Свойства арифметического квадратного корня

Слайд 1. Свойства арифметического квадратного корня

Алгебра, 8 класс

Слайд 2. Что называют арифметическим квадратным корнем

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Запись: $\sqrt{a}=b$, если $b\ge 0$ и $b^2=a$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a\ge 0$.

Слайд 3. Квадрат и арифметический квадратный корень

Если число $a$ может быть любым действительным числом, то его квадрат $a^2$ неотрицателен.

Пример: $(-5{)}^2=25$.

Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

Поэтому $\sqrt{25}=5$, а не $-5$.

Важно: $\sqrt{a^2}=|a|$.

Слайд 4. Свойство корня из произведения

При $a\ge 0$ и $b\ge 0$ верно:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$.

Это свойство можно применять в обе стороны — для преобразования выражения и для упрощения вычислений.

Пример: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.

Слайд 5. Свойство корня из частного

При $a\ge 0$ и $b>0$ верно:

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Пример:

$\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\frac{7}{4}$

Проверьте область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю.

Слайд 6. Алгоритм упрощения квадратного корня

Слайд 7. Основные свойства: запомни и примени

$\sqrt{a}=b$ означает: $b\ge 0$ и $b^2=a$.

При $a\ge 0$, $b\ge 0$: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$.

При $a\ge 0$, $b>0$: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Для любого действительного $a$: $\sqrt{a^2}=|a|$.

Слайд 8. Типичные ошибки

Ошибка: считать, что $\sqrt{a^2}=a$ при любом $a$.

Правильно: $\sqrt{a^2}=|a|$, потому что корень неотрицателен.

Например, $\sqrt{(-3{)}^2}=3$.

Ошибка: раскрывать сумму под корнем по частям:

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Такое равенство обычно неверно. Например, $\sqrt{9+16}=5$, а $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.

Слайд 9. Проверь себя

1. Упростите: $\sqrt{50}$.

2. Вычислите: $\sqrt{\frac{81}{25}}$.

3. Верно ли равенство $\sqrt{x^2}=x$ при $x<0$? Объясните.

4. Найдите ошибку в рассуждении: $\sqrt{12}=\sqrt{4}+\sqrt{8}$.

Обсудите решения в паре и сформулируйте правило, которое использовали.

Слайд 10. Итоги урока

Арифметический квадратный корень существует при подкоренном выражении $a\ge 0$ и всегда неотрицателен.

Для произведения и частного действуют специальные свойства при выполнении условий применимости.

Равенство $\sqrt{a^2}=|a|$ учитывает знак исходного числа.

Нельзя раскладывать корень из суммы на сумму корней.

Главный навык — видеть полный квадрат и проверять область допустимых значений.