Рациональные выражения

Слайд 1. Рациональные выражения

Алгебра, 8 класс: от простых дробей к сложным формулам

Слайд 2. Что такое рациональное выражение?

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел, переменных и знаков арифметических действий.

Главное отличие: в рациональных выражениях допускается деление на переменную. Если в выражении нет деления на переменную, его называют целым, а если есть — дробным.

Слайд 3. Виды выражений

Целые выражения: не содержат деления на переменные (например, $5x^2-\frac{1}{2}y$)

Дробные выражения: содержат деление на выражение с переменными (например, $\frac{x+2}{x-3}$)

Рациональная дробь: это отношение двух многочленов $\frac{A}{B}$

Слайд 4. Область допустимых значений (ОДЗ)

В математике нельзя делить на ноль. Поэтому для рациональной дроби $\frac{A}{B}$ значение знаменателя $B$ не может быть равно нулю.

ОДЗ — это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Слайд 5. Пример нахождения ОДЗ

Рассмотрим выражение: $\frac{x+5}{x(x-3)}$.

1. Знаменатель равен $x(x-3)$.

2. Приравняем его к нулю: $x(x-3)=0$.

3. Решим уравнение: $x=0$ или $x-3=0\Rightarrow x=3$.

4. Ответ: ОДЗ — это все числа, кроме $0$ и $3$.

Записывается так: $x\ne 0,x\ne 3$.

Слайд 6. Целое или дробное?

Это целое выражение. Хотя здесь есть черта дроби, в знаменателе стоит число $7$, а не переменная. Мы всегда можем разделить на $7$.

Это дробное выражение. Переменные стоят в знаменателе. Нам нужно следить, чтобы $x^2+y$ не превратилось в ноль.

Слайд 7. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, получится равная ей дробь.

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$

Это свойство позволяет сокращать дроби и приводить их к новому знаменателю.

Слайд 8. Алгоритм сокращения дроби

Разложить числитель и знаменатель на множители (вынести за скобки, использовать ФСУ).

Найти общие множители в числителе и знаменателе.

Разделить (сократить) числитель и знаменатель на эти общие множители.

Слайд 9. Умножение и деление дробей

Слайд 10. Сложение с одинаковыми знаменателями

Здесь всё просто, как в 5 классе: знаменатель оставляем прежним, а числители складываем или вычитаем.

$\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}$

Важно: после сложения проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь!

Слайд 11. Разные знаменатели: как быть?

1. Найдите наименьший общий знаменатель (НОЗ).

2. Найдите дополнительные множители для каждой дроби.

3. Умножьте числители на их множители.

4. Выполните сложение или вычитание числителей.

5. Запишите результат над общим знаменателем.

Слайд 12. Типичные ошибки

Решение уравнения без учета того, что знаменатель не равен нулю.

Попытка сократить слагаемые, а не множители: $\frac{x+2}{2}\ne x$.

Забытый минус перед всей дробью, который меняет знаки всех слагаемых в числителе.

Простое перемножение знаменателей там, где можно найти более простой НОЗ.

Слайд 13. Вопросы для обсуждения

1. Любое ли целое выражение является рациональным?

2. Может ли область допустимых значений быть пустой?

3. Почему при сокращении дроби $\frac{x^2-1}{x-1}$ мы получаем $x+1$, но должны помнить, что $x\ne 1$?

4. Где в реальной жизни нам может встретиться деление на переменную?

Слайд 14. Алгебра щедра, она часто дает больше, чем у нее просят.

— Жан Лерон Д'Аламбер

Слайд 15. Подведем итоги

Рациональные выражения включают деление на переменную.

Главное ограничение — знаменатель не может быть равен нулю (ОДЗ).

Дроби можно сокращать, используя основное свойство.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями ищем НОЗ.

Всегда проверяйте результат на возможность сокращения.