Степень с целым показателем

Слайд 1. Степень с целым показателем

Алгебра, 8 класс: расширение понятия степени

Слайд 2. Определение отрицательного показателя

Для любого числа $a\ne 0$ и целого положительного числа $n$:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Также по определению: $a^0=1$ (при $a\ne 0$).

Степень с целым отрицательным показателем позволяет записывать очень маленькие числа в удобном виде.

Слайд 3. Свойства степени с целым показателем

Для $a\ne 0,b\ne 0$ и любых целых $m$ и $n$ выполняются свойства:

1. $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — произведение степеней

2. $a^m:a^n=a^{m-n}$ — частное степеней

3. $(a^m{)}^n=a^{mn}$ — возведение степени в степень

4. $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ — степень произведения

5. $(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ — степень дроби

Слайд 4. Сравнение: натуральный vs целый показатель

Означает многократное умножение числа на самого себя. Результат $a^n$ при $a>1$ быстро растет.

Означает деление единицы на соответствующую положительную степень. Результат $a^n$ при $a>1$ стремится к нулю.

Слайд 5. Алгоритм вычисления $a^{-n}$

1. Представить основание $a$ в виде дроби

2. Перевернуть дробь (найти обратное число)

3. Возвести полученное число в положительную степень $n$

Слайд 6. Таблица значений степеней

Слайд 7. Стандартный вид числа

Степени числа 10 с целым показателем используются для записи очень больших и очень маленьких величин.

Запись вида $a\cdot 10^n$, где $1\le a<10$ и $n\in \mathbb{Z}$.

Например, масса электрона: $9,1\cdot 10^{-31}$ кг.

Слайд 8. Типичные ловушки

Выражение $0^n$ при $n\le 0$ не имеет смысла.

$-2^{-2}$ — это $-(2^{-2})=-1/4$. Минус перед числом сохраняется.

$(-2{)}^{-2}$ — это $1/(-2{)}^2=1/4$. Минус уходит в четную степень.

$(\frac{2}{3}{)}^{-1}=\frac{3}{2}$. Просто переверните дробь.

Слайд 9. Задания для самопроверки

Вычислите устно:

1. $3^{-2}$

2. $(-1{)}^{-5}$

3. $10^{-3}$

4. $(\frac{1}{2}{)}^{-4}$

5. $0,1^{-2}$

Слайд 10. Подведем итоги

Отрицательный показатель — это деление, а не отрицательное число.

Все свойства натуральных степеней сохраняются для целых показателей.

Число в степени 0 всегда равно 1 (кроме нуля).

Стандартный вид числа помогает работать с микро- и макромиром.