Квадратный корень и иррациональные числа

Слайд 1. Квадратный корень и иррациональные числа

Алгебра, 8 класс: от основ до бесконечных дробей

Слайд 2. Определение квадратного корня

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Символ ​ называется радикалом.

Важно помнить:

1. Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл только при $a\ge 0$.

2. Результат извлечения корня всегда $\ge 0$.

Слайд 3. Основные свойства корней

$\sqrt{a^2}=|a|$ — корень из квадрата равен модулю числа.

$(\sqrt{a}{)}^2=a$ — при условии, что $a\ge 0$.

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ — корень из произведения.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ — корень из дроби (при $b>0$).

Если $a<b$, то $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Слайд 4. Рациональные vs Иррациональные

Числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ ($m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}$). Это конечные или бесконечные периодические десятичные дроби.

Числа, которые нельзя представить в виде простой дроби. Это бесконечные непериодические десятичные дроби (например, $\sqrt{2}$, $\pi$).

Слайд 5. Знаменитые иррациональные числа

$\pi \approx 3,\mathrm{14159...}$ — отношение длины окружности к диаметру.

$e\approx 2,\mathrm{71828...}$ — число Эйлера, основание натурального логарифма.

$\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{41421...}$ — диагональ квадрата со стороной 1.

$\sqrt{3}\approx 1,\mathrm{73205...}$ — высота равностороннего треугольника.

Слайд 6. Как оценить значение корня?

Находим ближайшие точные квадраты. Например, $\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}$, значит $3<\sqrt{10}<4$.

Использование специальных правил деления «уголком» для извлечения корня с любой точностью.

Применение справочных таблиц квадратов двузначных чисел или инженерного калькулятора.

Слайд 7. Таблица квадратов первых чисел

Знание этих значений помогает быстро решать уравнения и упрощать иррациональные выражения в уме без использования вычислительной техники.

Слайд 8. Математика — это единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос.

— Альберт Эйнштейн

Слайд 9. Главные выводы урока

Квадратный корень существует только для чисел $a\ge 0$.

Результат извлечения арифметического корня всегда неотрицателен.

Иррациональные числа нельзя записать в виде обычной дроби.

Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел ($\mathbb{R}$).

Для упрощения выражений используйте свойства: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.