Сравнение действительных чисел

Слайд 1. Сравнение действительных чисел

Алгебра, 8 класс. Правила, методы и примеры

Слайд 2. Множество действительных чисел

Действительные числа — это объединение рациональных и иррациональных чисел.

Рациональные: целые, конечные и периодические дроби.

Иррациональные: бесконечные непериодические дроби (как $\pi$ или $\sqrt{2}$).

Любые два действительных числа можно сравнить между собой.

Слайд 3. Базовые правила сравнения

Любое положительное число всегда больше нуля и любого отрицательного числа.

Любое отрицательное число всегда меньше нуля.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: $-2>-5$.

Из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее.

Слайд 4. Алгоритм сравнения корней

Для сравнения выражений с корнями используйте следующие шаги:

1. Приведите числа к общему виду (внесите множитель под знак корня).

2. Сравните подкоренные выражения.

3. Если $a<b$, то $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).

Слайд 5. Геометрическая интерпретация

Слайд 6. Сравнение десятичных дробей

Бесконечные десятичные дроби сравниваются поразрядно:

1. Сопоставляем целые части.

2. Если они равны, переходим к десятым, затем к сотым и так далее.

3. Сравнение идет до первого несовпадающего знака.

Пример: $0,\mathrm{123...}<0,\mathrm{124...}$, так как в разряде тысячных $3<4$.

Слайд 7. Свойства числовых неравенств

Если для действительных чисел $a$, $b$ и $c$ верно, что $a<b$ и $b<c$, то из этого следует $a<c$.

Если $a<b$, то $a+c<b+c$. Если $a<b$ и $c>0$, то $ac<bc$. Если $c<0$, знак меняется: $ac>bc$.

Слайд 8. Задания для самопроверки

Сравните числа $3\sqrt{2}$ и $\sqrt{17}$

Расположите в порядке убывания: $1,41$; $\sqrt{2}$; $1,(4)$

Что больше: $-\sqrt{5}$ или $-2,23$?

Сравните разность $\sqrt{10}-3$ и $0,1$

Слайд 9. Метод оценки

Иногда для сравнения чисел удобно найти их приближенные значения. Например, мы знаем, что $2<\sqrt{7}<3$, так как $2^2=4$ и $3^2=9$. Это позволяет быстро прикинуть положение числа на прямой и сравнить его с целыми числами или другими корнями. Для более точного сравнения всегда используйте возведение в квадрат.

Слайд 10. Итоги урока

Действительные числа сравниваются по тем же правилам, что и рациональные

Основной метод для корней — приведение к виду $\sqrt{a}$ и сравнение подкоренных выражений

Десятичные дроби сравниваются поразрядно слева направо

На координатной прямой большее число всегда находится правее