений систем

В большинстве школьных задач системы имеют общее решение, однако важно помнить о пустом множестве $\varnothing$, если интервалы не пересекаются.

Слайд 11. Часть 3: Квадратные неравенства

Слайд 12. Метод интервалов

Приравнять к нулю и найти корни уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ через дискриминант $D$.

Отметить корни на оси $Ox$ и определить знаки функции на каждом интервале.

Выбрать интервалы с нужным знаком ($+$ для $>0$, $-$ для $<0$) и записать ответ.

Слайд 13. Графический метод (Парабола)

Если $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

Если $a<0$, ветви параболы направлены вниз.

Слайд 14. Ключевые выводы

Внимательно следите за знаком при делении на отрицательные числа.

В системах ищем пересечение, а не объединение.

Для квадратных неравенств всегда начинайте с поиска корней и эскиза графика.

Строгие знаки — круглые скобки, нестрогие — квадратные.

Слайд 15. Успехов в решении неравенств!