Приведение дробных выражений к общему знаменателю

Слайд 1. Приведение дробных выражений к общему знаменателю

Алгебра, 8 класс

Слайд 2. Зачем нужен общий знаменатель?

Складывать и вычитать дроби можно только тогда, когда их знаменатели одинаковы. Поэтому сначала мы заменяем дроби равными им дробями с общим знаменателем, а затем выполняем действия с числителями.

Слайд 3. Дробь и её части

Стоит над чертой дроби. Он показывает, сколько частей взято. В выражении $\frac{a}{b}$ числитель — $a$.

Стоит под чертой дроби. Он показывает, на сколько равных частей разделено целое. В выражении $\frac{a}{b}$ знаменатель — $b$.

Слайд 4. Главное свойство дроби

• Значение дроби не изменится, если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.

• Для дроби $\frac{a}{b}$ можно записать $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot m}{b\cdot m}$, если $m\ne 0$.

• Именно это свойство помогает получить одинаковые знаменатели.

Слайд 5. Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый из исходных знаменателей без остатка. Наименьший общий знаменатель — самый простой подходящий вариант, обычно произведение всех различных множителей в разложении знаменателей.

Слайд 6. Алгоритм поиска наименьшего общего знаменателя

Слайд 7. Как разложить знаменатели?

Ищем известные формулы и общие множители. Например: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ — разность квадратов; $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ — квадрат суммы; $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$ — разность квадратов. После разложения сравниваем не сами знаменатели, а их множители.

Слайд 8. Пример 1. Числовые знаменатели

Приведём к общему знаменателю дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{5}{8}$. Разложим числа: $6=2\cdot 3$, $8=2^3$. Берём $2^3$ и $3$, поэтому наименьший общий знаменатель равен $24$. Получаем $\frac{1}{6}=\frac{4}{24}$ и $\frac{5}{8}=\frac{15}{24}$.

Слайд 9. Как найти дополнительный множитель?

• Разделите общий знаменатель на исходный знаменатель.

• Для $6$ и $24$: $24:6=4$.

• Для $8$ и $24$: $24:8=3$.

• Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на найденный множитель.

Слайд 10. Пример 2. Буквенные знаменатели

Рассмотрим $\frac{2}{x}$ и $\frac{3}{x+1}$. Знаменатели $x$ и $x+1$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель: $x(x+1)$.

Дополнительные множители: для первой дроби — $x+1$, для второй — $x$. Тогда $\frac{2}{x}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}$, а $\frac{3}{x+1}=\frac{3x}{x(x+1)}$. Ограничения: $x\ne 0$, $x\ne -1$.

Слайд 11. «Сначала разложи, потом сравни»

— Надёжная подсказка для поиска наименьшего общего знаменателя

Слайд 12. Три шага без ошибок

Разложи каждый знаменатель на множители и выпиши ограничения на переменные.

Собери наименьший общий знаменатель: повторяющиеся множители бери в наибольшей степени.

Найди дополнительные множители и умножь на них числители и знаменатели.

Слайд 13. Пример 3. Общий множитель уже есть

Для дробей $\frac{5}{2x}$ и $\frac{1}{6x^2}$ разложим знаменатели: $2x$ и $2\cdot 3x^2$. Наименьший общий знаменатель — $6x^2$. Дополнительные множители равны $3x$ и $1$. Поэтому $\frac{5}{2x}=\frac{15x}{6x^2}$, а вторая дробь уже имеет нужный знаменатель. Ограничение: $x\ne 0$.

Слайд 14. Лайфхаки для быстрого поиска

Общий знаменатель уже найден: дополнительные множители равны $1$.

Берите больший знаменатель. Например, для $x$ и $x^2$ подходит $x^2$.

Не раскрывайте скобки без необходимости: общий множитель легче заметить в виде $(x-2)$.

Из $x$ и $x^3$ берите $x^3$, а не произведение $x^4$.

Слайд 15. Частая ошибка: лишний множитель

Для знаменателей $x+2$ и $x-2$ не нужно брать $(x+2)(x-2)$ как ошибку — это действительно общий знаменатель, но он не всегда наименьший? Здесь оба множителя различны, поэтому произведение является наименьшим общим знаменателем. А вот для $x$ и $x^2$ произведение $x^3$ лишнее: достаточно $x^2$. Проверяйте, делится ли выбранный знаменатель на каждый исходный.

Слайд 16. Проверка выбора знаменателя

Слайд 17. Практика 1. Найдите общий знаменатель

1. Для дробей $\frac{1}{3x}$ и $\frac{2}{9x^2}$.

2. Для дробей $\frac{4}{x-5}$ и $\frac{1}{x+5}$.

3. Для дробей $\frac{a}{a^2}$ и $\frac{b}{a}$.

Алгоритм: разложите знаменатели, выберите множители в наибольших степенях, запишите результат.

Слайд 18. Практика 2. Исправьте решение

Для $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x^2}$ выбран общий знаменатель $x^3$, потому что знаменатели перемножили.

Ошибка в лишнем множителе. Так как $x^2$ делится на $x$, наименьший общий знаменатель — $x^2$. Объясните, какой дополнительный множитель нужен первой дроби.

Слайд 19. Итоги урока

• Общий знаменатель должен делиться на каждый исходный знаменатель.

• Для поиска наименьшего общего знаменателя разложите знаменатели на множители.

• Каждый множитель берите в наибольшей встречающейся степени.

• Дополнительный множитель находят делением общего знаменателя на исходный.

• После преобразования обязательно сохраняйте ограничения на переменные.

Слайд 20. Спасибо за внимание!