Сложение алгебраических дробей

Слайд 1. Сложение алгебраических дробей

Алгебра, 8 класс

Сложение дробей с разными знаменателями

Слайд 2. Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — выражения, а $B\ne 0$.

При сложении дробей важно учитывать не только числа, но и переменные в знаменателях.

Слайд 3. Одинаковые и разные знаменатели

Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$

Сначала приводим дроби к общему знаменателю. Только после этого складываем числители.

Слайд 4. Алгоритм сложения дробей

1. Найдите общий знаменатель.

2. Определите дополнительные множители.

3. Умножьте каждый числитель на свой дополнительный множитель.

4. Сложите полученные числители.

5. Сократите дробь, если это возможно.

Слайд 5. Пример: общий знаменатель без разложения

Рассмотрим сумму:

$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}$

Общий знаменатель — $xy$. Дополнительные множители: для первой дроби — $y$, для второй — $x$.

$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{3y}{xy}+\frac{2x}{xy}=\frac{3y+2x}{xy}$, где $x\ne 0$, $y\ne 0$.

Слайд 6. Если знаменатели раскладываются на множители

При сложении дробей

$\frac{1}{a+b}+\frac{2}{a-b}$

общий знаменатель можно получить умножением взаимно простых множителей:

$(a+b)(a-b)$.

Тогда:

$\frac{1}{a+b}+\frac{2}{a-b}=\frac{a-b+2(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{3a+b}{a^2-b^2}$.

Слайд 7. «Сначала знаменатель — потом числитель»

— Главное правило при сложении дробей с разными знаменателями

Слайд 8. Типичные ошибки

• Складывать знаменатели: $\frac{a}{m}+\frac{b}{n}\ne \frac{a+b}{m+n}$.

• Забывать дополнительный множитель.

• Раскрывать скобки с ошибкой.

• Не указывать ограничения на переменные.

• Не сокращать полученную дробь.

Слайд 9. Проверь себя: выполни действия

Выполните сложение:

$\frac{2}{x}+\frac{5}{y}$

Выполните сложение и упростите:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1}$

Объясните, почему выражение

$\frac{p}{q}+\frac{r}{s}$ нельзя заменить на $\frac{p+r}{q+s}$.

Слайд 10. Итоги урока

• При разных знаменателях сначала находим общий знаменатель.

• Домножаем каждую дробь на свой дополнительный множитель.

• Складываем только числители, сохраняя общий знаменатель.

• После сложения раскрываем скобки и сокращаем дробь, если это возможно.

• Не забываем ограничения на переменные.