Понятие функции

Слайд 1. Понятие функции

Алгебра, 8 класс: способы задания и ключевые свойства

Слайд 2. Что такое функция?

Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества соответствует единственное значение зависимой переменной.

Если переменная $y$ функционально зависит от переменной $x$, то это записывают так: $y=f(x)$.

Слайд 3. Основные понятия

• $x$ — независимая переменная или аргумент

• $y$ — зависимая переменная или значение функции

• $f$ — правило (закон) соответствия

• $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$

Слайд 4. Способы задания функции

Слайд 5. 1. Аналитический способ

Функция задается с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить над аргументом, чтобы получить значение функции.

Примеры:

• $y=2x+3$

• $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$

• $s(t)=v\cdot t$

Слайд 6. 2. Табличный способ

Значения функции вычисляются для заранее выбранных значений аргумента и заносятся в таблицу. Удобно для проведения экспериментов и построения графиков по точкам.

Слайд 7. 3. Графический способ

Слайд 8. 4. Словесный способ

Функция описывается правилом на естественном языке.

Пример: «Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие его квадрат $n^2$».

Пример: Функция Дирихле — равна $1$, если $x$ рационально, и $0$, если $x$ иррационально.

Слайд 9. Область определения и значения

Все значения, которые может принимать независимая переменная $x$. Например, для $y=\frac{1}{x}$ область определения: $x\ne 0$.

Все значения, которые принимает зависимая переменная $y$ при всех $x$ из области определения.

Слайд 10. Ограничения в $D(f)$

Знаменатель не может быть равен нулю: $\frac{1}{g(x)}\Rightarrow g(x)\ne 0$.

Выражение под корнем четной степени неотрицательно: $\sqrt{g(x)}\Rightarrow g(x)\ge 0$.

Аргумент $\tan x$ не может быть равен $\frac{\pi }{2}+\pi k$.

В старших классах: аргумент логарифма всегда строго больше нуля.

Слайд 11. Свойства функции на графике

Слайд 12. Нули и интервалы знака

Значения $x$, при которых $f(x)=0$. Точки пересечения графика с осью $Ox$.

Интервалы $x$, где график лежит выше оси $Ox$ ($f(x)>0$).

Интервалы $x$, где график лежит ниже оси $Ox$ ($f(x)<0$).

Слайд 13. Монотонность функции

Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: $x_2>x_1\Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$.

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $x_2>x_1\Rightarrow f(x_2)<f(x_1)$.

Слайд 14. Четность и нечетность

• Четная: $f(-x)=f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

• Нечетная: $f(-x)=-f(x)$. График симметричен относительно начала координат.

• Ни четная, ни нечетная (общего вида).

Слайд 15. Комплексный анализ графика

Слайд 16. Наибольшее и наименьшее значения

Максимум — самая высокая точка графика на интервале.

Минимум — самая низкая точка графика на интервале.

Слайд 17. Определение функции по Дирихле

— «y есть функция переменной x, если каждому значению x соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично, каким именно способом установлено это соответствие».

Слайд 18. Задание: построение графика функции

Постройте в координатной плоскости график функции $y=x^2-4x+3$.

1. Найдите координаты вершины параболы.

2. Определите точки пересечения графика с осями координат.

3. Составьте таблицу значений для нескольких точек.

4. Укажите область определения и множество значений функции.

Слайд 19. Ответы к заданию

Для функции $y=x^2-4x+3$:

1. Вершина параболы: $(2;-1)$.

2. Пересечения с осями: с осью $Ox$ — $(1;0)$ и $(3;0)$; с осью $Oy$ — $(0;3)$.

3. Таблица значений: $x$: 0, 1, 2, 3, 4; $y$: 3, 0, −1, 0, 3.

4. Область определения: все действительные числа. Множество значений: $y\ge -1$.

График — парабола, направленная ветвями вверх.

Слайд 20. История развития понятия

1673 г.

1748 г.

1837 г.

Г. Лейбниц впервые вводит термин «функция».

Л. Эйлер дает определение через аналитическое выражение.

П. Дирихле формулирует современное общее определение.

Слайд 21. Итоги урока

Функция — это зависимость $y$ от $x$, где каждому $x$ соответствует ровно один $y$.

Способы задания: формула, таблица, график, описание.

$D(f)$ — допустимые $x$, $E(f)$ — получаемые $y$.

Основные свойства: нули, монотонность, четность, экстремумы.

Слайд 22. Спасибо за внимание! Готовы к построению графиков?